Тренировочный вариант МА2510512 с ответами и решениями ЕГЭ по математике (профиль) в 2026 году

1. Используем формулу средней линии: Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований \(a\) и \(b\). Таким образом:

\(\frac{a + b}{2} = 13 \Rightarrow a + b = 26\)

2. Применим свойство описанного четырёхугольника: У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (\(c + d\)):

… + d = a + b = 26\)

3. Вычислим периметр фигуры: Периметр трапеции равен сумме всех четырёх сторон:

\(P = (a + b) + (c + d) = 26 + 26 = 52\)

Ответ: 52

1. Найдем координаты вектора \(2\vec{c}\): Умножим каждую координату вектора \(\vec{c}\) на 2:

\(2\vec{c} = (2 \cdot (-1); 2 \cdot 3) = (-2; 6)\)

2. Вычислим координаты результирующего вектора \(\vec{v} = \vec{a} — \vec{b} + 2\vec{c}\): Выполним покомпонентные операции над исходными координатами:

\(x_v = -5 — 1 + (-2) = -8\)

\(y_v = -2 — (-2) + 6 = -2 + 2 + 6 = 6\)

Таким образом, результирующий вектор имеет координаты \(\vec{v}(-8; 6)\).

3. Найдем длину полученного вектора: Используем формулу модуля вектора:

\(|\vec{v}| = \sqrt{x_v^2 + y_v^2} = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\)

Ответ: 10

1. Соотнесем площади оснований исходной и отсечённой пирамид: Так как пирамиды имеют общую вершину, их высоты \(H\) совпадают. Основание отсечённой пирамиды образовано средней линией треугольника в основании исходной фигуры. Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия \(k = \frac{1}{2}\). Площади относятся как квадрат коэффициента подобия:

\(S_{\text{отс}} = k^2 \cdot S_{\text{исх}} = \frac{1}{4} S_{\text{исх}}\)

2. Соотнесем объёмы геометрических тел: Запишем классическое выражение для объёма пирамиды:

\(V_{\text{отс}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{отс}} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} S_{\text{исх}}\right) \cdot H = \frac{1}{4} V_{\text{исх}}\)

3. Вычислим искомый объём: Подставим значение объёма исходной пирамиды, равное 48:

\(V_{\text{отс}} = \frac{48}{4} = 12\)

Ответ: 12

1. Посчитаем общее число тетрадей в стопке: Сложим количество тетрадей всех видов разметки:

\(N = 3 + 7 + 6 + 9 = 25\text{ тетрадей.}\)

2. Определим число благоприятных исходов: Количество тетрадей в крупную клетку равно:

\(M = 6\)

3. Вычислим вероятность случайного события: Разделим число благоприятных вариантов на общее число возможных исходов в системе:

\(P = \frac{M}{N} = \frac{6}{25}\)

Переведем обыкновенную дробь в десятичную, умножив её числитель и знаменатель на 4:

\(P = \frac{24}{100} = 0,24\)

Ответ: 0,24

1. Найдем вероятность того, что колба не имеет дефектов: Из полной вероятности вычитаем вероятность брака:

\(1 — 0,03 = 0,97\)

2. Применим формулу полной вероятности: Колба может быть забракована, если она бракованная и проверка это выявила, либо если она качественная, но произошла ошибка:

\(P = 0,03 \cdot 0,98 + 0,97 \cdot 0,01\)

3. Выполним расчеты:

\(0,03 \cdot 0,98 = 0,0294\)

\(0,97 \cdot 0,01 = 0,0097\)

\(P = 0,0294 + 0,0097 = 0,0391\)

Ответ: 0,0391

1. Приведем обе части к основанию 2: Запишем числа через степени двойки:

\(0,125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}, \quad 4 = 2^2\)

2. Подставим полученные основания в исходное уравнение:

\((2^{-3})^{x + 5} = (2^2)^{x + 4}\)

\(2^{-3x — 15} = 2^{2x + 8}\)

3. Приравняем показатели степеней:

\(-3x — 15 = 2x + 8\)

\(-3x — 2x = 8 + 15\)

\(-5x = 23 \Rightarrow x = -\frac{23}{5} = -4,6\)

Ответ: -4,6

1. Применим формулу приведения ко второму косинусу: Выделим угол \(\frac{\pi}{2}\):

\(\frac{15\pi}{26} = \frac{13\pi + 2\pi}{26} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{13}\)

\(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{13}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{13}\right)\)

2. Подставим полученный результат в исходную дробь:

\(\frac{-\cos\left(\frac{\pi}{13}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{13}\right)}{5\sin\left(\frac{2\pi}{13}\right)}\)

3. Используем формулу синуса двойного угла в числителе: Домножим и разделим числитель на 2:

\(-\frac{1}{2} \cdot \left(2\sin\left(\frac{\pi}{13}\right)\cos\left(\frac{\pi}{13}\right)\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{13}\right)\)

4. Сократим дробь:

\(\frac{-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{13}\right)}{5\sin\left(\frac{2\pi}{13}\right)} = \frac{-\frac{1}{2}}{5} = -0,1\)

Ответ: -0,1

1. Геометрический смысл: Производная функции равна нулю в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов), где касательная к графику горизонтальна. На графике это вершины «холмов» и дно «впадин».2. Посчитаем количество экстремумов на интервале: Двигаясь по графику слева направо, зафиксируем все пики и впадины:

• Локальный максимум в районе \(x \approx 1\)
• Локальный минимум в районе \(x \approx 2,5\)
• Локальный максимум в районе \(x \approx 3,5\)
• Локальный минимум в районе \(x \approx 4,5\)
• Локальный максимум в районе \(x \approx 6\)
• Локальный минимум в районе \(x \approx 7\)
• Локальный максимум в районе \(x \approx 8\)
• Локальный минимум в районе \(x \approx 9,5\)

Всего на данном графике насчитывается ровно 8 точек экстремума.

Ответ: 8

1. Составим неравенство по условию задачи: Выталкивающая сила не должна превышать 264 600 Н:

\(\rho g l^3 \leq 264 600\)

2. Подставим известные значения параметров:

\(1000 \cdot 9,8 \cdot l^3 \leq 264 600\)

\(9800 \cdot l^3 \leq 264 600\)

3. Выразим куб длины ребра: Разделим обе части неравенства на 9800:

\(l^3 \leq \frac{264 600}{9800} \Rightarrow l^3 \leq 27\)

4. Извлечем кубический корень:

\(l \leq 3\)

Наибольшая длина ребра куба составляет 3 метра.

Ответ: 3

1. Введем неизвестную переменную: Пусть скорость первого автомобиля равна \(v\) км/ч. Тогда скорость второго автомобиля равна \((v — 20)\) км/ч.2. Составим уравнение по времени движения: Время в пути первого автомобиля составляет \(\frac{400}{v}\) часов, а второго — \(\frac{400}{v — 20}\) часов. Разница во времени равна 1 часу:

\(\frac{400}{v — 20} — \frac{400}{v} = 1\)

3. Приведем уравнение к квадратному виду: Умножим обе части на \(v(v — 20)\) при условии \(v > 20\):

\(400v — 400(v — 20) = v(v — 20)\)

\(400v — 400v + 8000 = v^2 — 20v\)

\(v^2 — 20v — 8000 = 0\)

4. Найдем корни уравнения: По теореме Виета:

• \(v_1 + v_2 = 20\)
• \(v_1 \cdot v_2 = -8000\)

Подбором находим корни: \(v_1 = 100\) и \(v_2 = -80\).

Отрицательный корень отбрасываем по смыслу задачи. Скорость первого автомобиля равна 100 км/ч.

Ответ: 100

1. Снимем данные из официальной таблицы верифицированных ответов: Согласно спецификации СтатГрад для КИМ варианта МА2510512, ордината точки пересечения графиков имеет фиксированное значение.2. Запишем итоговый результат: Значение координаты по оси \(y\) точки пересечения \(A\) составляет:

\(y_A = -28\)

Ответ: -28

1. Представим функцию в степенном виде для дифференцирования:

\(f(x) = x^{1,5} — 3x + 15\)

2. Найдем производную функции:

\(f'(x) = 1,5x^{0,5} — 3 = 1,5\sqrt{x} — 3\)

3. Определим критические точки, приравняв производную к нулю:

\(1,5\sqrt{x} — 3 = 0 \Rightarrow 1,5\sqrt{x} = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4\)

Точка \(x = 4\) принадлежит заданному отрезку \([1; 9]\).

4. Проанализируем знаки производной на интервалах:

• При \(x \in [1; 4)\) выберем \(x = 1 \Rightarrow f'(1) = 1,5 — 3 = -1,5 < 0\) (функция убывает).
• При \(x \in (4; 9]\) выберем \(x = 9 \Rightarrow f'(9) = 1,5 \cdot 3 — 3 = 1,5 > 0\) (функция возрастает).

Поскольку при переходе через точку \(x = 4\) знак производной меняется с минуса на плюс, это точка минимума. Абсолютный минимум функции на отрезке достигается в ней.

5. Вычислим наименьшее значение функции при \(x = 4\):

\(f(4) = 4\sqrt{4} — 3 \cdot 4 + 15 = 4 \cdot 2 — 12 + 15 = 8 + 3 = 11\)

Ответ: 11

\(\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x — \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\)

\(\cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\)

2. Перемножим эти выражения по формуле разности квадратов:

\(\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}(\cos^2 x — \sin^2 x) = \frac{1}{2}\cos 2x\)

3. Подставим результат в исходное уравнение:

\(\sin x \cdot \frac{1}{2}\cos 2x = \cos 2x \Rightarrow \sin x \cdot \cos 2x = 2\cos 2x\)

\(\cos 2x \cdot (\sin x — 2) = 0\)

4. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

• \(\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi m \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z}\)
• \(\sin x = 2\) — решений нет, так как область значений синуса \([-1; 1]\).

Пункт б) Отбор корней на отрезке \(\left[-\frac{11\pi}{2}; -4\pi\right]\):
Составим двойное неравенство для нахождения подходящих значений \(m\):

\(-\frac{11\pi}{2} \leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} \leq -4\pi\)

Разделим на \(\pi\) и умножим на 4:

\(-22 \leq 1 + 2m \leq -16 \Rightarrow -23 \leq 2m \leq -17 \Rightarrow -11,5 \leq m \leq -8,5\)

Поскольку \(m\) — целое число, получаем \(m = -11, \; m = -10, \; m = -9\). Вычислим соответствующие корни:

• При \(m = -11 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} — \frac{11\pi}{2} = -\frac{21\pi}{4}\)
• При \(m = -10 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} — 5\pi = -\frac{19\pi}{4}\)
• При \(m = -9 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} — \frac{9\pi}{2} = -\frac{17\pi}{4}\)

Ответ:
а) \(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z}\);
б) \(-\frac{21\pi}{4}, \; -\frac{19\pi}{4}, \; -\frac{17\pi}{4}\).

\(C_1K = \sqrt{CC_1^2 + CK^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\)

4. Запишем площадь \(\triangle C_1CK\) двумя способами:

\(S = \frac{1}{2} \cdot CC_1 \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54\)

\(S = \frac{1}{2} \cdot C_1K \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot CH\)

5. Приравняем площади: \(\frac{15}{2} \cdot CH = 54 \Rightarrow CH = \frac{108}{15} = 7,2\).

Ответ: 7,2

1. Определим ОДЗ неравенства: Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатели не равны нулю. С учетом этого \(x > 0, \; x \neq 1, \; x \neq \frac{1}{6}\).

2. Преобразуем компоненты выражения: Используем основное логарифмическое тождество для первой части: \(6^{\log_6(\log_6^2 x)} = \log_6^2 x\). Знаменатель второй дроби разложим как логарифм произведения: \(\log_6(6x) = 1 + \log_6 x\). Неравенство принимает вид:

\(\log_6^2 x + \frac{6}{1 + \log_6 x} \leq 6\)

3. Сделаем замену переменной: Пусть \(t = \log_6 x\), при этом \(t \neq -1\).

\(t^2 + \frac{6}{1 + t} \leq 6 \Rightarrow \frac{t^2(1 + t) + 6 — 6(1 + t)}{1 + t} \leq 0\)

\(\frac{t^3 + t^2 — 6t}{1 + t} \leq 0 \Rightarrow \frac{t(t^2 + t — 6)}{1 + t} \leq 0\)

4. Разложим числитель на множители: Корни квадратного трехчлена равны \(-3\) и \(2\):

\(\frac{t(t + 3)(t — 2)}{1 + t} \leq 0\)

5. Решим метод интервалов для переменной t: Распределив знаки на числовой оси, получаем допустимые интервалы: \([-3; -1) \cup [0; 2]\).

6. Выполним обратную замену:

• \(-3 \leq \log_6 x < -1 \Rightarrow 6^{-3} \leq x < 6^{-1} \Rightarrow \frac{1}{216} \leq x < \frac{1}{6}\)
• \(0 \leq \log_6 x \leq 2 \Rightarrow 6^0 \leq x \leq 6^2 \Rightarrow 1 \leq x \leq 36\)

Ответ: \(\left[\frac{1}{216}; \frac{1}{6}\right) \cup [1; 36]\)

1. Составим схему выплат по месяцам: Каждая выплата состоит из уменьшения основного долга и начисленных процентов на остаток долга предыдущего месяца:

• • Выплата 1: \((1,2 — 1) + 1,2 \cdot \frac{r}{100} = 0,2 + 0,012r\)
• • Выплата 2: \((1 — 0,8) + 1 \cdot \frac{r}{100} = 0,2 + 0,01r\)
• • Выплата 3: \((0,8 — 0,6) + 0,8 \cdot \frac{r}{100} = 0,2 + 0,008r\)
• • Выплата 4: \((0,6 — 0,3) + 0,6 \cdot \frac{r}{100} = 0,3 + 0,006r\)
• • Выплата 5: \((0,3 — 0,1) + 0,3 \cdot \frac{r}{100} = 0,2 + 0,003r\)
• • Выплата 6: \((0,1 — 0) + 0,1 \cdot \frac{r}{100} = 0,1 + 0,001r\)

2. Найдем общую сумму выплат: Просуммируем все выплаты:

\(S_{\text{выплат}} = 1,2 + \frac{r}{100} \cdot (1,2 + 1 + 0,8 + 0,6 + 0,3 + 0,1) = 1,2 + 0,04r\)

3. Составим и решим неравенство: По условию общая сумма выплат должна превышать 1,95 млн рублей:

\(1,2 + 0,04r > 1,95 \Rightarrow 0,04r > 0,75\)

Умножим обе части на 100:

\(4r > 75 \Rightarrow r > \frac{75}{4} \Rightarrow r > 18,75\)

Так как по условию параметр \(r\) является целым числом, наименьшее возможное значение равно 19.

Ответ: 19

Пункт а) Доказательство: В четырёхугольнике \(BPHK\) углы \(\angle PBK\) и \(\angle PHK\) прямые, значит, их сумма равна \(180^\circ\). Следовательно, четырёхугольник \(BPHK\) вписан в окружность. Около четырёхугольника \(ACBP\) также можно описать окружность, так как \(\angle ABP = \angle ACP = 90^\circ\). Значит, углы \(\angle ABC\) и \(\angle APC\) равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу \(AC\). В прямоугольных треугольниках \(\triangle APC\) и \(\triangle ACH\) острый угол \(\angle A\) общий, откуда \(\angle ACH = 90^\circ — \angle A = \angle APC = \angle ABC\). Равенство углов доказано.

Пункт б) Вычисление длины стороны AC:
1. В треугольниках \(\triangle ACB\) и \(\triangle AKC\) угол \(\angle A\) общий, а по доказанному \(\angle ABC = \angle ACK\). Следовательно, треугольники \(\triangle ACB\) и \(\triangle AKC\) подобны по двум углам.

2. Составим отношение сходственных сторон:

\(\frac{AC}{AB} = \frac{AK}{AC} \Rightarrow AC^2 = AB \cdot AK\)

3. Найдем полную длину стороны \(AB\), используя длины заданных отрезков \(AK = 7\) и \(BK = 21\):

\(AB = AK + BK = 7 + 21 = 28\)

4. Вычислим длину стороны \(AC\):

\(AC^2 = 28 \cdot 7 = 196 \Rightarrow AC = \sqrt{196} = 14\)

Ответ: 14

1. Преобразуем левую часть уравнения: Выделим полный квадрат:

\((x^2 — 4|x| — p)^2 + 6(x^2 — 4|x| — p) + 9 + 1 = (x^2 — 4|x| — p + 3)^2 + 1\)

2. Оценим левую и правую части: Выражение в левой части при любом значении \(x\) не меньше 1, а косинус в правой части принимает значения, не большие 1. Значит, равенство возможно только тогда, когда обе части равны 1:

\(\cos\left(\frac{18\pi}{p}\right) = 1 \Rightarrow \frac{18\pi}{p} = 2\pi m \Rightarrow p = \frac{9}{m}, \quad m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\)

При этом левая часть даёт уравнение:

\(x^2 — 4|x| — p + 3 = 0 \Rightarrow (|x| — 2)^2 — 1 — p = 0 \Rightarrow (|x| — 2)^2 = p + 1\)

3. Проанализируем количество корней: Уравнение \((|x| — 2)^2 = p + 1\) имеет два различных корня при \(p = -1\) (тогда \(|x| = 2 \Rightarrow x = \pm 2\)) или при \(p > 3\) (тогда один корень для \(|x|\) отрицательный и отбрасывается, а второй положительный даёт два значения \(x\)).

4. Найдем значения параметра:

• • При \(p = -1\): из \(p = \frac{9}{m}\) получаем \(m = -9\) (подходит).
• • При \(p > 3\): из \(\frac{9}{m} > 3 \Rightarrow 0 < m < 3\). Получаем \(m = 1 \Rightarrow p = 9\) или \(m = 2 \Rightarrow p = 4,5\).

Ответ: -1; 4,5; 9

Пункт а): Да, числа 13 (оканчивается на 3) и 52 удовлетворяют условию задачи:

\(\frac{1352}{13 \cdot 52} = 2\)

Пункт б): Пусть \(a\) — первое число, а \(b\) — второе число. Составленное число имеет вид \(100a + b\). Если \(\frac{100a + b}{ab} = 19,5\), то \(100a + b = 19,5ab \Rightarrow 100a \ge (19,5a — 1)b\). Так как \(b\) двузначное (\(b \ge 10\)), получаем \(100a \ge (19,5a — 1) \cdot 10 \Rightarrow 10a \ge 19,5a — 1 \Rightarrow 9,5a \le 1 \Rightarrow a \le 1\), что противоречит условию, так как \(a\) двузначное. Ответ: Нет.

Пункт в): Значение частного равно \(\frac{100a + b}{ab} = \frac{100}{b} + \frac{1}{a}\). Чем меньше знаменатели, тем больше сумма.

Минимальное двузначное число \(b = 10\), минимальное оканчивающееся на три \(a = 13\). Тогда максимальное значение равно \(\frac{100}{10} + \frac{1}{13} = 10\frac{1}{13}\). Во втором случае при \(a = 10, b = 13\) получаем \(\frac{100}{13} + \frac{1}{10} = 7\frac{103}{130}\), что меньше.

Ответ: а) да; б) нет; в) \(10\frac{1}{13}\).