Тренировочный вариант №252 ОГЭ 2026 по математике — разбор и решения

1. Анализируем расположение объектов по тексту задания:

• • При входе через ворота справа находится гараж — он отмечен цифрой 2
• • Слева в углу расположен сарай под цифрой 1
• • В глубине территории находится жилой дом под цифрой 6
• • Напротив входа в дом (напротив цифры 6) расположена летняя беседка — это цифра 4
• • Рядом с беседкой находится мангал — он обозначен цифрой 3
• • Вокруг цветника и в углу участка изображены ели — они обозначены значком дерева под цифрой 5

2. Сопоставляем объекты и цифры:

• • Беседка \(\rightarrow\) 4
• • Ели \(\rightarrow\) 5
• • Гараж \(\rightarrow\) 2
• • Мангал \(\rightarrow\) 3

Ответ: 4523

1. Определяем размеры клетки: По условию задачи сторона каждой клетки на плане равна 2 метрам. Следовательно, площадь одной клетки составляет:

\(2 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 4 \text{ кв. м}\)

2. Считаем количество клеток, занимаемых домом: Жилой дом (объект 6) имеет форму прямоугольника. Посчитаем его длину и ширину в клетках:

• • Ширина дома составляет 3 клетки
• • Длина дома составляет 5 клеток

Всего клеток: \(3 \times 5 = 15\) клеток.3. Вычисляем общую площадь дома: Умножаем количество клеток на площадь одной клетки:

\(S = 15 \times 4 = 60 \text{ кв. м}\)

Ответ: 60

1. Определяем параметры плитки и дорожек:

• • Ширина дорожек равна 1 м
• • Размер одной плитки составляет 50 см × 50 см (или 0,5 м × 0,5 м)

2. Вычисляем количество плиток в одном погонном метре дорожки: Так как ширина дорожки 1 м, а ширина плитки 0,5 м, в ширину дорожки укладывается ровно 2 плитки. На каждый метр длины дорожки потребуется:

\(2 \times 2 = 4 \text{ плитки}\)

Таким образом, на одну клетку плана (длина стороны 2 м) вдоль дорожки уходит \(2 \times 4 = 8\) плиток.3. Подсчитываем общую длину дорожек в клетках по плану:

• • Вертикальная дорожка от ворот вдоль сарая и гаража: 5 клеток
• • Горизонтальная дорожка, ведущая к цветнику и дому: 6 клеток

Всего протяженность дорожек составляет 11 клеток плана.4. Находим общее число плиток: Поскольку на отрезок дорожки длиной в 1 клетку (2 метра) требуется ровно 8 плиток:

\(11 \times 8 = 88 \text{ плиток}\)

5. Считаем количество упаковок: В одной упаковке находится 8 штук плиток:

\(\frac{88}{8} = 11 \text{ упаковок}\)

Ответ: 11

1. Строим прямоугольный треугольник между ближайшими точками объектов: Ближайшим к дому (объект 6) является правый верхний угол гаража (объект 2), а ближайшим к гаражу — левый нижний угол дома. Найдём расстояние между этими точками в клетках по сетке плана:

• • Расстояние по горизонтали (катет \(a\)) составляет 4 клетки
• • Расстояние по вертикали (катет \(b\)) составляет 3 клетки

2. Применяем теорему Пифагора для поиска гипотенузы (расстояния в клетках):

\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ клеток}\)

3. Переводим расстояние в метры: Так как сторона одной клетки равна 2 метрам, умножаем полученное значение на 2:

\(5 \times 2 = 10 \text{ метров}\)

Ответ: 10

1. Находим разницу в стоимости оборудования и монтажа:

• • Полная стоимость газа: \(18000 + 9980 = 27980 \text{ руб.}\)
• • Полная стоимость электричества: \(13000 + 10500 = 23500 \text{ руб.}\)
• • Разница в затратах: \(27980 — 23500 = 4480 \text{ руб.}\)

2. Находим стоимость одного часа работы каждого вида отопления:

• • Газовое отопление за 1 час: \(1,2 \times 4,8 = 5,76 \text{ руб.}\)
• • Электрическое отопление за 1 час: \(6,4 \times 4,4 = 28,16 \text{ руб.}\)

3. Находим экономию от использования газа за один час работы:

\(28,16 — 5,76 = 22,4 \text{ руб.}\)

4. Вычисляем время, необходимое для компенсации разницы: Разделим общую разницу в стоимости на часовую экономию:

\(t = \frac{4480}{22,4} = \frac{44800}{224} = 200 \text{ часов}\)

Ответ: 200

1. Сложим два десятичных числа столбиком или поразрядно:

\(8,8 + 5,9 = (8 + 5) + (0,8 + 0,9)\)

\(13 + 1,7 = 14,7\)

Ответ: 14,7

1. Выделим целую часть из неправильной дроби \(\frac{140}{17}\). Для этого разделим с остатком число 140 на 17:

• • Подберем целое число: \(17 \times 8 = 136\)
• • Находим остаток: \(140 — 136 = 4\)

2. Запишем число в виде смешанной дроби:

\(\frac{140}{17} = 8\frac{4}{17}\)

3. Полученное число больше 8, но меньше 9. Оно находится в промежутке \((8; 9)\), что соответствует варианту под номером 4.

Ответ: 4

1. Применим свойство возведения степени в степень \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):

\((7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8\)

2. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):

\(7^{-6} \cdot 7^8 = 7^{-6 + 8} = 7^2\)

3. Возведем число в квадрат:

\(7^2 = 49\)

Ответ: 49

1. Раскроем скобки, учитывая знаки:

\(3x + 30 — 2x + 20 = 10\)

2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

\(x + 50 = 10\)

3. Перенесем число 50 в правую часть с противоположным знаком:

\(x = 10 — 50\)

\(x = -40\)

Ответ: -40

1. Найдем общее количество пирожков на тарелке:

\(4 + 5 + 6 = 15 \text{ пирожков}\)

2. Определим число благоприятных исходов: Количество пирожков с вишней равно 6.3. Вычислим вероятность по классическому определению: Разделим число пирожков с вишней на общее количество пирожков:

\(P = \frac{6}{15}\)

4. Сократим дробь на 3 и переведем в десятичный вид:

\(P = \frac{2}{5} = 0,4\)

Ответ: 0,4

1. Проанализируем каждую формулу и сопоставим ее с графиком:

• • Формула 1) \(y = x^2 + 2\) задает квадратичную функцию. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина смещена на 2 единицы вверх по оси ординат. Это график А
• • Формула 2) \(y = -\frac{2}{x}\) задает обратно пропорциональную зависимость. Ее графиком является гипербола. Так как коэффициент отрицательный, ветви находятся во второй и четвертой координатных четвертях. Это график В
• • Формула 3) \(y = 2x\) задает прямую пропорциональность. Ее графиком является прямая, проходящая через начало координат. Это график Б

2. Запишем полученное соответствие:

• • А \(\rightarrow\) 1
• • Б \(\rightarrow\) 3
• • В \(\rightarrow\) 2

Ответ: 132

1. Выразим неизвестную диагональ \(d_2\) из исходной формулы:

\(2S = d_1 d_2 \sin \alpha \;\rightarrow\; d_2 = \frac{2S}{d_1 \sin \alpha}\)

2. Подставим известные значения в выражение:

\(d_2 = \frac{2 \cdot 57,75}{11 \cdot \frac{7}{12}}\)

3. Выполним вычисления в числителе и избавимся от многоэтажной дроби:

\(2 \cdot 57,75 = 115,5\)

\(d_2 = \frac{115,5 \cdot 12}{11 \cdot 7}\)

4. Произведем последовательное сокращение:

\(11 \cdot 7 = 77\)

\(d_2 = \frac{1386}{77}\)

\(d_2 = 18\)

Ответ: 18

1. Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:

\(-3x — 7x > -9 + 3\)

2. Приведем подобные слагаемые:

\(-10x > -6\)

3. Разделим обе части на -10, меняя знак неравенства на противоположный:

\(x < \frac{-6}{-10}\)

\(x < 0,6\)

4. Запишем полученный результат в виде числового промежутка:

\(x \in (-\infty; 0,6)\)

Данный промежуток указан под номером 4.

Ответ: 4

1. Определим изменение температуры за 7 минут: Поскольку каждую минуту температура понижалась на 6°C, за 7 минут общее изменение составит:

\(7 \times (-6) = -42^\circ\text{C}\)

2. Вычислим итоговую температуру: К начальной температуре вещества прибавим величину ее изменения:

\(-9 + (-42) = -51^\circ\text{C}\)

Ответ: -51

1. Запишем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC\)

2. Подставим числовые значения из условия:

\(S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 \cdot \frac{4}{9}\)

3. Выполним последовательное сокращение дробей:

\(S = 6 \cdot 15 \cdot \frac{4}{9} = 90 \cdot \frac{4}{9}\)

\(S = 10 \cdot 4 = 40\)

Ответ: 40

1. Рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу:

• • Угол \(\angle CBD\) и угол \(\angle CAD\) являются вписанными и опираются на общую дугу CD
• • По свойству вписанных углов: \(\angle CBD = \angle CAD = 74^\circ\)

2. Найдем искомый угол \(\angle ABD\): Из рисунка видно, что луч BD делит угол \(\angle ABC\) на два угла: \(\angle ABD\) и \(\angle CBD\). Следовательно:

\(\angle ABD = \angle ABC — \angle CBD\)

\(\angle ABD = 120^\circ — 74^\circ = 46^\circ\)

Ответ: 46

1. Рассмотрим параллельные прямые и секущую: Стороны параллелограмма BC и AD параллельны. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в некоторой точке K. Тогда угол \(\angle AKB = 21^\circ\) и угол \(\angle KAD\) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AK. Следовательно:

\(\angle KAD = \angle AKB = 21^\circ\)

2. Используем свойство биссектрисы: Так как AK — биссектриса угла A параллелограмма, она делит весь угол \(\angle BAD\) на две равные части. Значит:

\(\angle BAK = \angle KAD = 21^\circ\)

3. Находим полный острый угол параллелограмма:

\(\angle BAD = 21^\circ + 21^\circ = 42^\circ\)

Ответ: 42

1. Построим прямоугольный треугольник: Проведем из точек A и B линии по сетке клеток так, чтобы отрезок AB являлся гипотенузой прямоугольного треугольника. Для этого опустим вертикальную линию вниз из точки B и проведем горизонтальную линию вправо из точки A до их пересечения в точке C.2. Посчитаем длины катетов по клеткам сетки:

• • Горизонтальный катет AC составляет 4 клетки
• • Вертикальный катет BC составляет 3 клетки

3. Применим теорему Пифагора для вычисления гипотенузы AB:

\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2}\)

\(AB = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}\)

\(AB = 5\)

Ответ: 5

1. Разберем первое утверждение: Геометрическим свойством биссектрисы угла является то, что любая её точка находится на одинаковом расстоянии от лучей, образующих этот угол. Утверждение верно.2. Разберем второе утверждение: У параллелограмма противоположные стороны равны. Если у него равны еще и соседние стороны, то все четыре его стороны становятся равными. По определению, параллелограмм с равными сторонами — это ромб. Утверждение верно.3. Разберем третье утверждение: По свойству касательной, она всегда перпендикулярна (образует угол 90°), а не параллельна радиусу, проведённому в точку касания. Утверждение неверно.

Ответ: 12

1. Преобразуем исходное равенство: Используем свойство пропорции и умножим обе части уравнения на знаменатель дроби при условии, что \(8a — 5b + 2 \neq 0\):

\(5a — 8b + 2 = 3(8a — 5b + 2)\)

2. Раскроем скобки в правой части:

\(5a — 8b + 2 = 24a — 15b + 6\)

3. Перенесем все слагаемые в одну сторону (например, в правую):

\(24a — 5a — 15b + 8b + 6 — 2 = 0\)

\(19a — 7b + 4 = 0\)

4. Из полученного уравнения выразим группу слагаемых \(19a — 7b\):

\(19a — 7b = -4\)

5. Подставим найденное значение в искомое выражение:

\(19a — 7b + 12 = -4 + 12 = 8\)

Ответ: 8

1. Переведем время остановки первого велосипедиста в часы:

\(48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0,8 \text{ ч}\)

2. Составим уравнение по условию задачи: Пусть \(t\) (ч) — время, которое находился в движении второй велосипедист до момента встречи. Поскольку они выехали одновременно, а первый сделал остановку на 0,8 часа, чистое время движения первого велосипедиста составляет \((t — 0,8)\) часов.3. Запишем сумму пройденных расстояний: До встречи они совместно преодолели всё расстояние между городами (168 км):

\(v_1 \cdot (t — 0,8) + v_2 \cdot t = 168\)

\(15(t — 0,8) + 30t = 168\)

4. Решим полученное уравнение:

\(15t — 12 + 30t = 168\)

\(45t = 168 + 12\)

\(45t = 180 \;\rightarrow\; t = 4 \text{ часа}\)

5. Найдём расстояние, которое проехал второй велосипедист от своего города до места встречи:

\(S_2 = v_2 \cdot t = 30 \times 4 = 120 \text{ км}\)

Ответ: 120

1. Построим первую часть графика при \(x \geq -3\): Функция \(y = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх.

• • Вершина параболы находится в точке \((-2; 0)\)
• • Найдём значение функции на границе участка: при \(x = -3\), \(y = (-3 + 2)^2 = 1\). Точка \((-3; 1)\) принадлежит графику

2. Построим вторую часть графика при \(x < -3\): Функция \(y = -\frac{3}{x}\) является гиперболой, ветви которой лежат во II и IV четвертях. На заданном промежутке \(x < -3\) мы строим только часть ветви во II четверти.

• • При приближении \(x\) к \(-3\) слева, значения \(y\) стремятся к \(-\frac{3}{-3} = 1\). Точка \((-3; 1)\) является общей для обеих ветвей, график непрерывен
• • При \(x \rightarrow -\infty\), значения \(y\) стремятся к 0 сверху (\(y > 0\))

3. Анализируем количество точек пересечения с горизонтальной прямой \(y = m\): Визуально оценивая график по высоте (координате \(y\)):

• • При \(m < 0\): прямая лежит ниже оси абсцисс и не пересекает график (0 общих точек)
• • При \(m = 0\): прямая касается вершины параболы в точке \((-2; 0)\). Это 1 общая точка
• • При \(0 < m < 1\): прямая пересекает левую ветвь параболы, правую ветвь параболы и ветвь гиперболы (3 общие точки)
• • При \(m = 1\): прямая проходит через стык графиков \((-3; 1)\) и пересекает правую ветвь параболы. Это 2 общие точки
• • При \(m > 1\): прямая пересекает только левую и правую ветви параболы. Это 2 общие точки

4. Таким образом, одна или две общие точки будут при \(m = 0\) и при \(m \geq 1\).

Ответ: m = 0; m ≥ 1

1. Докажем подобие треугольников: Рассмотри треугольники MBN и ABC. Угол \(\angle B\) является общим для обоих треугольников. Так как по условию \(MN \parallel AC\), то углы \(\angle BMN\) и \(\angle BAC\) равны как соответственные при параллельных прямых и секущей AB. Следовательно, треугольники MBN и ABC подобны по двум углам (\(\triangle MBN \sim \triangle ABC\)).2. Составим отношение сходственных сторон: Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\(\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}\)

3. Выразим сторону BC: Обозначим искомую длину отрезка BN за \(x\). Так как точка N лежит на отрезке BC, длина всего отрезка равна \(BC = BN + NC = x + 25\).4. Подставим известные значения в пропорцию:

\(\frac{x}{x + 25} = \frac{12}{42}\)

5. Сократим дробь в правой части на 6:

\(\frac{x}{x + 25} = \frac{2}{7}\)

6. Решим уравнение, используя основное свойство пропорции (крест-накрест):

\(7x = 2(x + 25)\)

\(7x = 2x + 50\)

\(5x = 50\)

\(x = 10\)

Ответ: 10

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотами: Высоты AA\(_1\) и BB\(_1\) проведены к продолжениям сторон BC и AC соответственно, так как угол \(\angle ACB\) тупой. В прямоугольных треугольниках AA\(_1\)C (\(\angle AA_1C = 90^\circ\)) и BB\(_1\)C (\(\angle BB_1C = 90^\circ\)) угол \(\angle ACA_1\) равен углы \(\angle BCB_1\) как вертикальные.2. Выразим косинус этого угла: Из прямоугольного треугольника AA\(_1\)C находим косинус угла при вершине C:

\(\cos \angle ACA_1 = \frac{A_1C}{AC}\)

Из прямоугольного треугольника BB\(_1\)C находим:

\(\cos \angle BCB_1 = \frac{B_1C}{BC}\)

3. Составим равенство отношений: Так как углы равны, равны и их косинусы:

\(\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC} \;\rightarrow\; \frac{A_1C}{B_1C} = \frac{AC}{BC}\)

4. Сделаем вывод о подобии: В треугольниках A\(_1\)CB\(_1\) и ACB стороны, заключающие угол при вершине C, пропорциональны (\(\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}\)), а углы между ними равны (\(\angle A_1CB_1 = \angle ACB\) как вертикальные). Следовательно, \(\triangle A_1CB_1 \sim \triangle ACB\) по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), что и требовалось доказать.

1. Используем теорему о касательной и секущей: Пусть окружность касается луча AB в точке K. Луч AC является секущей, пересекающей окружность в точках M и N. По теореме о квадрате касательной:

\(AK^2 = AM \cdot AN = 12 \cdot 21 = 252 \;\rightarrow\; AK = \sqrt{252} = 6\sqrt{7}\)

2. Применим теорему косинусов в треугольнике AKM: Найдём длину отрезка KM, соединяющего точку касания и первую точку пересечения на стороне AC. Нам известны стороны \(AK = 6\sqrt{7}\), \(AM = 12\) и \(\cos \angle A = \frac{\sqrt{7}}{4}\):

\(KM^2 = AK^2 + AM^2 — 2 \cdot AK \cdot AM \cdot \cos \angle A\)

\(KM^2 = 252 + 144 — 2 \cdot 6\sqrt{7} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}\)

\(KM^2 = 396 — 36 \cdot 7 = 396 — 252 = 144 \;\rightarrow\; KM = 12\)

3. Определим вид треугольника AKM: Заметим, что \(AM = 12\) и \(KM = 12\). Следовательно, \(\triangle AKM\) — равнобедренный с основанием AK. Отсюда углы при основании равны: \(\angle AKM = \angle KAM = \angle A\).4. Используем теорему об угле между касательной и хордой: Угол \(\angle AKM\) образован касательной AK и хордой KM. Он равен половине дуги KM, а значит, равен вписанному углу, опирающемуся на эту дугу. Пусть точка X лежит на окружности, тогда угол \(\angle KNM\), опирающийся на хорду KM, также равен \(\angle A\).5. Найдем синус угла A: Из основного тригонометрического тождества:

\(\sin \angle A = \sqrt{1 — \cos^2 \angle A} = \sqrt{1 — \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}\)

6. Применим обобщенную теорему синусов: В треугольнике KMN радиус \(R\) описанной окружности (которая и является искомой окружностью) связан со стороной KM и противолежащим ей углом \(\angle KNM = \angle A\) соотношением:

\(2R = \frac{KM}{\sin \angle KNM} = \frac{12}{\frac{3}{4}} = 12 \cdot \frac{4}{3} = 16\)

\(R = \frac{16}{2} = 8\)

Ответ: 8