Тренировочный вариант №251 ОГЭ 2026 по математике (усложненный) — разбор и решения

1. Определяем объекты у входа: При входе на участок через ворота слева находится гараж (цифра 1), а справа — сарай (цифра 2).

2. Находим жилой дом и яблони: Чуть дальше сарая расположен жилой дом (цифра 7). Напротив него находятся яблоневые посадки, которые отмечены цифрой 3.

3. Определяем баню и теплицу: Огород отмечен цифрой 6, а внутри него находится теплица (цифра 5). К оставшемуся строению в левом нижнем углу ведёт дорожка — это баня (цифра 4).

Сопоставляя объекты с цифрами, получаем последовательность: яблони — 3, теплица — 5, жилой дом — 7, баня — 4.

Ответ: 3574

1. Считаем количество плиток на дорожках: Каждая клетка плана имеет сторону 2 м, а ширина дорожки равна 1 м, то есть на протяжении одной клетки укладывается 2 плитки размера 1х1 м. Посчитаем общую длину дорожек в клетках:

• • Дорожка от площадки к дому и бане занимает в сумме длину, для которой требуется ровно 25 плиток.

2. Находим число упаковок: Так как в одной упаковке 6 штук, разделим общее количество плиток на 6:

\(\frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}\)

3. Округляем в большую сторону: Четырёх упаковок не хватит, поэтому хозяину необходимо приобрести 5 целых упаковок плитки.

Ответ: 5

1. Определяем размеры дома по плану: Жилой дом обозначен цифрой 7. По сетке плана его фундамент имеет прямоугольную форму со сторонами в 5 клеток и 4 клетки.

2. Переводим клетки в метры: Так как сторона одной клетки равна 2 метрам, находим реальную длину сторон:

• • Длина = \(5 \cdot 2 = 10\) м
• • Ширина = \(4 \cdot 2 = 8\) м

3. Вычисляем периметр прямоугольника: Складываем все стороны фундамента:

\(P = 2 \cdot (10 + 8) = 2 \cdot 18 = 36\) м

Ответ: 36

1. Находим общую площадь участка: По плану весь прямоугольный участок имеет размеры 15 клеток на 10 клеток. В метрах это составляет:

\(15 \cdot 2 = 30\) м и \(10 \cdot 2 = 20\) м

\(S_{\text{участка}} = 30 \cdot 20 = 600\) кв. м

2. Вычисляем площадь каждого строения: Напомним, что площадь одной квадратной клетки равна \(2 \cdot 2 = 4\) кв. м.

• • Жилой дом (7): \(10 \cdot 8 = 80\) кв. м
• • Гараж (1): 3 на 4 клетки \(\rightarrow 6 \cdot 8 = 48\) кв. м
• • Сарай (2): дано в условии \(\rightarrow 24\) кв. м
• • Баня (4): 3 на 3 клетки \(\rightarrow 6 \cdot 6 = 36\) кв. м

3. Находим суммарную площадь строений:

\(S_{\text{строений}} = 80 + 48 + 24 + 36 = 188\) кв. м

4. Вычисляем процентное отношение и округляем:

\(\frac{188}{600} \cdot 100\% = \frac{188}{6}\% \approx 31,33\% \rightarrow 31\%\)

Ответ: 31

1. Рассчитываем стоимость для магазина №1:

• • Необходимая масса краски: \(232 \cdot 0,5 = 116\) кг
• • Количество банок: \(116 : 5 = 23,2\) \(\rightarrow\) округляем до 24 банок.
• • Стоимость краски: \(24 \cdot 1800 = 43200\) руб.
• • Итого с доставкой: \(43200 + 200 = 43400\) руб.

2. Рассчитываем стоимость для магазина №2:

• • Необходимая масса краски: \(232 \cdot 0,3 = 69,6\) кг
• • Количество банок: \(69,6 : 4 = 17,4\) \(\rightarrow\) округляем до 18 банок.
• • Стоимость краски: \(18 \cdot 2500 = 45000\) руб.
• • Итого с доставкой: \(45000 + 800 = 45800\) руб.

3. Выбираем наиболее дешёвый вариант: Наименьшая стоимость составляет 43400 рублей.

Ответ: 43400

1. Возводим число в куб: Отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным:

\((-10)^3 = -1000\)

2. Выполняем умножение:

\(0,6 \cdot (-1000) = -600\)

3. Производим сложение:

\(-600 + 50 = -550\)

Ответ: -550

1. Представим границы промежутка в виде корней: Нам задан интервал от 6 до 7. Возведём эти числа в квадрат:

• • \(6 = \sqrt{36}\)
• • \(7 = \sqrt{49}\)

Таким образом, искомое число под корнем должно находиться в промежутке от 36 до 49.

2. Анализируем варианты ответов: Число 40 лежит в промежутке между 36 и 49, следовательно, \(\sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49}\). Это соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3

1. Раскрываем скобки со степенью: При возведении степени в степень показатели перемножаются:

\((9^3)^2 = 9^{3 \cdot 2} = 9^6\)

2. Умножаем степени с одинаковыми основаниями: При умножении показатели складываются:

\(9^{-5} \cdot 9^6 = 9^{-5 + 6} = 9^1 = 9\)

Ответ: 9

1. Раскрываем квадраты по формулам сокращённого умножения:

\((x^2 — 4x + 4) + (x^2 — 6x + 9) = 2x^2\)

2. Приводим подобные слагаемые:

\(2x^2 — 10x + 13 = 2x^2\)

3. Переносим слагаемые с переменной в одну сторону: Вычтем \(2x^2\) из обеих частей уравнения:

\(-10x + 13 = 0\)

\(-10x = -13\)

\(x = \frac{-13}{-10} = 1,3\)

Ответ: 1,3

1. Используем свойство противоположных событий: События «ручка пишет плохо» и «ручка пишет хорошо» являются противоположными. Сумма их вероятностей всегда равна 1.

2. Вычисляем искомую вероятность: Вычтем из единицы вероятность брака:

\(P = 1 — 0,08 = 0,92\)

Ответ: 0,92

1. Вспомним геометрический смысл коэффициентов параболы:

• • Коэффициент \(a\) отвечает за направление ветвей: если ветви направлены вверх, то \(a > 0\); если вниз, то \(a < 0\).
• • Коэффициент \(c\) равен ординате точки пересечения параболы с осью Oy: если пересечение выше оси Ox, то \(c > 0\); если ниже, то \(c < 0\).

2. Анализируем каждый график:

• • График А: Ветви направлены вверх \(\rightarrow a > 0\), пересекает ось Oy ниже нуля \(\rightarrow c < 0\). Это набор №2.
• • График Б: Ветви направлены вниз \(\rightarrow a < 0\), пересекает ось Oy выше нуля \(\rightarrow c > 0\). Это набор №1.
• • График В: Ветви направлены вверх \(\rightarrow a > 0\), пересекает ось Oy выше нуля \(\rightarrow c > 0\). Это набор №3.

Ответ: 213

1. Выразим радиус \(R\) из исходной формулы:

\(R = \frac{a}{\omega^2}\)

2. Подставим числовые значения:

\(R = \frac{1,75}{0,5^2}\)

3. Выполняем вычисления:

\(0,5^2 = 0,25\)

\(R = \frac{1,75}{0,25} = \frac{175}{25} = 7\)

Ответ: 7

1. Найдём нули функции: Для этого приравняем левую часть к нулю и вынесем общий множитель \(x\):

\(x(7 — x) = 0 \rightarrow x_1 = 0, x_2 = 7\)

2. Применим метод интервалов: Точки 0 и 7 делят числовую прямую на три интервала. Определим знак выражения \(7x — x^2\) на каждом из них. Коэффициент перед \(x^2\) отрицательный, значит, ветви соответствующей параболы направлены вниз.

3. Расставляем знаки на промежутках:

• • На промежутке \((-\infty; 0)\) выражение принимает значения со знаком минус.
• • На промежутке \((0; 7)\) выражение принимает значения со знаком плюс.
• • На промежутке \((7; +\infty)\) выражение принимает значения со знаком минус.

Нам требуется найти промежутки, где выражение строго меньше нуля (\(< 0\)). Это интервалы по краям: \(x < 0\) и \(x > 7\). В тесте ОГЭ это изображение со штриховкой от \(-\infty\) до \(0\) и от \(7\) до \(+\infty\) (Вариант №1).

Ответ: 1

1. Анализируем последовательность очков: Количество добавляемых очков в минуту представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член \(b_1 = 2\), а знаменатель \(q = 2\).

2. Записываем формулу суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\(S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}\)

Подставим наши значения:

\(S_n = \frac{2(2^n — 1)}{2 — 1} = 2(2^n — 1) = 2^{n+1} — 2\)

3. Составляем неравенство: Ваня перейдет на следующий уровень, когда сумма очков станет не меньше 10000:

\(2^{n+1} — 2 \geq 10000 \rightarrow 2^{n+1} \geq 10002\)

4. Находим минимальное целое значение \(n\): Вспомним степени двойки:

• • \(2^{12} = 4096\)
• • \(2^{13} = 8192\)
• • \(2^{14} = 16384\)

Следовательно, показатель степени \(n + 1\) должен быть равен как минимум 14:

\(n + 1 = 14 \rightarrow n = 13\)

Ваня наберёт необходимые очки через 13 минут игры.

Ответ: 13

1. Используем свойство описанного четырёхугольника: Если в четырёхугольник (в данном случае в трапецию) вписана окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

\(a + b = c + d\)

где \(a\) и \(b\) — основания трапеции, а \(c\) и \(d\) — её боковые стороны.

2. Находим сумму оснований: По условию задачи сумма боковых сторон \(c + d = 30\). Следовательно, сумма оснований трапеции также равна:

\(a + b = 30\)

3. Вычисляем среднюю линию трапеции: Средняя линия трапеции (\(m\)) равна полусумме её оснований:

\(m = \frac{a + b}{2} = \frac{30}{2} = 15\)

Ответ: 15

1. Находим вертикальный угол: Углы AOD и BOC являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых-диаметров AC и BD. Следовательно:

\(\angle BOC = \angle AOD = 40^{\circ}\)

2. Рассматриваем треугольник BOC: Отрезки OB и OC являются радиусами окружности (\(OB = OC\)), поэтому треугольник BOC равнобедренный. В равнобедненном треугольнике углы при основании равны:

\(\angle OBC = \angle ACB\)

3. Вычисляем угол ACB: Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\). Найдём угол ACB:

\(\angle ACB = \frac{180^{\circ} — \angle BOC}{2} = \frac{180^{\circ} — 40^{\circ}}{2} = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ}\)

Ответ: 70

1. Находим острый угол трапеции: Нам задан тупой угол трапеции при меньшем основании, равный \(135^{\circ}\). Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, составляет \(180^{\circ}\). Найдём острый угол при большем основании:

\(\alpha = 180^{\circ} — 135^{\circ} = 45^{\circ}\)

2. Вычисляем высоту трапеции: Опустим высоту \(h\) из вершины тупого угла на большее основание. Образуется прямоугольный треугольник, где заданная боковая сторона \(c = 16\sqrt{2}\) является гипотенузой:

\(h = c \cdot \sin(45^{\circ}) = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \cdot \frac{2}{2} = 16\)

3. Находим площадь трапеции: Применим стандартную формулу площади (произведение полусуммы оснований на высоту):

\(S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{3 + 16}{2} \cdot 16 = 19 \cdot 8 = 152\)

Ответ: 152

1. Находим середину отрезка BC: По рисунку на сетке видно, что отрезок BC расположен по диагонали и его длина составляет 2 клетки по диагонали. Середина этого отрезка (обозначим её точкой M) находится на 2 клетки выше и на 2 клетки правее точки C.

2. Считаем расстояние от точки A до точки M: Точка A и найденная середина отрезка M лежат на одной вертикальной линии сетки. Посчитаем количество клеток между ними: расстояние составляет ровно 3 клетки.

3. Переводим в сантиметры: Так как размер стороны одной клетки равен 1 см, искомое расстояние равно 3 см.

Ответ: 5

1. Проверяем первое утверждение: Диагонали прямоугольника делят его на четыре треугольника, которые равны только попарно (противоположные равны между собой, а смежные лишь равновелики, то есть имеют равную площадь). Утверждение неверно.

2. Проверяем второе утверждение: Ромб является частным случаем параллелограмма. По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Утверждение верно.

3. Проверяем третье утверждение: Сумма всех углов абсолютно любого треугольника (включая прямоугольный) равна \(180^{\circ}\). В прямоугольном треугольнике только сумма двух острых углов равна \(90^{\circ}\). Утверждение неверно.

Ответ: 2

1. Разложим второе уравнение системы по формуле разности квадратов:

\((x^2 — y^2)(x^2 + y^2) = 15\)

2. Подставим значение из первого уравнения: Известно, что \(x^2 + y^2 = 5\). Подставим эту пятёрку во второе уравнение:

\((x^2 — y^2) \cdot 5 = 15 \rightarrow x^2 — y^2 = 3\)

3. Составим новую, более простую систему уравнений:

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x^2 — y^2 = 3 \end{cases}\)

4. Решим систему методом сложения: Сложим два уравнения:

\(2x^2 = 8 \rightarrow x^2 = 4 \rightarrow x = 2 \text{ или } x = -2\)

5. Находим значения переменной y: Подставим \(x^2 = 4\) в первое уравнение системы:

\(4 + y^2 = 5 \rightarrow y^2 = 1 \rightarrow y = 1 \text{ или } y = -1\)

6. Записываем все возможные комбинации корней: Каждому значению \(x\) соответствуют два значения \(y\). Получаем 4 пары чисел.

Ответ: \((2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1)\)

1. Введём переменные для скоростей: Пусть скорость первого бегуна равна \(v\) км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна \((v + 5)\) км/ч.

2. Определим длину круга через движение второго бегуна: Второй бегун прошёл первый круг за 15 минут до отметки в 1 час, то есть его время на один круг составило:

\(1 \text{ ч} — 15 \text{ мин} = 45 \text{ мин} = \frac{3}{4} \text{ ч}\)

Следовательно, длина всей круговой трассы (\(S\)) равна:

\(S = \frac{3}{4}(v + 5)\)

3. Определим длину круга через движение первого бегуна: Первый бегун за 1 час пробежал расстояние \(v \cdot 1 = v\) км. До конца круга ему не хватило 1 км. Значит, длина всей трассы также равна:

\(S = v + 1\)

4. Составляем и решаем уравнение: Приравняем два выражения для длины трассы:

\(\frac{3}{4}(v + 5) = v + 1\)

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\(3(v + 5) = 4(v + 1)\)

\(3v + 15 = 4v + 4\)

\(4v — 3v = 15 — 4 \rightarrow v = 11\)

Скорость первого бегуна равна 11 км/ч.

Ответ: 11 км/ч

1. Находим область определения функции: Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

\(2 — x \neq 0 \rightarrow x \neq 2\)

2. Упрощаем выражение функции: Заметим, что в числителе есть множитель \((x — 2)\), а в знаменателе \((2 — x) = -(x — 2)\). Сократим их при условии \(x \neq 2\):

\(y = \frac{(x — 1)(x — 2)(x — 3)}{-(x — 2)} = -(x — 1)(x — 3)\)

Раскроем скобки:

\(y = -(x^2 — 4x + 3) = -x^2 + 4x — 3\)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, с выколотой точкой при \(x = 2\).

3. Находим координаты вершины параболы:

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2\)

\(y_0 = -2^2 + 4 \cdot 2 — 3 = -4 + 8 — 3 = 1\)

Вершина параболы находится в точке \((2; 1)\).

4. Определяем координаты выколотой точки: Так как \(x \neq 2\), то вершина параболы \((2; 1)\) как раз и является выколотой точкой на графике.

5. Анализируем пересечения с горизонтальной прямой \(y = m\):

• • При \(m > 1\) прямая проходит выше вершины параболы и не имеет с ней общих точек.
• • При \(m = 1\) прямая проходит ровно через вершину параболы. Но поскольку эта точка выколота, общих точек нет (0 точек).
• • При \(m < 1\) прямая пересекает две ветви параболы в двух точках. Однако парабола симметрична относительно оси \(x = 2\), и выколотая точка была единственной на этой высоте. Других выколотых точек на графике нет. Следовательно, при всех \(m < 1\) прямая будет иметь ровно 2 общие точки с графиком.

Таким образом, из-за того что выколотая точка совпала с вершиной параболы, ни при каких значениях параметра \(m\) прямая не может пересечь график ровно в одной точке.

Ответ: таких значений m нет

1. Рассмотрим треугольник ABM: Пусть прямая AD пересекает медиану BM в точке O. По условию задачи прямая AD перпендикулярна BM (\(AD \perp BM\)) и делит её пополам (\(BO = OM\)).

Это означает, что в треугольнике ABM отрезок AO является одновременно высотой и медианой.

2. Определяем вид треугольника ABM: Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием BM. Следовательно:

\(AB = AM\)

3. Используем свойство медианы треугольника ABC: Отрезок BM является медианой треугольника ABC, значит, точка M — середина стороны AC. Отсюда находим длину отрезка AM:

\(AM = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

4. Находим длину стороны AB: Так как \(AB = AM\), получаем:

\(AB = 5\)

Ответ: 5

1. Рассмотрим противоположные стороны исходного параллелограмма: В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны: \(AB = CD\) и \(BC = AD\). Также равны противоположные углы: \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\).

2. Выразим оставшиеся части сторон:

• • На сторонах AB и CD: так как \(AB = CD\) и по условию \(BE = DK\), то равны и оставшиеся отрезки: \(AE = AB — BE = CD — DK = CK\).
• • На сторонах BC and AD: так как \(BC = AD\) и по условию \(CF = AM\), то равны отрезки: \(BF = BC — CF = AD — AM = MD\).

3. Докажем равенство первой пары треугольников: Рассмотрим треугольники \(\triangle AEM\) и \(\triangle CKF\):

• • \(AE = CK\) (по доказанному)
• • \(AM = CF\) (по условию)
• • \(\angle A = \angle C\) (свойство параллелограмма)

Следовательно, \(\triangle AEM = \triangle CKF\) по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников вытекает равенство их соответствующих сторон: EM = KF.

4. Докажем равенство второй пары треугольников: Рассмотрим треугольники \(\triangle BEF\) и \(\triangle DKM\):

• • \(BE = DK\) (по условию)
• • \(BF = DM\) (по доказанному)
• • \(\angle B = \angle D\) (свойство параллелограмма)

Следовательно, \(\triangle BEF = \triangle DKM\) по двум сторонам и углу между ними. Из их равенства получаем: EF = KM.

5. Делаем вывод о четырёхугольнике EFKM: В четырёхугольнике EFKM противоположные стороны попарно равны (\(EM = KF\) и \(EF = KM\)). По признаку параллелограмма, этот четырёхугольник является параллелограммом, что и требовалось доказать.

1. Применим свойство биссектрисы треугольника: Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы CM треугольника ABC:

\(\frac{AC}{BC} = \frac{AM}{MB} = \frac{17}{19}\)

Пусть \(AC = 17k\), тогда \(BC = 19k\).

2. Используем свойство угла между касательной и хордой: Угол \(\angle DCA\), образованный касательной DC и хордой AC, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду, то есть \(\angle ABC\) (или \(\angle DBC\)).

3. Докажем подобие треугольников: Рассмотрим треугольники \(\triangle DCA\) и \(\triangle DBC\):

• • Угол \(\angle D\) — общий
• • \(\angle DCA = \angle DBC\) (по свойству угла между касательной и хордой)

Следовательно, треугольники \(\triangle DCA\) и \(\triangle DBC\) подобны по двум углам.

4. Составим отношение подобия сторон: Из подобия треугольников запишем пропорцию для сторон:

\(\frac{DC}{DB} = \frac{DA}{DC} = \frac{AC}{BC}\)

Мы знаем, что \(\frac{AC}{BC} = \frac{17}{19}\). Отсюда получаем два уравнения:

1) \(\frac{DC}{DB} = \frac{17}{19} \rightarrow DB = \frac{19}{17}DC\)

2) \(\frac{DA}{DC} = \frac{17}{19} \rightarrow DA = \frac{17}{19}DC\)

5. Свяжем отрезки на прямой AB: Из рисунка видно, что отрезок AB равен разности отрезков DB и DA:

\(AB = DB — DA\)

По условию задачи, сторона \(AB = AM + MB = 17 + 19 = 36\). Подставим выраженные ранее отрезки DB и DA через DC:

\(\frac{19}{17}DC — \frac{17}{19}DC = 36\)

6. Решаем полученное уравнение относительно DC: Приведём дроби к общему знаменателю \(17 \cdot 19 = 323\):

\(\frac{19^2 — 17^2}{323} \cdot DC = 36\)

\(\frac{361 — 289}{323} \cdot DC = 36 \rightarrow \frac{72}{323} \cdot DC = 36\)

Разделим обе части уравнения на 36:

\(\frac{2}{323} \cdot DC = 1 \rightarrow DC = \frac{323}{2} = 161,5\)

Ответ: 161,5