Тренировочный вариант №253 ОГЭ 2026 по математике (усложненный) — разбор и решения

• • Ванютино \(\rightarrow\) 4
• • Горюново \(\rightarrow\) 6
• • Егорка \(\rightarrow\) 2
• • Жилино \(\rightarrow\) 5

Ответ: 4625

\(s = 12 — 4 = 8 \text{ км}\)

Ответ: 8

• • Катет Егорка—Ванютино: 12 км
• • Катет Ванютино—Жилино: 9 км

3. Применяем теорему Пифагора:

\(s = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \text{ км}\)

Ответ: 15

• • Катет Ванютино—Горюново = 15 км
• • Катет Антоновка—Ванютино = расстояние от Антоновки до Доломино (12 км) + расстояние от Доломино до Ванютино (8 км) = 20 км
• • Длина просёлочной дороги: \(\sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ км}\)

3. Вычисляем время движения по просёлочной дороге: Скорость составляет 30 км/ч:

\(t_1 = \frac{25}{30} \text{ ч} = \frac{25}{30} \times 60 \text{ мин} = 50 \text{ мин}\)

4. Находим длину и время пути по шоссе от Горюново до Богданово:

• • Всего от Ванютино до Богданово: \(9 + 12 = 21 \text{ км}\)
• • От Горюново до Богданово: \(21 — 15 = 6 \text{ км}\)
• • Время движения по шоссе со скоростью 50 км/ч: \(t_2 = \frac{6}{50} \text{ ч} = \frac{6}{50} \times 60 \text{ мин} = 7,2 \text{ мин}\)

5. Находим общее время:

\(t = 50 + 7,2 = 57,2 \text{ мин}\)

Ответ: 57,2

1. Рассчитаем длины участков для первого маршрута (через Ванютино): Данный путь полностью проходит по шоссе.

• • Расстояние от Антоновки до Ванютино составляет: \(8 + 4 + 8 = 20 \text{ км}\)
• • Расстояние от Ванютино до Богданово составляет: \(9 + 12 = 21 \text{ км}\)
• • Итого длина первого маршрута по шоссе: \(20 + 21 = 41 \text{ км}\)

2. Рассчитаем длины участков для второго маршрута (через Доломино и Горюново):

• • Участок Антоновка—Доломино (по шоссе): \(12 \text{ км}\)
• • Участок Доломино—Горюново (просёлочная дорога): является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 8 км и 15 км. Длина равна \(\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ км}\)
• • Участок Горюново—Богданово (по шоссе): \(21 — 15 = 6 \text{ км}\)
• • Итого во втором маршруте: по шоссе \(12 + 6 = 18 \text{ км}\), по просёлочной дороге \(17 \text{ км}\)

3. Составим уравнение расхода топлива: Пусть \(x\) — расход бензина на шоссе (л/100 км). Так как объём затраченного бензина на оба пути одинаков, запишем равенство:

\(41 \cdot \frac{x}{100} = 18 \cdot \frac{x}{100} + 17 \cdot \frac{9,2}{100}\)

4. Умножим обе части уравнения на 100 и упростим его:

\(41x = 18x + 156,4\)

\(23x = 156,4\)

\(x = 6,8\)

Ответ: 6,8

1. Возведём произведение в квадрат в первых скобках: По свойству степеней \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\):

\((7 \cdot 10^3)^2 = 7^2 \cdot (10^3)^2 = 49 \cdot 10^6\)

2. Перемножим полученный результат со вторым множителем:

\(49 \cdot 10^6 \cdot 16 \cdot 10^{-9} = (49 \cdot 16) \cdot (10^6 \cdot 10^{-9})\)

3. Выполним вычисления для чисел и показателей степеней:

\(49 \cdot 16 = 784\)

\(10^6 \cdot 10^{-9} = 10^{6 + (-9)} = 10^{-3}\)

4. Запишем итоговое число в виде десятичной дроби:

\(784 \cdot 10^{-3} = 0,784\)

Ответ: 0,784

Ответ: 2

1. Сгруппируем целые множители и радикалы отдельно: По свойству произведения квадратных корней \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\):

\(3 \cdot 3 \cdot (\sqrt{19} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{38}) = 9 \cdot \sqrt{19 \cdot 2 \cdot 38}\)

2. Упростим подкоренное выражение: Заметим, что \(19 \cdot 2 = 38\):

\(9 \cdot \sqrt{38 \cdot 38} = 9 \cdot \sqrt{38^2}\)

3. Извлечем квадратный корень и выполним итоговое умножение:

\(9 \cdot 38 = 342\)

Ответ: 342

1. Раскроем квадраты двучленов в левой и правой частях уравнения: Используем формулы сокращенного умножения \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\) и \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):

\(x^2 — 6x + 9 = x^2 + 4x + 4\)

2. Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: При этом слагаемые \(x^2\) взаимно уничтожаются:

\(x^2 — 6x — x^2 — 4x = 4 — 9\)

\(-10x = -5\)

3. Находим корень уравнения: Разделим обе части на -10:

\(x = \frac{-5}{-10} = 0,5\)

Ответ: 0,5

1. Определим общее число исходов: Общее количество свободных машин в фирме составляет \(N = 30\).2. Определим число благоприятных исходов: Количество свободных машин жёлтого цвета равно \(m = 3\).3. Вычислим вероятность: Разделим число благоприятных исходов на общее число машин:

\(P = \frac{3}{30}\)

4. Сократим дробь и запишем её в виде десятичной дроби:

\(P = \frac{1}{10} = 0,1\)

Ответ: 0,1

1. Проанализируем знаки функций и расположение ветвей гипербол:

• • Формулы 1) и 3) имеют положительный коэффициент, поэтому их графики расположены в I и III координатных четвертях (это графики А и Б)
• • Формула 2) \(y = -\frac{6}{x}\) имеет отрицательный коэффициент, значит её ветви лежат во II и IV четвертях. На чертеже этому соответствует график В

2. Различаем графики А и Б по степени крутизны (удалению от осей): Возьмём контрольную точку \(x = 1\) и подставим в оставшиеся формулы:

• • Для формулы 1): при \(x = 1\) получаем \(y = \frac{1}{6}\). Это значение очень близко к оси абсцисс, что чётко видно на графике Б
• • Для формулы 3): при \(x = 1\) получаем \(y = 6\). Ветвь гиперболы сильно удалена от начала координат, что соответствует графику А

3. Запишем итоговое соответствие: А — 3, Б — 1, В — 2.

Ответ: 312

1. Переведем длину шага из сантиметров в метры: Так как в одном метре 100 сантиметров:

\(l = 70 \text{ см} = \frac{70}{100} \text{ м} = 0,7 \text{ м}\)

2. Вычислим пройденное расстояние в метрах по формуле: Умножим число шагов на длину одного шага:

\(S = 1400 \cdot 0,7 = 140 \cdot 7 = 980 \text{ м}\)

3. Переведем полученное расстояние в километры: Так как в одном километре 1000 метров, разделим результат на 1000:

\(S = \frac{980}{1000} = 0,98 \text{ км}\)

Ответ: 0,98

1. Раскроем скобки в левой части неравенства, распределив множитель -3:

\(5x — 15x + 24 < -7\)

2. Приведем подобные слагаемые с переменной и перенесем число 24 в правую часть:

\(-10x < -7 — 24\)

\(-10x < -31\)

3. Разделим обе части неравенства на -10, изменив знак самого неравенства на противоположный:

\(x > \frac{-31}{-10}\)

\(x > 3,1\)

4. Запишем решение в виде числового промежутка:

\(x \in (3,1; +\infty)\)

Данное решение соответствует варианту под номером 4.

Ответ: 4

1. Определим стоимость одной минуты поездки начиная с 4-й минуты: С 4 по 13 минуту включительно проходит ровно \(13 — 3 = 10\) минут движения. За эти 10 минут Володя заплатил 70 рублей. Значит, стоимость одной минуты составляет:

\(\frac{70}{10} = 7 \text{ рублей/мин}\)

Проверим по второму условию: с 4 по 23 минуту проходит \(23 — 3 = 20\) минут, их стоимость \(20 \cdot 7 = 140\) рублей, что полностью совпадает с текстом задачи.
2. Переведем общее время поездки в минуты:

\(1 \text{ час } 3 \text{ минуты} = 60 + 3 = 63 \text{ минуты}\)

3. Посчитаем количество минут, которые оплачиваются по поминутному тарифу: Первые 3 минуты уже включены в фиксированную стоимость подачи (109 рублей). Поминутно будут оплачиваться:

\(63 — 3 = 60 \text{ минут}\)

4. Вычислим полную итоговую стоимость всей поездки: Сложим стоимость подачи с первыми 3 минутами и стоимость остальных 60 минут движения:

\(109 + 60 \cdot 7 = 109 + 420 = 529 \text{ рублей}\)

Ответ: 529

\(BC + AD = AB + CD\)

3. Подставим известные из условия значения:

\(5 + AD = 7 + 17\)

\(5 + AD = 24\)

4. Найдём длину основания AD:

\(AD = 24 — 5 = 19\)

Ответ: 19

1. Рассмотрим радиусы, проведённые в точки касания: По свойству касательной к окружности, радиус перпендикулярен ей в точке касания. Следовательно:

\(\angle OAC = 90^\circ\)

\(\angle OBC = 90^\circ\)

2. Рассмотрим выпуклый четырёхугольник OACB: Сумма всех внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна 360°.
3. Составим уравнение для поиска неизвестного угла \(\angle AOB\):

\(\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle C = 360^\circ\)

\(\angle AOB + 90^\circ + 90^\circ + 80^\circ = 360^\circ\)

\(\angle AOB + 260^\circ = 360^\circ\)

4. Вычислим величину угла:

\(\angle AOB = 360^\circ — 260^\circ = 100^\circ\)

Ответ: 100

1. Найдём второй катет треугольника по теореме Пифагора: Пусть \(a = 8\) — известный катет, \(c = 10\) — гипотенуза, а \(b\) — неизвестный катет:

\(b = \sqrt{c^2 — a^2} = \sqrt{10^2 — 8^2}\)

\(b = \sqrt{100 — 64} = \sqrt{36} = 6\)

2. Вычислим площадь прямоугольного треугольника: Площадь равна половине произведения его катетов:

\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\)

\(S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\)

Ответ: 24

1. Определим вид угла \(\angle ABC\): Данный угол является вписанным в окружность, так как его вершина B лежит на окружности, а стороны пересекают её. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине дуги, на которую он опирается:

\(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \smile AC\)

2. Определим величину дуги AC по сетке чертежа: Если провести центральный угол \(\angle AOC\), соединив точки A и C с центром окружности O, то по вершинам клеток видно, что радиусы OA и OC взаимно перпендикулярны. Таким образом, центральный угол \(\angle AOC = 90^\circ\).
3. Находим величину вписанного угла: Так как центральный угол равен дуге, на которую он опирается (\(\smile AC = 90^\circ\)), то:

\(\angle ABC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\)

Ответ: 45

Ответ: 23

1. Разложим знаменатели дробей на множители:

• • Первый знаменатель (квадрат разности): \(x^2 — 12x + 36 = (x — 6)^2\)
• • Второй знаменатель (разность квадратов): \(36 — x^2 = (6 — x)(6 + x) = -(x — 6)(x + 6)\)

Перепишем уравнение, вынеся минус из второго знаменателя перед дробью:

\(\frac{1}{(x — 6)^2} — \frac{12}{(x — 6)(x + 6)} = \frac{1}{x + 6}\)

2. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатели не должны обращаться в нуль:

\(x \neq 6\) и \(x \neq -6\)

3. Приведем дроби к общему знаменателю \((x — 6)^2(x + 6)\): Умножим обе части уравнения на этот знаменатель:

\(1 \cdot (x + 6) — 12 \cdot (x — 6) = 1 \cdot (x — 6)^2\)

4. Раскроем скобки и упростим выражение:

\(x + 6 — 12x + 72 = x^2 — 12x + 36\)

Перенесем все члены в правую часть:

\(x^2 — 12x + 36 — x — 6 + 12x — 72 = 0\)

\(x^2 — x — 42 = 0\)

5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант:

\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2\)

\(x_1 = \frac{1 + 13}{2} = 7\)

\(x_2 = \frac{1 — 13}{2} = -6\)

6. Проверим корни по ОДЗ: Корень \(x = -6\) не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Таким образом, единственным решением является \(x = 7\).

Ответ: 7

\(10x + 16y = 14,3\)

3. Составим уравнение для второго случая (слили равные массы, например по 1 кг): Общая масса раствора равна \(1 + 1 = 2 \text{ кг}\). Масса чистой кислоты в нём составляет \(0,61 \cdot 2 = 1,22 \text{ кг}\):

\(1x + 1y = 1,22 \;\rightarrow\; y = 1,22 — x\)

4. Решим полученную систему уравнений методом подстановки:

\(10x + 16(1,22 — x) = 14,3\)

\(10x + 19,52 — 16x = 14,3\)

\(-6x = 14,3 — 19,52\)

\(-6x = -5,22 \;\rightarrow\; x = 0,87\)

Таким образом, концентрация первого раствора составляет 87%.
5. Вычислим массу кислоты в первом растворе: Умножим массу первого раствора на его концентрацию:

\(m = 10 \cdot 0,87 = 8,7 \text{ кг}\)

Ответ: 8,7

1. Раскроем условие с модулем и построим график по участкам:

• • На промежутке \([-3; 3]\) (так как \(|x| \leq 3\)) функция постоянна: \(y = 1\). Это горизонтальный отрезок с концами в точках \((-3; 1)\) и \((3; 1)\)
• • При \(x < -3\) строим луч прямой \(y = -2x — 5\). На границе промежутка при \(x = -3\) получаем \(y = -2(-3) — 5 = 1\), то есть график непрерывен в точке \((-3; 1)\)
• • При \(x > 3\) строим луч прямой \(y = 2x — 5\). На границе промежутка при \(x = 3\) получаем \(y = 2(3) — 5 = 1\), то есть график непрерывен в точке \((3; 1)\)

2. Исследуем пересечение с прямой \(y = kx\) при \(k > 0\): Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат \((0; 0)\) и при \(k > 0\) имеет положительный наклон (идет снизу вверх).

• • При малых значениях \(k\) прямая пересекает левый луч \(y = -2x — 5\) и верхнюю точку правого луча \(y = 2x — 5\) (всего 3 точки)
• • Прямая пройдёт ровно через правый стык графика \((3; 1)\) при \(1 = k \cdot 3 \;\rightarrow\; k = \frac{1}{3}\). В этом случае будут 2 точки пересечения (одна на левом луче, одна в точке \((3; 1)\))
• • При дальнейшем увеличении угла наклона, когда прямая становится параллельной правому лучу \(y = 2x — 5\), точек пересечения справа не будет. Условие параллельности: равенство угловых коэффициентов, то есть \(k = 2\). При \(k = 2\) прямая пересечет только левый луч (1 общая точка)
• • При \(\frac{1}{3} < k < 2\) прямая пересекает отрезок \(y = 1\) и левый луч \(y = -2x — 5\), а также правый луч \(y = 2x — 5\) (3 общие точки)
• • При \(k > 2\) прямая становится круче правого луча и пересекает его, а также пересекает отрезок \(y = 1\) и левый луч (снова 3 общие точки)

3. Таким образом, ровно две общие точки график и прямая имеют только в одном случае — когда прямая проходит через точку \((3; 1)\).

Значение параметра: k = \frac{1}{3}

Ответ: \(\frac{1}{3}\)

1. Найдём градусные меры трёх дуг окружности: Полная градусная мера окружности составляет 360°. Пусть одна часть равна \(x\). Тогда дуги равны \(x\), \(2x\) и \(3x\). Составим уравнение:

\(x + 2x + 3x = 360^\circ \;\rightarrow\; 6x = 360^\circ \;\rightarrow\; x = 60^\circ\)

Таким образом, дуги окружности равны 60°, 120° и 180°.
2. Определим величину угла, противолежащего меньшей стороне: Меньшая сторона треугольника (равная 17) стягивает меньшую дугу окружности, градусная мера которой равна 60°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен её половине:

\(\alpha = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\)

3. Применим теорему синусов для нахождения радиуса \(R\): Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности:

\(2R = \frac{a}{\sin \alpha} \;\rightarrow\; 2R = \frac{17}{\sin 30^\circ}\)

\(2R = \frac{17}{0,5} = 34\)

\(R = 17\)

Ответ: 17

\(180^\circ — 30^\circ — 30^\circ = 120^\circ\)

5. Сделаем вывод: Так как у полученного шестиугольника все стороны равны и все углы равны, то он является правильным по определению, что и требовалось доказать.

1. Используем свойство инцентра (точки пересечения биссектрис): Пусть в треугольнике ABC проведена биссектриса AD к стороне \(BC = 30\). Точка O — точка пересечения биссектрис (инцентр). По известной теореме, точка пересечения биссектрис делит биссектрису AD в отношении:

\(\frac{AO}{OD} = \frac{AB + AC}{BC}\)

2. Подставим известные из условия задачи значения: Нам задано отношение \(\frac{AO}{OD} = \frac{40}{1}\) и длина стороны \(BC = 30\). Подставим их в формулу:

\(\frac{40}{1} = \frac{AB + AC}{30}\)

3. Найдём сумму двух других сторон треугольника: Из пропорции получаем:

\(AB + AC = 40 \cdot 30 = 1200\)

4. Вычислим периметр треугольника: Периметр треугольника \(P\) равен сумме длин всех его трёх сторон:

\(P = (AB + AC) + BC = 1200 + 30 = 1230\)

Ответ: 1230