Тренировочный вариант №250 ОГЭ 2026 по математике — разбор и решения

1. Понимаем принцип маркировки форматов: Чем больше цифра в обозначении формата (А2, А3, А5, А6), тем меньше размеры самого листа бумаги.

2. Упорядочиваем форматы от самого большого к самому меньшему:

А2 \(\rightarrow\) А3 \(\rightarrow\) А5 \(\rightarrow\) А6

3. Упорядочиваем размеры из таблицы по убыванию длины (или ширины):

• • Лист №2: 594 мм (самый большой)
• • Лист №4: 420 мм
• • Лист №1: 210 мм
• • Лист №3: 148 мм (самый маленький)

4. Сопоставляем форматы и номера листов:

• • А2 \(\rightarrow\) Лист №2
• • А3 \(\rightarrow\) Лист №4
• • А5 \(\rightarrow\) Лист №1
• • А6 \(\rightarrow\) Лист №3

Получаем последовательность цифр: 2, 4, 1, 3.

Ответ: 2413

1. Используем правило деления листов: Из условия задачи известно, что при разрезании любого листа бумаги формата А пополам получаются два равных листа следующего формата.

2. Разрезаем лист А2: Если разрезать один лист формата А2 пополам параллельно меньшей стороне, то мы получим ровно 2 листа формата А3.

Ответ: 2

1. Выписываем размеры листа А3: Из таблицы к задаче №1 мы определили, что формату А3 соответствует лист под номером 4. Его размеры:

• • Длина = 420 мм
• • Ширина = 297 мм

2. Переводим миллиметры в сантиметры: Так как ответ требуется дать в квадратных сантиметрах, переведем стороны (1 см = 10 мм):

• • Длина = 420 : 10 = 42 см
• • Ширина = 297 : 10 = 29,7 см

3. Вычисляем площадь прямоугольника: Умножим длину на ширину:

\(S = 42 \cdot 29,7\)

\(S = 1247,4\) \(\text{см}^2\)

Ответ: 1247,4

1. Устанавливаем взаимосвязь размеров: При переходе к более крупному формату (от А2 к А1) меньшая сторона предыдущего формата становится большей стороной следующего, а большая сторона увеличивается в 2 раза и становится меньшей стороной нового формата.

2. Используем размеры формата А2 (Лист №2):

• • Ширина А2 = 420 мм
• • Длина А2 = 594 мм

3. Находим размеры формата А1:

• • Ширина А1 будет равна длине А2, то есть 594 мм
• • Длина А1 будет в 2 раза больше ширины А2: \(420 \cdot 2 = 840\) мм

4. Округляем результат: Полученное число 840 мм уже является целым и кратным 10.

Ответ: 840

1. Определяем долю площади листа А5 от листа А0: Из условия мы знаем, что площадь листа А0 равна 1 кв. м. Каждый следующий формат ровно в 2 раза меньше предыдущего по площади:

• • В 1 листе А0 содержится 2 листа А1
• • В 1 листе А0 содержится 4 листа А2
• • В 1 листе А0 содержится 8 листов А3
• • В 1 листе А0 содержится 16 листов А4
• • В 1 листе А0 содержится 32 листа А5

Значит, из одного большого листа площади 1 кв. м получается ровно 32 листа формата А5.

2. Находим, сколько полных листов площади 1 кв. м содержится в пачке: В пачке находится 500 листов формата А5. Посчитаем их суммарный эквивалент в листах А0:

\(N = 500 : 32 = 15,625\) листов формата А0

3. Вычисляем общую массу пачки: Так как 1 кв. м (то есть 1 лист А0) весит 80 грамм, умножим количество получившихся листов А0 на массу одного листа:

\(M = 15,625 \cdot 80 = 1250\) г

Ответ: 1250

1. Переходим от деления к умножению: Для этого умножаем первую дробь на дробь, обратную второй:

\(\frac{21}{2} \cdot \frac{5}{3}\)

2. Сокращаем дроби: Число 21 и число 3 делятся на 3:

\(\frac{7 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \frac{35}{2}\)

3. Переводим в десятичную дробь: Разделим 35 на 2:

\(\frac{35}{2} = 17,5\)

Ответ: 17,5

1. Представим границы отрезков в виде квадратных корней: На координатной прямой точка A находится между числами 5 и 6, ближе к числу 5. Запишем эти числа в виде корней:

• • \(5 = \sqrt{25}\)
• • \(6 = \sqrt{36}\)

2. Определяем положение точки A: Координата точки A лежит в интервале от \(\sqrt{25}\) до \(\sqrt{36}\), то есть \(\sqrt{25} < A < \sqrt{36}\). Из предложенных вариантов в этот промежуток попадают числа \(\sqrt{28}\) и \(\sqrt{32}\).

3. Уточняем значение: Середина отрезка между 5 и 6 — это число 5,5, что равно \(\sqrt{5,5^2} = \sqrt{30,25}\). Из рисунка видно, что точка A находится левее середины (ближе к 5), значит, \(A < \sqrt{30,25}\). Из двух вариантов подходит только \(\sqrt{28}\), так как \(\sqrt{28} < \sqrt{30,25}\). Это соответствует варианту номер 1.

Ответ: 1

1. Упрощаем выражение под знаком корня: Поскольку степень 8 чётная, знак минус исчезает: \((-a)^8 = a^8\). При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:

\(a^8 \cdot a^2 = a^{8+2} = a^{10}\)

2. Извлекаем квадратный корень:

\(\sqrt{a^{10}} = a^5\)

3. Подставляем значение \(a = 2\):

\(2^5 = 32\)

Ответ: 32

1. Переносим числовую часть в правую сторону уравнения:

\(x^2 = 121\)

2. Находим корни уравнения: Числа, квадрат которых равен 121, — это 11 и -11:

\(x_1 = 11\)

\(x_2 = -11\)

3. Выбираем меньший корень: Из двух корней меньшим является отрицательное число.

\(x = -11\)

Ответ: -11

1. Находим общее число исходов: Сложим количество исходов во всех областях диаграммы (включая исходы вне кругов A и B):

\(18 + 6 + 12 + 24 = 60\)

2. Находим количество исходов, благоприятных для события A \(\cup\) B: Объединение событий A и B включает в себя все исходы, которые находятся внутри круга A, внутри круга B или в их пересечении:

\(18 + 6 + 12 = 36\)

3. Вычисляем вероятность: Разделим число благоприятных исходов на общее количество исходов:

\(P = \frac{36}{60} = \frac{6}{10} = 0,6\)

Ответ: 0,6

1. Вспомним геометрический смысл коэффициентов:

• • Коэффициент \(k\) отвечает за наклон прямой: если функция возрастает, то \(k > 0\); если убывает, то \(k < 0\)
• • Коэффициент \(b\) равен ординате точки пересечения графика с осью Oy: если пересечение выше оси Ox, то \(b > 0\); если ниже, то \(b < 0\)

2. Анализируем каждый график:

• • График А: Функция возрастает \(\rightarrow k > 0\), пересекает ось Oy ниже нуля \(\rightarrow b < 0\). Это соответствует набору №3
• • График Б: Функция возрастает \(\rightarrow k > 0\), пересекает ось Oy выше нуля \(\rightarrow b > 0\). Это соответствует набору №2
• • График В: Функция убывает \(\rightarrow k < 0\), пересекает ось Oy ниже нуля \(\rightarrow b < 0\). Это соответствует набору №1

Ответ: 321

1. Подставим известное значение в формулу: По условию задачи \(t_F = 5\). Подставим это число в заданное выражение:

\(t_C = \frac{5}{9}(5 — 32)\)

2. Выполняем действие в скобках:

\(5 — 32 = -27\)

3. Производим умножение и сокращение:

\(t_C = \frac{5}{9} \cdot (-27) = 5 \cdot (-3) = -15\)

Ответ: -15

1. Анализируем графическое решение: Штриховка находится по краям от числового промежутка, то есть решениями являются два интервала: \(x < -8\) и \(x > 8\). Это можно записать в виде совокупности или как \(|x| > 8\).

2. Возведём обе части неравенства в квадрат: Получаем \(x^2 > 64\).

3. Перенесём число в левую часть:

\(x^2 — 64 > 0\)

Данное неравенство полностью соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2

1. Определяем количество периодов увеличения: Посчитаем, сколько раз по 30 минут прошло за 150 минут:

\(150 : 30 = 5\)

Таким образом, масса колонии будет увеличиваться в 3 раза ровно 5 раз.

2. Вычисляем итоговую массу: Начальная масса равна 10 мг. На каждом шаге мы умножаем текущее значение на 3:

• • Через 30 мин: \(10 \cdot 3 = 30\) мг
• • Через 60 мин: \(30 \cdot 3 = 90\) мг
• • Через 90 мин: \(90 \cdot 3 = 270\) мг
• • Через 120 мин: \(270 \cdot 3 = 810\) мг
• • Через 150 мин: \(810 \cdot 3 = 2430\) мг

Или с помощью формулы: \(10 \cdot 3^5 = 10 \cdot 243 = 2430\) мг.

Ответ: 2430

1. Вспомним свойства равностороннего треугольника: В равностороннем треугольнике биссектриса также является медианой и высотой (\(h\)). Связь между стороной (\(a\)) и высотой (\(h\)) выражается формулой:

\(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

2. Подставим значение биссектрисы в формулу:

\(13\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

3. Выразим сторону \(a\): Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):

\(13 = \frac{a}{2}\)

Умножим обе части на 2:

\(a = 13 \cdot 2 = 26\)

Ответ: 26

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Проведём отрезок OA, который является радиусом окружности, поэтому \(OA = 2\). Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO (угол D равен \(90^{\circ}\)).

2. Выразим стороны треугольника через сторону квадрата: Пусть сторона квадрата равна \(x\). Тогда отрезок \(AD = x\). Так как точка O — середина стороны CD, то отрезок \(DO = \frac{x}{2}\).

3. Применим теорему Пифагора для \(\triangle ADO\):

\(AD^2 + DO^2 = OA^2\)

\(x^2 + (\frac{x}{2})^2 = 2^2\)

\(x^2 + \frac{x^2}{4} = 4\)

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{5x^2}{4} = 4 \rightarrow 5x^2 = 16 \rightarrow x^2 = \frac{16}{5} = 3,2\)

4. Находим площадь квадрата: Площадь квадрата со стороной \(x\) равна \(x^2\). Мы уже нашли это значение на предыдущем шаге.

\(S = x^2 = 3,2\)

Ответ: 3,2

1. Вспомним свойство высот равнобедренной трапеции: Если в равнобедренной трапеции провести две высоты из вершин верхнего (меньшего) основания, они отсекут от большего основания два равных прямоугольных треугольника по бокам.

2. Определяем длины отрезков: Высота делит большее основание на меньший отрезок (который равен \(\frac{a — b}{2}\), где \(a\) и \(b\) — основания) и больший отрезок (который равен \(\frac{a + b}{2}\)). По условию эти отрезки равны 3 и 5.

3. Находим меньшее основание: Больший отрезок (длиной 5) состоит из проекции меньшего основания (которая в точности равна самому меньшему основанию \(b\)) и второго бокового отрезка (который равен первому, то есть 3).

\(b = 5 — 3 = 2\)

Ответ: 2

1. Находим радиус меньшего круга: По сетке определяем расстояние от центра меньшего круга до его границы:

\(r = 1,41\) кл.

2. Находим радиус большего круга: Аналогично по клеткам считаем радиус большого круга:

\(R = 2\) кл.

3. Находим отношение площадей: Площади кругов относятся как квадраты их радиусов (коэффициент подобия в квадрате):

\(\frac{S_R}{S_r} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{2^2}{1,41^2} = \frac{4}{2} = 2\)

Ответ: 2

1. Проверяем первое утверждение: Касательная к окружности перпендикулярна (а не параллельна) радиусу, проведённому в точку касания. Утверждение неверно.

2. Проверяем второе утверждение: Ромб является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Утверждение верно.

3. Проверяем третье утверждение: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, а не всех внутренних углов. Утверждение неверно.

Ответ: 2

1. Находим радиус меньшего круга: По сетке определяем расстояние от центра меньшего круга до его границы:

\(r = 2\) кл.

2. Находим радиус большего круга: Аналогично по клеткам считаем радиус большого круга:

\(R = 4\) кл.

3. Находим отношение площадей: Площади кругов относятся как квадраты их радиусов (коэффициент подобия в квадрате):

\(\frac{S_R}{S_r} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{4^2}{2^2} = \frac{16}{4} = 4\)

Ответ: 4

1. Проверяем первое утверждение: Касательная к окружности перпендикулярна (а не параллельна) радиусу, проведённому в точку касания. Утверждение неверно.

2. Проверяем второе утверждение: Ромб является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Утверждение верно.

3. Проверяем третье утверждение: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, а не всех внутренних углов. Утверждение неверно.

Ответ: 2

1. Преобразуем числитель дроби: Заметим в числителе полный квадрат. Вынесем общий множитель 2 за скобки:

\(2(x^2 — 4x + 4) = 2(x — 2)^2\)

Перепишем исходное неравенство в виде:

\(\frac{2(x — 2)^2}{x + 5} \leq 0\)

2. Определяем область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

\(x + 5 \neq 0 \rightarrow x \neq -5\)

3. Анализируем знаки выражений методом интервалов:

• • Множитель \(2(x — 2)^2\) всегда неотрицателен (\(\geq 0\)) при любом допустимом \(x\). Он обращается в нуль при \(x = 2\)
• • Точка \(x = 2\) является решением неравенства, так как при этом значении вся дробь равна нулю (\(0 \leq 0\) — верно)
• • Чтобы вся дробь была строго меньше нуля (\(< 0\)), знаменатель обязан быть отрицательным, поскольку числитель положителен при \(x \neq 2\):

  \(x + 5 < 0 \rightarrow x < -5\)

4. Объединяем полученные результаты: Решением неравенства являются все числа меньше -5, а также изолированная точка 2. Запишем это в виде промежутков:

\(x \in (-\infty; -5) \cup \{2\}\)

Ответ: \((-\infty; -5) \cup \{2\}\)

1. Главный принцип: При высыхании фруктов испаряется только вода, а масса сухого вещества (питательной основы) остаётся неизменной.

2. Находим процентное содержание сухого вещества:

• • В свежих фруктах: \(100\% — 88\% = 12\%\)
• • В высушенных фруктах: \(100\% — 16\% = 84\%\)

3. Вычисляем массу сухого вещества в готовом продукте: У нас есть 31 кг высушенных фруктов, из которых \(84\%\) составляет сухое вещество:

\(m_{\text{сух}} = 31 \cdot 0,84 = 26,04\) кг

4. Находим необходимую массу свежих фруктов: Пусть масса свежих фруктов равна \(X\) кг. Эти же 26,04 кг сухого вещества составляют ровно \(12\%\) от массы свежих фруктов:

\(0,12 \cdot X = 26,04\)

\(X = \frac{26,04}{0,12} = \frac{2604}{12}\)

Разделим числа:

\(X = 217\) кг

Ответ: 217 кг

1. Находим область определения функции (ОДЗ): Знаменатель не должен обращаться в нуль:

\(6x^2 + 7x \neq 0 \rightarrow x(6x + 7) \neq 0\)

Получаем два выколотых значения: \(x \neq 0\) и \(x \neq -\frac{7}{6}\).

2. Упрощаем формулу функции на ОДЗ: Вынесем \(x\) в знаменателе за скобки и сократим общую часть:

\(y = \frac{6x + 7}{x(6x + 7)} = \frac{1}{x}\)

Таким образом, график исходной функции — это обычная гипербола \(y = \frac{1}{x}\), но с одной выколотой точкой. Найдём ординату этой выколотой точки, подставив \(x = -\frac{7}{6}\):

\(y = \frac{1}{-\frac{7}{6}} = -\frac{6}{7}\)

Выколотая точка имеет координаты: \((-\frac{7}{6}; -\frac{6}{7})\).

3. Анализируем пересечения с прямой \(y = kx\): Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат \((0;0)\).

• • При \(k \leq 0\) прямая лежит во II и IV четвертях (или совпадает с осью Ox при \(k=0\)), поэтому вообще не пересекает гиперболу, расположенную в I и III четвертях (0 общих точек)
• • При \(k > 0\) прямая \(y = kx\) пересекает ветви гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) ровно в двух точках (симметричных относительно начала координат)
• • Особый случай: Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из двух точек пересечения попадёт точно в выколотую точку \((-\frac{7}{6}; -\frac{6}{7})\) графика функции

4. Находим значение \(k\) для особого случая: Подставим координаты выколотой точки в уравнение прямой:

\(-\frac{6}{7} = k \cdot (-\frac{7}{6})\)

\(k = \frac{-6/7}{-7/6} = \frac{6}{7} \cdot \frac{6}{7} = \frac{36}{49}\)

При \(k = \frac{36}{49}\) вторая точка пересечения будет действительной, а первая окажется выколотой, что обеспечит ровно одно пересечение.

Ответ: \(k = \frac{36}{49}\)

1. Применим теорему о касательной и секущей: Из точки A к окружности проведены касательная AB и секущая AC, которая пересекает окружность в некоторой точке K. По теореме о квадрат касательной:

\(AB^2 = AK \cdot AC\)

2. Находим отрезок AK: Подставим известные по условию значения AB = 1 и AC = 5:

\(1^2 = AK \cdot 5 \rightarrow AK = \frac{1}{5} = 0,2\)

3. Находим длину хорды KC: Точки A, K и C лежат на одной прямой, следовательно:

\(KC = AC — AK = 5 — 0,2 = 4,8\)

4. Определяем диаметр окружности: По условию задачи центр окружности лежит на стороне AC. Хорда KC проходит через центр окружности, а значит, она является её диаметром.

\(D = KC = 4,8\)

Ответ: 4,8

1. Используем свойство вписанного четырёхугольника: Так как около четырёхугольника ABCD описана окружность, сумма его противоположных углов равна \(180^{\circ}\). Запишем это для углов BAD и BCD:

\(\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ}\)

2. Рассмотрим смежные углы: Угол BCD и угол BCM являются смежными, поэтому их сумма также равна \(180^{\circ}\):

\(\angle BCM + \angle BCD = 180^{\circ}\)

3. Приравниваем углы: Из двух предыдущих равенств следует, что:

\(\angle BCM = \angle BAD\) (или \(\angle BCM = \angle MDA\))

4. Доказываем подобие треугольников: Рассмотрим треугольники MBC и MDA:

• • \(\angle M\) — общий угол для обоих треугольников
• • \(\angle BCM = \angle MDA\) по доказанному выше

Следовательно, треугольники MBC и MDA подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников), что и требовалось доказать.

1. Анализируем пересечение медианы и биссектрисы: Пусть BE и AD пересекаются в точке O. В треугольнике ABD отрезок BO является биссектрисой (так как лежит на биссектрисе BE) и высотой (так как \(BE \perp AD\)).

Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный. Значит, \(AB = BD\), а точка O является серединой медианы AD:

\(AO = OD = \frac{AD}{2} = \frac{40}{2} = 20\)

2. Определяем соотношение сторон: Так как AD — медиана треугольника ABC, то точка D — середина стороны BC, то есть \(BC = 2 \cdot BD\). С учётом равенства \(AB = BD\) получаем:

\(BC = 2 \cdot AB\)

3. Используем свойство отрезков и подобие: Проведём через точку D прямую, параллельную биссектрисе BE, которая пересечёт сторону AC в точке F. В треугольнике BCE отрезок DF является средней линией (проходит через середину BC и параллелен BE). Значит:

\(EF = FC\) и \(DF = \frac{BE}{2} = \frac{40}{2} = 20\)

Рассмотрим треугольник ADF. Отрезок OE параллелен DF, а точка O — середина AD. Значит, OE — средняя линия треугольности ADF. Тогда:

\(AE = EF\) и \(OE = \frac{DF}{2} = \frac{20}{2} = 10\)

Так как \(AE = EF = FC\), вся сторона \(AC = 3 \cdot AE\).

4. Находим длину отрезка BO:

\(BO = BE — OE = 40 — 10 = 30\)

5. Вычисляем стороны треугольника по теореме Пифагора: Из прямоугольного треугольника AOB (угол AOB = \(90^{\circ}\)):

\(AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13}\)

Тогда вторая сторона BC равна:

\(BC = 2 \cdot AB = 20\sqrt{13}\)

Из прямоугольного треугольника AOE (угол AOE = \(90^{\circ}\)):

\(AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}\)

Тогда третья сторона AC равна:

\(AC = 3 \cdot AE = 30\sqrt{5}\)

Ответ: \(10\sqrt{13}\), \(20\sqrt{13}\), \(30\sqrt{5}\)