Тренировочный вариант №246 ОГЭ 2026 по математике — разбор и решения

Проанализируем текст:

• • Из Грушёвки (пункт 3) в Абрамово (пункт 4) идет прямая лесная дорога.
• • Путь по шоссе идет через деревню Таловка (пункт 2) до деревни Новая (пункт 1), где нужно повернуть под прямым углом направо.
• • Из Таловки (2) есть тропинка в Абрамово (4) мимо пруда.

Таким образом: д. Новая — 1, с. Абрамово — 4, д. Грушёвка — 3.

Ответ: 143

1. По плану определим расстояния в клетках:

• • От д. Грушёвка (3) до д. Новая (1): 12 клеток.
• • От д. Новая (1) до с. Абрамово (4): 5 клеток.

2. Общий путь в клетках: \( 12 + 5 = 17 \) клеток.
3. Так как сторона одной клетки равна \( 2 \text{ км} \), находим расстояние:

\( 17 \cdot 2 = 34 \text{ км} \)

Ответ: 34

\( d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ клеток} \)

3. Переводим в километры:

\( 13 \cdot 2 = 26 \text{ км} \)

Ответ: 26

\( t = \frac{S}{V} = \frac{34}{15} \text{ часа} \)

4. Переводим время в минуты (умножаем на 60):

\( t = \frac{34}{15} \cdot 60 = 34 \cdot 4 = 136 \text{ минут} \)

Ответ: 136

Рассчитаем стоимость набора (3 хлеба + 1,5 сыра + 5 картофеля) для каждого магазина:

• • д. Грушёвка: \( 3 \cdot 24 + 1,5 \cdot 320 + 5 \cdot 10 = 72 + 480 + 50 = 602 \text{ руб.} \)
• • с. Абрамово: \( 3 \cdot 21 + 1,5 \cdot 310 + 5 \cdot 18 = 63 + 465 + 90 = 618 \text{ руб.} \)
• • д. Таловка: \( 3 \cdot 26 + 1,5 \cdot 330 + 5 \cdot 15 = 78 + 495 + 75 = 648 \text{ руб.} \)
• • д. Новая: \( 3 \cdot 20 + 1,5 \cdot 300 + 5 \cdot 12 = 60 + 450 + 60 = 570 \text{ руб.} \)

Самая низкая стоимость в деревне Новая — 570 рублей.

Ответ: 570

1. Чтобы избавиться от запятых, умножим и числитель, и знаменатель на 10:

\( \frac{6,5 \cdot 10}{1,3 \cdot 10} = \frac{65}{13} \)

2. Выполняем деление:

\( 65 : 13 = 5 \)

Ответ: 5

1. Представим границы промежутка \( [6; 7] \) в виде квадратных корней:

\( 6 = \sqrt{36} \), \( 7 = \sqrt{49} \)

2. Искомое число должно находиться в интервале от \( \sqrt{36} \) до \( \sqrt{49} \).
3. Проверим предложенные варианты:

• • \( \sqrt{6} < \sqrt{36} \) (не подходит)
• • \( \sqrt{7} < \sqrt{36} \) (не подходит)
• • \( \sqrt{35} < \sqrt{36} \) (не подходит)
• • \( \sqrt{36} < \sqrt{42} < \sqrt{49} \) (подходит)

Это вариант под номером 4.

Ответ: 4

1. Заметим, что выражение под корнем — это квадрат разности:

\( a^2 — 8ab + 16b^2 = (a — 4b)^2 \)

2. Используем свойство корня \( \sqrt{x^2} = |x| \):

\( \sqrt{(a — 4b)^2} = |a — 4b| \)

3. Подставим \( a = 4 \) и \( b = 3 \):

\( |4 — 4 \cdot 3| = |4 — 12| = |-8| = 8 \)

Ответ: 8

Воспользуемся теоремой Виета:

\( x_1 + x_2 = 11 \)

\( x_1 \cdot x_2 = 18 \)

1. Подберем пары чисел, произведение которых дает 18: (1, 18), (2, 9), (3, 6).
2. Проверим сумму: \( 2 + 9 = 11 \).
3. Корни уравнения: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 9 \).
4. Больший из корней — 9.

Ответ: 9

1. Подсчитаем общее количество элементарных событий (всех точек на рисунке):

Всего в прямоугольнике находится 10 точек.

2. Подсчитаем количество благоприятных событий для \( A \cup B \):

Событие \( A \cup B \) (объединение) означает, что точка находится внутри круга \( A \), внутри круга \( B \) или в их пересечении.

Считаем точки внутри обоих кругов: их 7 штук.

3. Вычисляем вероятность:

\( P(A \cup B) = \frac{7}{10} = 0,7 \)

Ответ: 0,7

Вспомним влияние коэффициентов на график:

• • \( a \): если \( a > 0 \), ветви направлены вверх; если \( a < 0 \), ветви направлены вниз.
• • \( c \): ордината точки пересечения графика с осью \( Oy \).

Анализируем графики:

• • График 1: Ветви вверх (\( a > 0 \)), пересечение с \( Oy \) ниже нуля (\( c < 0 \)). Соответствует А.
• • График 2: Ветви вверх (\( a > 0 \)), пересечение с \( Oy \) выше нуля (\( c > 0 \)). Соответствует Б.
• • График 3: Ветви вниз (\( a < 0 \)), пересечение с \( Oy \) выше нуля (\( c > 0 \)). Соответствует В.

Заполняем таблицу соответствия: А — 1, Б — 2, В — 3.

Ответ: 123

1. Подставим известные значения в формулу:

\( 18 = \frac{6 \cdot d_2 \cdot \frac{3}{7}}{2} \)

2. Упростим выражение в правой части:
Сократим 6 и 2:

\( 18 = 3 \cdot d_2 \cdot \frac{3}{7} \)

\( 18 = \frac{9 d_2}{7} \)

3. Выразим \( d_2 \):
Разделим обе части уравнения на 9:

\( 2 = \frac{d_2}{7} \)

Отсюда:

\( d_2 = 2 \cdot 7 = 14 \)

Ответ: 14

\( x(x — 8) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, \quad x_2 = 8 \)

Это соответствует точкам на рисунке. Варианты 2 и 4 не подходят, так как их корнями являются \( \pm 8 \).
3. Теперь определим знак. Парабола \( y = x^2 — 8x \) направлена ветвями вверх. Она принимает отрицательные значения (\( < 0 \)) между своими корнями.
4. Таким образом, рисунку соответствует неравенство \( x^2 — 8x < 0 \).

Ответ: 1

\( 42 : 7 = 6 \) периодов.

2. Рассчитаем массу после каждого шага:

• • 0 мин: 640 мг
• • 7 мин: 320 мг (1-й шаг)
• • 14 мин: 160 мг (2-й шаг)
• • 21 мин: 80 мг (3-й шаг)
• • 28 мин: 40 мг (4-й шаг)
• • 35 мин: 20 мг (5-й шаг)
• • 42 мин: 10 мг (6-й шаг)

Или через формулу: \( m = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^n = 640 \cdot \frac{1}{2^6} = \frac{640}{64} = 10 \).

Ответ: 10

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \)

2. Подставим значения катетов \( a = 18 \) и \( b = 7 \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63 \)

Ответ: 63

\( \sin \alpha = \frac{a}{d} \Rightarrow a = d \cdot \sin \alpha = 25 \cdot 0,96 = 24 \)

3. Найдем вторую сторону \( b \) по теореме Пифагора:

\( b = \sqrt{d^2 — a^2} = \sqrt{25^2 — 24^2} = \sqrt{(25-24)(25+24)} = \sqrt{1 \cdot 49} = 7 \)

4. Площадь прямоугольника:

\( S = a \cdot b = 24 \cdot 7 = 168 \)

Ответ: 168

\( \angle BCD = 180^{\circ} — 64^{\circ} = 116^{\circ} \)

4. Накрест лежащие углы при параллельных прямых \( BC \parallel AD \) равны: \( \angle BCA = \angle CAD = 32^{\circ} \).
5. Искомый угол:

\( \angle ACD = \angle BCD — \angle BCA = 116^{\circ} — 32^{\circ} = 84^{\circ} \)

Ответ: 84

1. Определим радиусы кругов по клеткам:

• • Радиус меньшего круга \( r = 1 \) клетка.
• • Радиус большего круга \( R = 3 \) клетки.

2. Площади кругов относятся как квадраты их радиусов:

\( \frac{S_{больш}}{S_{меньш}} = \left( \frac{R}{r} \right)^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = 9 \)

Ответ: 9

1) Верно. Все диаметры окружности проходят через её центр, следовательно, они пересекаются в этой точке.

2) Неверно. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу.

3) Верно. По неравенству треугольника любая сторона должна быть меньше суммы двух других. Здесь \( 1 + 2 = 3 \), что меньше 4. Такой треугольник невозможен.

Ответ: 13

\( \begin{cases} x^2 — 25 = 0 \\ x^2 + 2x — 15 = 0 \end{cases} \)

3. Решим первое уравнение:

\( x^2 = 25 \Rightarrow x_1 = 5, \quad x_2 = -5 \)

4. Решим второе уравнение (например, по теореме Виета):

\( x^2 + 2x — 15 = 0 \Rightarrow (x + 5)(x — 3) = 0 \Rightarrow x_3 = -5, \quad x_4 = 3 \)

5. Находим общее решение для обоих уравнений системы. Единственное число, которое обращает в ноль обе скобки сразу — это \( -5 \).

Ответ: -5

1. Пусть \( v \) км/ч — собственная скорость лодки. Тогда:

• • Скорость против течения: \( v — 4 \) км/ч.
• • Скорость по течению: \( v + 4 \) км/ч.

2. Составим выражение для времени:

• • Время против течения: \( t_1 = \frac{192}{v-4} \).
• • Время по течению: \( t_2 = \frac{192}{v+4} \).

3. По условию \( t_1 \) больше \( t_2 \) на 4 часа. Составим уравнение:

\( \frac{192}{v-4} — \frac{192}{v+4} = 4 \)

4. Разделим всё уравнение на 4 для упрощения:

\( \frac{48}{v-4} — \frac{48}{v+4} = 1 \)

5. Приведем к общему знаменателю:

\( 48(v+4) — 48(v-4) = v^2 — 16 \)

\( 48v + 192 — 48v + 192 = v^2 — 16 \)

\( 384 = v^2 — 16 \Rightarrow v^2 = 400 \Rightarrow v = 20 \)

Ответ: 20

1. Раскроем модуль:

• • Если \( x \geq -2 \): \( y = x^2 + 3x — 4(x+2) + 2 = x^2 — x — 6 \).
• • Если \( x < -2 \): \( y = x^2 + 3x + 4(x+2) + 2 = x^2 + 7x + 10 \).

2. График состоит из двух частей парабол, соединяющихся в точке \( (-2; 0) \).
3. Найдем вершины:

• • Для первой: \( x_0 = 0,5, y_0 = -6,25 \).
• • Для второй: \( x_0 = -3,5, y_0 = -2,25 \).

4. Прямая \( y = m \) имеет 3 общие точки, когда она проходит через «изломы» или вершины:

• • При \( m = 0 \) (точка стыка парабол).
• • При \( m = -2,25 \) (уровень вершины левой параболы).

Ответ: -2,25; 0

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDM \).

• • \( \angle BAM = \angle DCM \) как накрест лежащие при \( AB \parallel DC \) и секущей \( AC \).
• • \( \angle ABM = \angle CDM \) как накрест лежащие при \( AB \parallel DC \) и секущей \( BD \).

2. Следовательно, \( \triangle ABM \sim \triangle CDM \) по двум углам.
3. Из подобия следует пропорциональность сторон:

\( \frac{MC}{MA} = \frac{DC}{AB} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} \)

4. Пусть \( MC = x \), тогда \( MA = 25 — x \). Подставим в пропорцию:

\( \frac{x}{25 — x} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2x = 3(25 — x) \)

\( 2x = 75 — 3x \Rightarrow 5x = 75 \Rightarrow x = 15 \)

Ответ: 15

Доказательство:

1. Рассмотрим точки \( A, C_1, A_1, C \). Из условия известно, что \( \angle AC_1C = 90^{\circ} \) и \( \angle AA_1C = 90^{\circ} \).

2. Отрезок \( AC \) виден из точек \( C_1 \) и \( A_1 \) под прямым углом. Это означает, что точки \( A, C_1, A_1, C \) лежат на одной окружности с диаметром \( AC \).

3. Углы \( \angle AA_1C_1 \) и \( \angle ACC_1 \) являются вписанными в эту окружность.

4. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу \( AC_1 \).

5. По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Что и требовалось доказать.

\( \frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{5}{3} \)

3. В прямоугольном треугольнике \( ABH \):

\( \cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{3}{5} = 0,6 \)

4. Найдем \( \sin A \) через основное тригонометрическое тождество:

\( \sin A = \sqrt{1 — \cos^2 A} = \sqrt{1 — 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8 \)

5. По теореме синусов для \( \triangle ABC \):

\( 2R = \frac{BC}{\sin A} \Rightarrow R = \frac{BC}{2 \sin A} \)

6. Подставим значения:

\( R = \frac{16}{2 \cdot 0,8} = \frac{16}{1,6} = 10 \)

Ответ: 10