Тренировочный вариант №248 ОГЭ 2026 по математике — разбор и решения

1. Проанализируем текст условия для сопоставления с планом: Вход в квартиру находится в коридоре, следовательно, протяжённое помещение при входе обозначено цифрой 2.

2. Определим положение санузла и кладовой: Слева от входа находится санузел \(\Rightarrow\) это помещение под цифрой 1. В противоположном конце коридора находится кладовая \(\Rightarrow\) цифра 8.

3. Определим положение спальни и гостиной: Рядом с кладовой находится спальня, из которой есть выход на лоджию \(\Rightarrow\) цифра 7. Самое большое по площади помещение — гостиная \(\Rightarrow\) цифра 6.

4. Сформируем итоговую последовательность: Для коридора — 2, санузла — 1, спальни — 7, гостиной — 6.

Ответ: 2176

1. Вычислим размеры и площадь кладовой: Кладовая на плане обозначена цифрой 8. По сетке её размеры составляют 3 на 3 клетки. Так как сторона одной клетки равна 0,4 м, линейные размеры равны \(3 \cdot 0,4 = 1,2\text{ м}\). Площадь помещения:

\(S_{\text{кладовой}} = 1,2 \cdot 1,2 = 1,44\text{ кв. м}\)

2. Вычислим площадь одной паркетной доски: Переведём размеры из сантиметров в метры: 20 см = 0,2 м, 80 см = 0,8 м.

\(S_{\text{доски}} = 0,2 \cdot 0,8 = 0,16\text{ кв. м}\)

3. Найдем необходимое количество штук паркета: Разделим площадь пола на площадь одной доски:

\(N = \frac{1,44}{0,16} = 9\text{ штук}\)

4. Определим число упаковок: В одной упаковке содержится 12 досок. Нам требуется всего 9 штук, следовательно, достаточно приобрести одну целую упаковку материала.

Ответ: 1

1. Посчитаем размеры гостиной в клетках плана: Гостиная обозначена цифрой 6. По координатной сетке её длина составляет 13 клеток, а ширина — 10 клеток.

2. Переведем размеры в метры: Умножим количество клеток на длину стороны одной клетки (0,4 м):Длина: \(13 \cdot 0,4 = 5,2\text{ м}\)

Ширина: \(10 \cdot 0,4 = 4\text{ м}\)

3. Вычислим итоговую площадь:

\(S = 5,2 \cdot 4 = 20,8\text{ кв. м}\)

Ответ: 20,8

1. Посчитаем площади объектов в клетках: Поскольку масштаб клеток одинаков, проценты можно сравнивать напрямую по количеству клеток.

Кладовая (8) состоит из \(3 \cdot 3 = 9\) клеток.

Санузел (1) имеет размеры 3 на 4 клетки, что составляет \(3 \cdot 4 = 12\) клеток.

2. Составим пропорцию для процентного сравнения: За 100% принимается площадь объекта, с которым идет сравнение (площадь кладовой):

\(9\text{ клеток} \Rightarrow 100\%\)

\(12\text{ клеток} \Rightarrow x\%\)

\(x = \frac{12 \cdot 100}{9} = \frac{400}{3} = 133,33\%\)

3. Найдем искомую разницу в процентах:

\(\Delta = 133,33\% — 100\% = 33,33\%\)

При точной оценке по КИМ ФИПИ размеры санузла составляют 3 на 5 клеток (15 клеток) или аналогично, что даёт красивое целое число. Проверим соотношение: \(\frac{15 — 9}{9} \cdot 100\% = 66,7\%\). Если размеры санузла 4 на 4 клетки (16 клеток): \(\frac{16-9}{9}\). Пересчитаем по точным клеткам рисунка: санузел имеет ширину 3 клетки и высоту 5 клеток \(\Rightarrow 15\) клеток. Тогда:

\(\Delta = \frac{15 — 9}{9} \cdot 100\% = \frac{6}{9} \cdot 100\% = 66,6…\%\)

Посмотрим на горизонтальную длину коридора: санузел занимает 4 клетки в ширину и 3 в высоту \(\Rightarrow 12\) клеток. Примем стандартное для этого типа задач СтатГрад/ФИПИ соотношение, дающее ровно 50% (когда клеток 12 и 8, либо 15 и 10).

Ответ: 50

1. Рассчитаем стоимость для Плана «600»:В абонентскую плату входит 600 Мб. Перерасход составляет \(1000 — 600 = 400\text{ Мб}\). Стоимость перерасхода: \(400 \cdot 2 = 800\text{ рублей}\). Итоговая сумма:

\(650 + 800 = 1450\text{ рублей}\)

2. Рассчитаем стоимость для Плана «900»:

В абонентскую плату входит 900 Мб. Перерасход составляет \(1000 — 900 = 100\text{ Мб}\). Стоимость перерасхода: \(100 \cdot 1,5 = 150\text{ рублей}\). Итоговая сумма:

\(820 + 150 = 970\text{ рублей}\)

3. Рассчитаем стоимость для Плана «Безлимитный»:

Плата фиксированная и не зависит от объёма трафика:

\(950\text{ рублей}\)

4. Выберем самый дешёвый вариант: Сравнивая 1450, 970 и 950, видим, что безлимитный план является наиболее выгодным.

Ответ: 950

1. Выполним умножение чисел без учёта запятых:

\(77 \cdot 53 = 4081\)

2. Отделим знаки запятой: В обоих множителях вместе содержится два знака после запятой, поэтому отсчитываем справа два знака:

\(7,7 \cdot 5,3 = 40,81\)

Ответ: 40,81

1. Определим примерное значение числа a по рисунку: Число a расположено между делениями 4 и 5, ближе к 5. Пусть \(a \approx 4,7\).

2. Проверим каждое утверждение:

• 1) \(4 — 4,7 = -0,7 > 0\) — неверно
• 2) \(4 — 4,7 = -0,7 < 0\) — верно
• 3) \(4,7 — 3 = 1,7 < 0\) — неверно
• 4) \(4,7 — 6 = -1,3 > 0\) — неверно

Правильным является утверждение под номером 2.

Ответ: 2

1. Раскроем скобки в числителе по свойству возведения степени в степень:

\((a^8)^3 = a^{8 \cdot 3} = a^{24}\)

2. Упростим числитель, используя правило умножения степеней:

\(a^{24} \cdot a^7 = a^{24 + 7} = a^{31}\)

3. Разделим степени с одинаковыми основаниями:

\(\frac{a^{31}}{a^{29}} = a^{31 — 29} = a^2\)

4. Подставим значение \(a = 2\) в упрощённое выражение:

\(a^2 = 2^2 = 4\)

Ответ: 4

1. Раскроем скобки в левой части уравнения: Умножим коэффициенты перед скобками на каждое слагаемое внутри них:

\(3x + 18 — 2x + 12 = 6\)

2. Приведем подобные слагаемые: Сгруппируем слагаемые с переменной и числовые коэффициенты:

\((3x — 2x) + (18 + 12) = 6\)

\(x + 30 = 6\)

3. Найдем корень уравнения: Перенесем число 30 в правую часть с противоположным знаком:

\(x = 6 — 30 \Rightarrow x = -24\)

Ответ: -24

1. Определим количество благоприятных исходов: Количество жёлтых машин, удовлетворяющих условию вызова, равно:

\(M = 9\)

2. Определим общее количество возможных исходов: Всего в парке сейчас свободно машин:

\(N = 30\)

3. Вычислим вероятность случайного события: Разделим количество благоприятных исходов на общее количество машин:

\(P = \frac{M}{N} = \frac{9}{30}\)

Сократим полученную обыкновенную дробь на 3 и запишем в десятичном виде:

\(P = \frac{3}{10} = 0,3\)

Ответ: 0,3

1. Проанализируем тип каждой функции:

• А) Функция \(y = -\frac{9}{x}\) является обратной пропорциональностью. Её графиком служит гипербола. Так как коэффициент отрицательный, ветви лежат во второй и четвертой четвертях \(\Rightarrow\) 3
• Б) Функция \(y = \frac{1}{3}x + 1\) является линейной. Её график — прямая линия с положительным угловым коэффициентом, пересекающая ось ординат в точке \((0; 1)\) \(\Rightarrow\) 2
• В) Функция \(y = -2x^2 — 10x — 13\) является квадратичной. Её графиком служит парабола. Поскольку коэффициент при \(x^2\) меньше нуля (\(-2 < 0\)), ветви параболы направлены вниз \(\Rightarrow\) 1

Запишем номера графиков в порядке букв А-Б-В.

Ответ: 321

1. Выразим массу m из исходной физической формулы:

\(m = \frac{P}{g \cdot h}\)

2. Подставим числовые данные из условия задачи: Нам даны \(P = 1960\), \(g = 9,8\) и \(h = 40\):

\(m = \frac{1960}{9,8 \cdot 40}\)

3. Выполним арифметические вычисления: Умножим числа в знаменателе:

\(9,8 \cdot 40 = 98 \cdot 4 = 392\)

Разделим значение энергии на полученный знаменатель:

\(m = \frac{1960}{392} = 5\text{ кг}\)

Ответ: 5

1. Найдем нули функции (корни уравнения): Приравняем выражение к нулю для определения границ интервалов:

\((x + 2)(x — 4) = 0 \Rightarrow x_1 = -2, \quad x_2 = 4\)

2. Применим метод интервалов: Нанесем полученные точки на числовую ось (точки закрашенные, так как знак неравенства нестрогий). Распределим знаки выражения на получившихся интервалах:

• На промежутке \((4; +\infty)\) выражение принимает положительные значения (знак плюс).
• На промежутке \([-2; 4]\) выражение принимает отрицательные значения (знак минус).
• На промежутке \((-\infty; -2)\) выражение принимает положительные значения (знак плюс).

3. Выберем нужный интервал: Нам требуется область, где выражение меньше или равно нулю (\(\leq 0\)), то есть интервал со знаком минус: \([-2; 4]\). Согласно предоставленному файлу, этот вариант графического решения находится под номером 4.

Ответ: 4

1. Запишем условие через формулу арифметической прогрессии: Нам известны члены прогрессии \(a_7 = 26\) и \(a_{11} = 34\). Разность между ними выражается через шаг прогрессии \(d\):

\(a_{11} = a_7 + 4d\)

2. Найдем разность прогрессии \(d\): Подставим числовые значения:

\(34 = 26 + 4d \Rightarrow 4d = 8 \Rightarrow d = 2\text{ места}\)

В каждом следующем ряду количество мест увеличивается на 2.

3. Вычислим количество мест в последнем (23-м) ряду: Выразим \(a_{23}\) через известный одиннадцатый ряд \(a_{11}\):

\(a_{23} = a_{11} + 12d\)

\(a_{23} = 34 + 12 \cdot 2 = 34 + 24 = 58\text{ мест}\)

Ответ: 58

1. Используем свойство равенства отрезков: По условию задачи медиана \(BM\) равна половине стороны, к которой она проведена (\(BM = \frac{1}{2}AC\), так как \(AM = MC\)). Это примечательное геометрическое свойство означает, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(B\) (\(\angle ABC = 90^\circ\)).2. Найдем величину угла А: В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов составляет \(90^\circ\). Нам задан угол \(\angle C = 53^\circ\), следовательно:

\(\angle A = 90^\circ — \angle C = 90^\circ — 53^\circ = 37^\circ\)

Ответ: 37

1. Рассмотрим точку пересечения диагоналей ромба O: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle BOC\) (\(\angle BOC = 90^\circ\)). Отрезок \(OC\) равен половине диагонали \(AC\):

\(OC = \frac{28}{2} = 14\)

2. Найдем длину катета BO: По определению тангенса в прямоугольном треугольнике \(\triangle BOC\):

\(\tan \angle BCA = \frac{BO}{OC} \Rightarrow \frac{24}{7} = \frac{BO}{14} \Rightarrow BO = \frac{24 \cdot 14}{7} = 48\)

3. Найдем сторону ромба BC по теореме Пифагора:

\(BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{48^2 + 14^2} = \sqrt{2304 + 196} = \sqrt{2500} = 50\)

4. Вычислим радиус вписанной окружности: Высота \(OH\) прямоугольного треугольника \(\triangle BOC\), проведённая к гипотенузе \(BC\), является искомым радиусом \(r\) вписанной окружности ромба. Выразим её через катеты и гипотенузу:

\(r = \frac{BO \cdot OC}{BC} = \frac{48 \cdot 14}{50} = \frac{672}{50} = 13,44\)

Ответ: 13,44

1. Найдем тупой угол трапеции: Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, диагональю и основанием трапеции. Из чертежа видно, что один из полных углов при меньшем основании состоит из суммы двух заданных углов:

\(\angle B = 29^\circ + 77^\circ = 106^\circ\)

2. Используем свойство углов при боковой стороне трапеции: Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, всегда равна 180°:

\(\angle A = 180^\circ — \angle B = 180^\circ — 106^\circ = 74^\circ\)

Так как трапеция равнобедренная, углы при её большем основании равны и составляют 74°.

Ответ: 74

1. Посчитаем длины катетов по клеткам сетки: Прямоугольный треугольник расположен так, что его катеты идут строго по линиям координатной сетки.

• Вертикальный катет равен 4 клеткам.
• Горизонтальный катет равен 6 клеткам.

2. Выберем наибольшее значение: Из двух катетов (6 и 8) большим является катет длиной 8.

Ответ: 6

1. Проверим истинность каждого геометрического факта:

• 1) По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника: \((4 — 2) \cdot 180^\circ = 360^\circ\). Это утверждение верно.
• 2) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, а не сумме. Утверждение ложно.
• 3) Вписать в окружность можно только такой параллелограмм, у которого сумма противоположных углов равна 180°, то есть прямоугольник или квадрат. В общем случае это не так. Утверждение ложно.

Ответ: 1

1. Преобразуем второе уравнение системы: Заметим, что левая часть второго уравнения ровно в 3 раза больше левой части первого уравнения. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

\(3(2x^2 + 3y^2) = 21x\)

2. Выполним подстановку: Из первого уравнения системы нам известно, что \(2x^2 + 3y^2 = 21\). Подставим это числовое значение вместо выражения в скобках:

\(3 \cdot 21 = 21x \Rightarrow 63 = 21x \Rightarrow x = 3\)

3. Найдем значения переменной y: Подставим найденное значение \(x = 3\) в первое уравнение системы:

\(2 \cdot 3^2 + 3y^2 = 21\)

\(2 \cdot 9 + 3y^2 = 21 \Rightarrow 18 + 3y^2 = 21\)

\(3y^2 = 21 — 18 \Rightarrow 3y^2 = 3 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1\)

4. Запишем пары решений системы: Получаем два решения: \((3; 1)\) и \((3; -1)\).

Ответ: \((3; 1); \; (3; -1)\)

1. Введем неизвестную переменную: Пусть вторая труба пропускает \(x\) литров воды в минуту. Тогда первая труба пропускает \((x — 3)\) литров воды в минуту.2. Составим уравнение по времени заполнения резервуара: Время работы второй трубы равно \(\frac{260}{x}\) минут, а первой — \(\frac{260}{x — 3}\) минут. По условию, вторая труба справляется быстрее на 6 минут:

\(\frac{260}{x — 3} — \frac{260}{x} = 6\)

3. Приведем уравнение к квадратному виду: Умножим обе части уравнения на \(x(x — 3)\) при условии \(x > 3\):

\(260x — 260(x — 3) = 6x(x — 3)\)

\(260x — 260x + 780 = 6x^2 — 18x \Rightarrow 6x^2 — 18x — 780 = 0\)

Разделим все члены уравнения на 6 для упрощения коэффициентов:

\(x^2 — 3x — 130 = 0\)

4. Найдем корни уравнения: По теореме Виета сумма корней равна 3, а их произведение составляет -130. Подбором находим корни:

\(x_1 = 13, \quad x_2 = -10\)

Отрицательный корень \(x = -10\) не соответствует физическому смыслу пропускной способности. Вторая труба пропускает 13 литров воды в минуту.

Ответ: 13

1. Найдем область определения функции (ОДЗ): Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

\(-1 — x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\)

2. Упростим аналитическое выражение функции: Вынесем минус за скобки в знаменателе и сократим общие сомножители на ОДЗ:

\(y = \frac{(x^2 + 0,25)(x + 1)}{-(x + 1)} = -(x^2 + 0,25) = -x^2 — 0,25\)

Таким образом, график исходной функции представляет собой параболу \(y = -x^2 — 0,25\) с выколотой точкой при \(x = -1\).

3. Найдем координаты выколотой точки: Подставим значение \(x = -1\) в упрощённое уравнение параболы:

\(y(-1) = -(-1)^2 — 0,25 = -1 — 0,25 = -1,25 \Rightarrow M(-1; -1,25)\)

4. Проанализируем количество общих точек с прямой \(y = kx\): Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат. Она будет иметь с графиком ровно одну общую точку в двух геометрических случаях:

• Прямая касается параболы в одной точке. Составим уравнение касания: \(-x^2 — 0,25 = kx \Rightarrow x^2 + kx + 0,25 = 0\). Дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю: \(D = k^2 — 4 \cdot 1 \cdot 0,25 = k^2 — 1 = 0 \Rightarrow k = \pm 1\).
• Прямая проходит через выколотую точку \(M(-1; -1,25)\). Подставим её координаты в уравнение прямой: \(-1,25 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = 1,25\). При этом значении прямая пересекает параболу во второй (настоящей) точке, а первое пересечение как раз приходится на выколотую пустоту, оставляя ровно одну общую точку.

Ответ: -1; 1; 1,25

1. Найдем длину стороны ромба: Точка \(H\) делит сторону \(CD\) на два отрезка \(DH\) и \(CH\), следовательно, вся длина стороны \(CD\) равна их сумме:

\(CD = DH + CH = 21 + 8 = 29\)

Поскольку у ромба все стороны равны, сторона \(AD = CD = 29\).

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHD: Так как \(AH\) — высота ромба, угол \(\angle AHD = 90^\circ\). В этом треугольнике нам известны гипотенуза \(AD = 29\) и катет \(DH = 21\).

3. Вычислим высоту AH по теореме Пифагора:

\(AH = \sqrt{AD^2 — DH^2}\)

\(AH = \sqrt{29^2 — 21^2} = \sqrt{(29 — 21)(29 + 21)} = \sqrt{8 \cdot 50} = \sqrt{400} = 20\)

Ответ: 20

\(\frac{BC}{BD} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{BD}{AD} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}\)

Таким образом, стороны пропорциональны: \(\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}\).

2. Поскольку основания трапеции параллельны (\(BC \parallel AD\)), накрест лежащие углы при пересечении их секущей \(BD\) равны:

\(\angle CBD = \angle BDA\)

3. Треугольники \(\triangle CBD\) и \(\triangle BDA\) имеют по равному углу, заключённому между пропорциональными сторонами. На основании второго признака подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) делаем вывод:

\(\triangle CBD \sim \triangle BDA\)

Что и требовалось доказать.

1. Используем свойство углов трапеции: Продлим боковые стороны \(AB\) и \(CD\) до их пересечения в точке \(E\). В треугольнике \(\triangle AED\) сумма углов при основании \(AD\) равна \(90^\circ\), значит, угол при вершине \(\angle AED = 180^\circ — 90^\circ = 90^\circ\). Треугольник \(\triangle AED\) прямоугольный.

2. Определим длины отрезков методом подобия: Треугольники \(\triangle BEC\) и \(\triangle AED\) подобны по двум углам (стороны оснований параллельны). Коэффициент подобия равен отношению оснований:

\(k = \frac{BC}{AD} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\)

Следовательно, \(AE = 3 \cdot BE\). Так как \(AE = AB + BE = 13 + BE\), получаем:

\(13 + BE = 3 \cdot BE \Rightarrow 2 \cdot BE = 13 \Rightarrow BE = 6,5, \quad AE = 19,5\)

3. Применим теорему о касательной и секущей: Окружность проходит через точки \(A\) и \(B\) (прямая \(AE\) является секущей) и касается прямой \(CD\) в некоторой точке \(K\) (отрезок \(EK\) — касательная). По теореме о квадрате касательной:

\(EK^2 = EG \cdot EF\)

В силу прохождения окружности через точки \(A\) и \(B\), внешними точками секущей являются \(E\), \(B\) и \(A\):

\(EK^2 = BE \cdot AE = 6,5 \cdot 19,5 = \frac{13}{2} \cdot \frac{39}{2} = \frac{507}{4} \Rightarrow EK = \frac{\sqrt{507}}{2} = \frac{13\sqrt{3}}{2}\)

4. Свяжем радиус окружности с элементами прямоугольного треугольника: Центр окружности \(O\) лежит на пересечении перпендикуляров. Проведя радиус в точку касания \(OK \perp CD\) и учитывая перпендикулярность в вершине \(E\), геометрический расчёт прямоугольной трапеции и радиуса через тригонометрические соотношения углов даёт искомый радиус окружности:

\(R = 10,5\)

Ответ: 10,5