Тренировочный вариант №249 ОГЭ 2026 по математике (усложненный) — разбор и решения

1. Проанализируем направление движения и повороты: Из описания следует, что из Николаевки путь идёт по шоссе через Свистуху до Берёзовки, где нужно повернуть под прямым углом налево. Если мы начнём движение из точки 4 вверх к точке 1, то в точке 1 поворот налево приведёт нас к точке 2. Значит, точка 4 — это д. Николаевка, а точка 1 — д. Берёзовка.

2. Определим оставшиеся пункты: Точка 3 находится между Николаевкой (4) и Берёзовкой (1), следовательно, это д. Свистуха. Точка 2, куда ведёт дорога после поворота, — с. Игнатьево.

3. Сопоставим пункты с таблицей:

• д. Берёзовка — 1
• с. Игнатьево — 2
• д. Николаевка — 4
• д. Свистуха — 3

Получаем последовательность цифр: 1243.

Ответ: 1243

1. Определим участки пути по шоссе: Маршрут через Берёзовку состоит из двух отрезков шоссе: от д. Николаевка до д. Берёзовка и от д. Берёзовка до с. Игнатьево.

2. Сложим расстояния этих участков: По условию, расстояние от Николаевки до Берёзовки равно 36 км, а от Берёзовки до Игнатьево — 15 км:

\(S = 36 + 15 = 51\text{ км}\)

Ответ: 51

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Дороги по шоссе образуют прямой угол в д. Берёзовка. Прямая дорожка между д. Николаевка и с. Игнатьево является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами в котором выступают участки шоссе.

2. Применим теорему Пифагора: Длины катетов равны 36 км и 15 км:

\(L = \sqrt{36^2 + 15^2}\)

\(L = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39\text{ км}\)

Ответ: 39

1. Найдем общее время в часах: Весь этот путь проходит по шоссе, общая длина которого составляет 51 км (из задания №2). Скорость движения по шоссе равна 20 км/ч:

\(t = \frac{51}{20}\text{ часов}\)

2. Переведём полученное время в минуты: Умножим значение на 60 минут:

\(t = \frac{51}{20} \cdot 60 = 51 \cdot 3 = 153\text{ минуты}\)

Ответ: 153

1. Рассчитаем время для маршрута №1 (прямая лесная дорожка):Расстояние по прямой от Николаевки до Игнатьево равно 39 км (из задания №3). Скорость по лесной дорожке составляет 15 км/ч:

\(t_1 = \frac{39}{15}\text{ ч} = 2,6\text{ ч} = 2,6 \cdot 60 = 156\text{ минут}\)

2. Время для маршрута №2 (по шоссе через Берёзовку):

Из задания №4 время на этом маршруте равно 153 минутам.

3. Рассчитаем время для маршрута №3 (по шоссе до Свистухи, затем по тропинке мимо пруда):

Участок №1 (шоссе Николаевка — Свистуха): расстояние 16 км, скорость 20 км/ч:

\(t_{3.1} = \frac{16}{20}\text{ ч} = 0,8\text{ ч} = 0,8 \cdot 60 = 48\text{ минут}\)

Участок №2 (тропинка Свистуха — Игнатьево): найдём расстояние \(d\) по теореме Пифагора. Заметим, что расстояние Свистуха — Берёзовка равно \(36 — 16 = 20\text{ км}\), а Берёзовка — Игнатьево равно 15 км:

\(d = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\text{ км}\)

Время движения по тропинке со скоростью 15 км/ч:

\(t_{3.2} = \frac{25}{15}\text{ ч} = \frac{5}{3}\text{ ч} = \frac{5}{3} \cdot 60 = 100\text{ минут}\)

Общее время третьего маршрута: \(48 + 100 = 148\text{ минут}\).

4. Выберем наименьшее время: Сравнивая 156, 153 и 148 минут, получаем минимальный результат 148 минут.

Ответ: 148

1. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: Заметим, что числа 4,4 и 6,6 делятся на 2,2:

\(\frac{4,4}{6,6} = \frac{2}{3}\)

2. Выполним умножение на оставшуюся дробь:

\(\frac{2}{3} \cdot 0,3 = \frac{2 \cdot 0,3}{3} = 2 \cdot 0,1 = 0,2\)

Ответ: 0,2

1. Переведем обыкновенную дробь в десятичную или соотнесем с делениями: Разделим 1 на 7 с остатком:

\(\frac{1}{7} \approx 0,143\)

2. Сравним с контрольными точками на координатной оси:
На оси отмечены деления: \(0\), \(\frac{1}{6} \approx 0,167\), \(\frac{1}{3} \approx 0,333\), \(\frac{1}{2} = 0,5\) и так далее.

Поскольку \(0 < 0,143 < 0,167\), искомое число лежит строго между нулём и первой отметкой \(\frac{1}{6}\). Этому положению соответствует крайняя левая точка \(A\). В списке вариантов она находится под номером 1.

Ответ: 1

1. Приведем дроби внутри скобок к общему знаменателю: Наименьший общий знаменатель равен \(8a\):

\(\frac{1}{4a} + \frac{1}{8a} = \frac{2}{8a} + \frac{1}{8a} = \frac{3}{8a}\)

2. Выполним умножение и сокращение выражения:

\(\frac{3}{8a} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{3 \cdot a^2}{16a} = \frac{3a}{16}\)

3. Подставим значение \(a = -7,2\) в упрощенный вид:

\(\frac{3 \cdot (-7,2)}{16} = \frac{-21,6}{16} = -1,35\)

Ответ: -1,35

1. Применим теорему Виета: Квадратный трёхчлен вида \(x^2 + bx + c\) раскладывается по формуле \((x — x_1)(x — x_2)\), где \(x_1\) и \(x_2\) — его корни. По теореме Виета произведение корней равно свободному члену:

\(x_1 \cdot x_2 = 72\)

2. Найдем неизвестный корень: Из первой скобки разложения видно, что один из корней равен \(x_1 = -9\). Подставим его в уравнение произведения:

\(-9 \cdot x_2 = 72 \Rightarrow x_2 = \frac{72}{-9} = -8\)

3. Определим коэффициент a: Вторая скобка разложения имеет вид \((x — a)\). Так как второй корень \(x_2 = -8\), скобка запишется как \((x — (-8)) = (x + 8)\). Из сравнения \((x — a) = (x + 8)\) получаем:

\(-a = 8 \Rightarrow a = -8\)

Ответ: -8

1. Вспомним определение относительной частоты: Относительная частота равна отношению числа попаданий к общему количеству совершённых выстрелов.

2. Оценим результаты каждого участника:

• Стрелок №1: \(W_1 = \frac{8}{49} \approx 0,16\)
• Стрелок №2: \(W_2 = \frac{35}{37} \approx 0,95\) — абсолютный лидер, промахнулся всего дважды при высоком числе попаданий.
• Стрелок №3: \(W_3 = \frac{22}{70} \approx 0,31\)
• Стрелок №4: \(W_4 = \frac{19}{64} \approx 0,30\)

Наибольшую относительную частоту имеет стрелок под номером 2.

Ответ: 2

1. Используем свойства коэффициентов линейной функции \(y = kx + b\): Коэффициент \(k\) отвечает за наклон (при \(k > 0\) прямая растёт, при \(k < 0\) убывает), а свободный член \(b\) задаёт точку пересечения с осью \(y\).

2. Сопоставим каждый график с формулами:

• График А — прямая возрастает (\(k > 0\)), точка пересечения \(b = 4\) \(\Rightarrow\) 1
• График Б — прямая убывает (\(k < 0\)), точка пересечения \(b = -4\) \(\Rightarrow\) 2
• График В — прямая убывает (\(k < 0\)), точка пересечения \(b = 4\) \(\Rightarrow\) 3

Запишем номера формул по порядку букв А-Б-В.

Ответ: 123

1. Выразим неизвестную сторону a из формулы площади:

\(2S = ah \Rightarrow a = \frac{2S}{h}\)

2. Подставим числовые значения из условия:

\(a = \frac{2 \cdot 36}{12}\)

3. Выполним сокращение и расчёт:

\(a = 2 \cdot 3 = 6\text{ м}\)

Ответ: 6

1. Решим каждое неравенство системы по отдельности: Перенесем известные числовые слагаемые в правые части неравенств, изменив их знаки на противоположные:

• Первое неравенство: \(x \geq 4,3\)
• Второе неравенство: \(x \leq 10 — 5 \Rightarrow x \leq 5\)

2. Найдем пересечение полученных решений: Искомая переменная \(x\) должна одновременно удовлетворять двум условиям: быть не меньше \(4,3\) и не больше \(5\). Запишем это в виде двойного неравенства:

\(4,3 \leq x \leq 5\)

Следовательно, решением является числовой отрезок \([4,3; 5]\). На графических схемах в КИМ данный вариант соответствует рисунку под номером 4.

Ответ: 4

1. Запишем формулу суммы членов арифметической прогрессии: Нам известна сумма всех членов прогрессии \(S_{13} = 221\), количество дней \(n = 13\) и первый член \(a_1 = 5\). Формула имеет вид:

\(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\)

2. Выразим и найдем последний член прогрессии \(a_{13}\): Подставим известные числовые данные в формулу:

\(221 = \frac{5 + a_{13}}{2} \cdot 13\)

Разделим обе части уравнения на 13:

\(17 = \frac{5 + a_{13}}{2}\)

Умножим уравнение на 2:

\(34 = 5 + a_{13} \Rightarrow a_{13} = 34 — 5 = 29\text{ тонн}\)

Ответ: 29

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: Так как \(AH\) — высота, проведённая к стороне \(BC\), угол \(\angle AHB = 90^\circ\). В этом прямоугольном треугольнике отрезок \(BH\) является прилежащим катетом к исследуемому углу \(B\), а сторона \(AB\) — гипотенузой.

2. Найдем длину гипотенузы AB: По условию задачи треугольник \(ABC\) является равнобедренным с основанием \(AC\), поэтому боковые стороны равны (\(AB = BC\)). Сторона \(BC\) состоит из двух отрезков \(BH\) и \(CH\):

\(AB = BC = BH + CH = 7 + 18 = 25\)

3. Вычислим косинус угла B: По определению, косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

\(\cos B = \frac{BH}{AB} = \frac{7}{25}\)

Переведем обыкновенную дробь в десятичный вид, умножив числитель и знаменатель на 4:

\(\cos B = \frac{28}{100} = 0,28\)

Ответ: 0,28

1. Используем свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр: Так как центр описанной окружности лежит на стороне \(AB\), отрезок \(AB\) является диаметром этой окружности. Вписанный угол \(\angle ACB\) опирается на диаметр \(AB\), следовательно, он является прямым:

\(\angle ACB = 90^\circ\)

Таким образом, треугольник \(ABC\) является прямоугольным с гипотенузой \(AB\).

2. Вычислим величину неизвестного острого угла: В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°. Нам известен угол \(\angle BAC = 25^\circ\):

\(\angle ABC = 90^\circ — \angle BAC = 90^\circ — 25^\circ = 65^\circ\)

Ответ: 65

1. Найдем высоту трапеции: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной \(c = 13\), высотой \(h\) и проекцией боковой стороны на основание. По определению синуса угла:

\(\sin\alpha = \frac{h}{c} \Rightarrow h = c \cdot \sin\alpha\)

\(h = 13 \cdot \frac{2}{5} = \frac{26}{5} = 5,2\)

2. Вычислим площадь трапеции: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

\(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\)

\(S = \frac{5 + 45}{2} \cdot 5,2 = \frac{50}{2} \cdot 5,2 = 25 \cdot 5,2 = 130\)

Ответ: 130

1. Построим прямоугольный треугольник: Опустим перпендикуляр из удобной узловой точки на луче \(OB\) к лучу \(OA\). Для этого выберем точку на луче \(OB\) с координатами \((1; 3)\) относительно вершины \(O(0;0)\). Координаты вектора \(\vec{OB} = (1; 3)\), а направление \(\vec{OA}\) совпадает с вектором \((2; 1)\) или прямой \(y = 0,5x\).

2. Используем векторный метод или тригонометрическую формулу разности углов:
Пусть \(\alpha\) — угол наклона луча \(OA\) к горизонтали, тогда по сетке \(\tan\alpha = \frac{2}{1}\).
Пусть \(\beta\) — угол наклона луча \(OB\) к горизонтали, тогда \(\tan\beta= \frac{1}{3}\).
Искомый угол \(\angle AOB = \alpha — \beta\).

3. Применим формулу тангенса разности:

\(\tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan\alpha — \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta}\)

\(\tan \angle AOB = \frac{2 — \frac{1}{3}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1\)

Ответ: 1

1. Проверим первое утверждение: По свойству равнобедренной трапеции её диагонали равны. Утверждение верно.

2. Проверим второе утверждение: Четырёхугольник можно вписать в окружность, только если сумма его противоположных углов равна 180°. Для произвольного параллелограмма это не выполняется (исключение — прямоугольник и квадрат). Утверждение неверно.

3. Проверим третье утверждение: По определению, остроугольным называется треугольник, у которого все три угла являются острыми (меньше 90°). Утверждение верно.

4. Сформируем ответ: Верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

1. Решим первое неравенство системы: Раскроем скобки в левой части:

\(36x + 12 — 36x — 27 > 3x\)

Приведем подобные слагаемые:

\(-15 > 3x \Rightarrow 3x < -15 \Rightarrow x < -5\)

Таким образом, решением первого неравенства является интервал \((-\infty; -5)\).

2. Решим второе неравенство системы: Рассмотрим квадратичную функцию \((x — 2)(x + 9) < 0\). Нулями функции являются точки \(x = 2\) и \(x = -9\). График представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Неравенство строго меньше нуля выполняется на внутреннем промежутке между корнями:

\(x \in (-9; 2)\)

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: Объединим два условия на одной числовой прямой:

\(\begin{cases} x < -5 \\ -9 < x < 2 \end{cases} \Rightarrow -9 < x < -5\)

Ответ: \((-9; -5)\)

1. Введем неизвестную переменную: Пусть скорость первого теплохода равна \(x\) км/ч. Поскольку скорость второго на 1 км/ч больше, она составляет \((x + 1)\) км/ч.

2. Составим уравнение по времени движения: Время в пути первого теплохода равно \(\frac{420}{x}\) часов, а второго — \(\frac{420}{x + 1}\) часов. Известно, что второй теплоход вышел на 1 час позже и прибыл одновременно с первым, значит, его время в пути на 1 час меньше:

\(\frac{420}{x} — \frac{420}{x + 1} = 1\)

3. Приведем уравнение к квадратному виду: Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \(x(x + 1)\) при условии \(x > 0\):

\(420(x + 1) — 420x = x(x + 1)\)

\(420x + 420 — 420x = x^2 + x \Rightarrow x^2 + x — 420 = 0\)

4. Найдем корни квадратного уравнения: По теореме Виета:

• \(x_1 + x_2 = -1\)
• \(x_1 \cdot x_2 = -420\)

Подбором находим два корня: \(x_1 = 20\) и \(x_2 = -21\).

Отрицательный корень \(-21\) не имеет физического смысла для скорости движения. Скорость первого теплохода равна 20 км/ч.

Ответ: 20

1. Преобразуем аналитическое выражение функции: Заметим, что \(x^2 = |x|^2\). Вынесем общий множитель \(-|x|\) в знаменателе дроби:

\(y = \frac{3,5|x| — 1}{|x| — 3,5|x|^2} = \frac{3,5|x| — 1}{-|x|(3,5|x| — 1)}\)

2. Определим область определения функции (ОДЗ): Знаменатель не должен быть равен нулю:

\(|x| \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\)

\(3,5|x| — 1 \neq 0 \Rightarrow |x| \neq \frac{1}{3,5} = \frac{2}{7} \Rightarrow x \neq \pm\frac{2}{7}\)

Сократим дробь на общий множитель при условии выполнения ОДЗ:

\(y = -\frac{1}{|x|}\)

График этой функции представляет собой две ветви гиперболы, расположенные полностью в нижней полуплоскости, с двумя выколотыми точками.

3. Найдем координаты выколотых точек: Подставим значения \(x = \pm\frac{2}{7}\) в упрощённое уравнение:

\(y\left(\pm\frac{2}{7}\right) = -\frac{1}{\frac{2}{7}} = -3,5 \Rightarrow M_1\left(\frac{2}{7}; -3,5\right), \; M_2\left(-\frac{2}{7}; -3,5\right)\)

4. Проанализируем количество общих точек с прямой \(y = kx\): Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат \((0;0)\).

• • При \(k = 0\) прямая \(y = 0\) совпадает с осью абсцисс. Так как график гиперболы \(y = -\frac{1}{|x|}\) лишь асимптотически приближается к оси \(x\), но никогда её не пересекает, общих точек не будет.
• • Прямая не будет иметь общих точек с графиком, если она пройдёт через выколотые точки \(M_1\) или \(M_2\) и при этом не пересечёт другие участки гиперболы. Подставим координаты выколотых точек в уравнение прямой:
• \(-3,5 = k \cdot \frac{2}{7} \Rightarrow k = -3,5 \cdot \frac{7}{2} = -\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} = -12,25\)
• \(-3,5 = k \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) \Rightarrow k = 12,25\)

Тщательный анализ пересечений знаков модулей подтверждает, что при \(k = \pm 12,25\) прямая проходит через одну выколотую точку одной ветви и одновременно не имеет пересечений со второй ветвью гиперболы.

Ответ: -12,25; 0; 12,25

1. Рассмотрим геометрические элементы окружности: По условию задачи прямая \(CA\) касается окружности в точке \(A\). Радиус \(OA\), проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной \(CA\), следовательно, угол \(\angle OAC = 90^\circ\).

2. Определим величину центрального угла: Дуга \(AD\), лежащая внутри угла \(\angle ACO\), равна 100°. Центральный угол \(\angle AOD\), опирающийся на эту дугу, равен её градусной мере:

\(\angle AOD = 100^\circ\)

Точки \(D\), \(O\) и \(C\) лежат на одной прямой (так как \(O\) — центр, а луч \(OC\) проходит через точку \(D\) на окружности), значит, угол \(\angle AOC\) смежен с углом \(\angle AOD\) или совпадает с ним по конфигурации. По чертежу угол \(\angle AOC = 180^\circ — \angle AOD = 180^\circ — 100^\circ = 80^\circ\).

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAC: Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике \(\triangle OAC\) с прямым углом \(\angle OAC = 90^\circ\) равна 90°:

\(\angle ACO = 90^\circ — \angle AOC = 90^\circ — 80^\circ = 10^\circ\)

Ответ: 10

\(\angle ABD = \angle ACD\)

Что и требовалось доказать.

1. Используем свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр: Отрезок \(AC\) является диаметром окружности. Вписанный угол \(\angle AMC\) опирается на этот диаметр, поэтому он прямой: \(\angle AMC = 90^\circ\). Следовательно, отрезок \(CM\) является высотой прямоугольного треугольника \(\triangle ABC\), проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе.

2. Найдем длины отрезков гипотенузы: По условию задачи отношение отрезков гипотенузы равно \(AM : MB = 9 : 16\). Пусть \(AM = 9k\), тогда \(MB = 16k\). Полная длина гипотенузы равна:

\(AB = AM + MB = 9k + 16k = 25k\)

3. Применим свойство пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике: Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

\(AC^2 = AM \cdot AB\)

Подставим известные значения (\(AC = 3\), \(AM = 9k\), \(AB = 25k\)):

\(3^2 = 9k \cdot 25k \Rightarrow 9 = 225k^2 \Rightarrow k^2 = \frac{9}{225} = \frac{1}{25} \Rightarrow k = \frac{1}{5} = 0,2\)

4. Вычислим размеры элементов треугольника:

Длина отрезка \(AM = 9 \cdot 0,2 = 1,8\)

Длина всей гипотенузы \(AB = 25 \cdot 0,2 = 5\)

5. Найдем второй катет BC по теореме Пифагора:

\(BC = \sqrt{AB^2 — AC^2} = \sqrt{5^2 — 3^2} = \sqrt{25 — 9} = \sqrt{16} = 4\)

6. Вычислим площадь прямоугольного треугольника: Площадь равна половине произведения его катетов:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\)

Ответ: 6