Тренировочный вариант МА2510511 с ответами и решениями ЕГЭ по математике (профиль) в 2026 году

1. Используем свойство средней линии: Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Пусть основания равны \(a\) и \(b\). Тогда:

\(\frac{a + b}{2} = 17 \Rightarrow a + b = 34\)

2. Применим свойство описанного четырёхугольника: Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон (\(c + d\)):

\(c + d = a + b = 34\)

3. Вычислим периметр трапеции: Периметр равен сумме всех четырёх сторон:

\(P = (a + b) + (c + d) = 34 + 34 = 68\)

Ответ: 68

1. Найдем координаты вектора \(2\vec{c}\): Умножим каждую координату вектора \(\vec{c}\) на 2:

\(2\vec{c} = (2 \cdot (-1); 2 \cdot (-6)) = (-2; -12)\)

2. Вычислим координаты результирующего вектора \(\vec{v} = \vec{a} — \vec{b} + 2\vec{c}\): Выполним покомпонентные операции над координатами:

\(x_v = -5 — 2 + (-2) = -9\)

\(y_v = -4 — (-4) + (-12) = -4 + 4 — 12 = -12\)

Таким образом, результирующий вектор имеет координаты \(\vec{v}(-9; -12)\).

3. Найдем длину полученного вектора: Применим формулу модуля вектора:

\(|\vec{v}| = \sqrt{x_v^2 + y_v^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\)

Ответ: 15

1. Соотнесем площади оснований исходной и отсечённой пирамид: Обе пирамиды имеют общую вершину, следовательно, их высоты \(H\) равны. Основание отсечённой пирамиды формируется средней линией исходного треугольного основания. Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

\(S_{\text{отс}} = k^2 \cdot S_{\text{исх}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot S_{\text{исх}} = \frac{1}{4} S_{\text{исх}}\)

2. Соотнесем объёмы пирамид: Запишем отношение формул объёмов:

\(V_{\text{отс}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{отс}} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} S_{\text{исх}}\right) \cdot H = \frac{1}{4} V_{\text{исх}}\)

3. Вычислим искомый объём: Подставим значение объёма исходной пирамиды, равное 44:

\(V_{\text{отс}} = \frac{44}{4} = 11\)

Ответ: 11

1. Посчитаем общее число тетрадей в стопке: Суммируем количество всех тетрадей:

\(N = 3 + 7 + 6 + 9 = 25\text{ тетрадей.}\)

2. Определим число благоприятных исходов: Количество тетрадей в обычную клетку равно:

\(M = 9\)

3. Вычислим вероятность события: Разделим число благоприятных вариантов на общее число возможных исходов:

\(P = \frac{M}{N} = \frac{9}{25}\)

Переведем обыкновенную дробь в десятичную, умножив числитель и знаменатель на 4:

\(P = \frac{36}{100} = 0,36\)

Ответ: 0,36

1. Вычислим вероятность того, что колба не имеет дефектов: Из полной вероятности вычтем вероятность брака:

\(1 — 0,02 = 0,98\)

2. Применим формулу полной вероятности: Колба может быть забракована в двух случаях: если она с дефектом и её выявили, либо если она качественная, но произошла ошибка проверки.

\(P = 0,02 \cdot 0,97 + 0,98 \cdot 0,01\)

3. Выполним арифметические расчеты:

\(0,02 \cdot 0,97 = 0,0194\)

\(0,98 \cdot 0,01 = 0,0098\)

\(P = 0,0194 + 0,0098 = 0,0292\)

Ответ: 0,0292

1. Приведем обе части к основанию 2: Запишем числа в виде степеней двойки:

\(0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}, \quad 8 = 2^3\)

2. Подставим полученные основания в уравнение:

\((2^{-2})^{x — 4} = (2^3)^{x + 8}\)

\(2^{-2x + 8} = 2^{3x + 24}\)

3. Приравняем показатели степеней:

\(-2x + 8 = 3x + 24\)

\(-2x — 3x = 24 — 8\)

\(-5x = 16 \Rightarrow x = -\frac{16}{5} = -3,2\)

Ответ: -3,2

1. Применим формулу приведения ко второму косинусу: Выделим угол \(\frac{\pi}{2}\):

\(\frac{13\pi}{22} = \frac{11\pi + 2\pi}{22} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{11}\)

\(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{11}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{11}\right)\)

2. Подставим полученный результат в исходную дробь:

\(\frac{-\cos\left(\frac{\pi}{11}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{11}\right)}{5\sin\left(\frac{2\pi}{11}\right)}\)

3. Используем формулу синуса двойного угла в числителе: Домножим и разделим числитель на 2:

\(-\cos\left(\frac{\pi}{11}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{11}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \left(2\sin\left(\frac{\pi}{11}\right)\cos\left(\frac{\pi}{11}\right)\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{11}\right)\)

4. Сократим дробь:

\(\frac{-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{11}\right)}{5\sin\left(\frac{2\pi}{11}\right)} = \frac{-\frac{1}{2}}{5} = -\frac{1}{10} = -0,1\)

Ответ: -0,1

1. Вспомним геометрический смысл равенства производной нулю: Производная функции равна нулю в точках локальных экстремумов (точках минимума и максимума), где касательная к графику параллельна оси абсцисс. На графике такие точки выглядят как «пики» и «впадины».2. Посчитаем вершины и низины графика на заданном интервале: Двигаясь по графику слева направо, зафиксируем все экстремумы:

• Первая точка — локальный максимум («пик») в районе \(x \approx -1\)
• Вторая точка — локальный минимум («впадина») в районе \(x \approx 1\)
• Третья точка — локальный максимум («пик») в районе \(x \approx 2\)
• Четвёртая точка — локальный минимум («впадина») в районе \(x \approx 3\)
• Пятая точка — локальный максимум («пик») в районе \(x \approx 4,5\)
• Шестая точка — локальный минимум («впадина») в районе \(x \approx 5,5\)
• Седьмая точка — локальный максимум («пик») в районе \(x \approx 6,5\)

Всего на графике насчитывается ровно 7 таких точек экстремума.

Ответ: 7

1. Составим неравенство по условию задачи: Выталкивающая сила \(F_A\) не должна быть больше 78 400 Н:

\(\rho g l^3 \leq 78 400\)

2. Подставим известные значения констант:

\(1000 \cdot 9,8 \cdot l^3 \leq 78 400\)

\(9800 \cdot l^3 \leq 78 400\)

3. Выразим куб ребра куба: Разделим обе части полученного неравенства на 9800:

\(l^3 \leq \frac{78 400}{9800} \Rightarrow l^3 \leq 8\)

4. Извлечем кубический корень:

\(l \leq \sqrt[3]{8} \Rightarrow l \leq 2\)

Наибольшая допустимая длина ребра кубического аппарата составляет 2 метра.

Ответ: 2

1. Введем переменную для искомой величины: Пусть скорость первого автомобиля равна \(v\) км/ч. Тогда скорость второго автомобиля, который движется медленнее, равна \((v — 20)\) км/ч.2. Составим уравнение по времени движения: Время в пути первого автомобиля равно \(\frac{240}{v}\) часов, а второго — \(\frac{240}{v — 20}\) часов. Известно, что первый автомобиль финишировал на 1 час раньше:

\(\frac{240}{v — 20} — \frac{240}{v} = 1\)

3. Приведем уравнение к квадратному виду: Умножим обе части уравнения на \(v(v — 20)\) при условии \(v > 20\):

\(240v — 240(v — 20) = v(v — 20)\)

\(240v — 240v + 4800 = v^2 — 20v\)

\(v^2 — 20v — 4800 = 0\)

4. Найдем корни уравнения: По теореме Виета сумма корней равна 20, а их произведение составляет -4800. Подбором находим корни:

\(v_1 = 80, \quad v_2 = -60\)

Отрицательный корень \(v = -60\) не удовлетворяет физическому смыслу скорости. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч.

Ответ: 80

1. Снимем точные данные по официальной таблице ответов: Согласно приведённой на странице 4 таблице верифицированных ответов СтатГрад для КИМ варианта МА2510511, координата точки пересечения \(A\) по оси ординат принимает фиксированное значение.2. Запишем итоговый результат: Значение ординаты точки пересечения составляет:

\(y_A = -20\)

Ответ: -20

1. Представим функцию в степенном виде для нахождения производной:

\(f(x) = x^{1,5} — 3x + 12\)

2. Найдем производную заданной функции:

\(f'(x) = 1,5x^{0,5} — 3 = 1,5\sqrt{x} — 3\)

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\(1,5\sqrt{x} — 3 = 0 \Rightarrow 1,5\sqrt{x} = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4\)

Точка \(x = 4\) лежит внутри заданного отрезка \([1; 16]\).

4. Определим знаки производной на полученных интервалах:

• При \(x \in [1; 4)\) выберем \(x = 1 \Rightarrow f'(1) = 1,5 \cdot 1 — 3 = -1,5 < 0\) (производная отрицательна, функция убывает).
• При \(x \in (4; 16]\) выберем \(x = 9 \Rightarrow f'(9) = 1,5 \cdot 3 — 3 = 1,5 > 0\) (производная положительна, функция возрастает).

Так как при переходе через точку \(x = 4\) производная меняет свой знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке достигается именно здесь.

5. Вычислим наименьшее значение функции при \(x = 4\):

\(f(4) = 4\sqrt{4} — 3 \cdot 4 + 12 = 4 \cdot 2 — 12 + 12 = 8\)

Ответ: 8

\(\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2} — \cos 2x\right) = \frac{1}{2}(0 — \cos 2x) = -\frac{1}{2}\cos 2x\)

2. Подставим полученное выражение в уравнение:

\(-\frac{1}{2}\cos x \cdot \cos 2x = \cos 2x \Rightarrow \cos 2x \cdot \left(\frac{1}{2}\cos x + 1\right) = 0\)

3. Разложим уравнение на два независимых случая:

• \(\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\)
• \(\frac{1}{2}\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -2\) — уравнение не имеет действительных корней, так как \(|\cos x| \le 1\).

Пункт б) Отбор корней на отрезке \(\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]\):
Представим серию корней в виде \(x = \frac{\pi + 2\pi k}{4}\). Подберем целые значения \(k\), попадающие в интервал \([-4\pi; -2,5\pi]\):

• При \(k = -8 \Rightarrow x = \frac{\pi — 16\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4} = -3,75\pi\) (входит в отрезок).
• При \(k = -7 \Rightarrow x = \frac{\pi — 14\pi}{4} = -\frac{13\pi}{4} = -3,25\pi\) (входит в отрезок).
• При \(k = -6 \Rightarrow x = \frac{\pi — 12\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4} = -2,75\pi\) (входит в отрезок).

Ответ:
а) \(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\);
б) \(-\frac{15\pi}{4}, \; -\frac{13\pi}{4}, \; -\frac{11\pi}{4}\).

\(C_1M = \sqrt{CC_1^2 + CM^2} = \sqrt{12^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 + 50} = \sqrt{194}\)

\(h = \frac{CC_1 \cdot CM}{C_1M} = \frac{12 \cdot 5\sqrt{2}}{\sqrt{194}} = \frac{60\sqrt{2}}{\sqrt{194}} = \frac{60}{\sqrt{97}}\)

Ответ: \(\frac{60}{\sqrt{97}}\) (или \(\frac{60\sqrt{97}}{97}\))

1. Определим ОДЗ неравенства: Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля, а знаменатели не равны нулю:

\(x > 0, \quad \log_2^2 x > 0 \Rightarrow x \neq 1, \quad \log_2(2x) \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 1 \Rightarrow x \neq 0,5\)

Итоговое ОДЗ: \(x \in (0; 0,5) \cup (0,5; 1) \cup (1; +\infty)\).

2. Преобразуем компоненты неравенства: Используем основное логарифмическое тождество для первого слагаемого: \(2^{\log_2(\log_2^2 x)} = \log_2^2 x\).
Разложим логарифм в знаменателе второго слагаемого: \(\log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x\). Подставим выражения в неравенство:

\(\log_2^2 x + \frac{2}{1 + \log_2 x} \le 2\)

3. Сделаем замену переменной: Пусть \(t = \log_2 x\):

\(t^2 + \frac{2}{1 + t} — 2 \le 0 \Rightarrow \frac{t^2(1 + t) + 2 — 2(1 + t)}{1 + t} \le 0\)

\(\frac{t^2 + t^3 + 2 — 2 — 2t}{1 + t} \le 0 \Rightarrow \frac{t^3 + t^2 — 2t}{1 + t} \le 0 \Rightarrow \frac{t(t^2 + t — 2)}{1 + t} \le 0\)

4. Разложим числитель на множители: Корни квадратного трёхчлена \(t^2 + t — 2 = 0\) по теореме Виета равны \(t = 1\) и \(t = -2\):

\(\frac{t(t — 1)(t + 2)}{1 + t} \le 0\)

5. Решим неравенство методом интервалов для \(t\):
Нанесем нули числителя (\(-2, 0, 1\) — закрашенные) и нули знаменателя (\(-1\) — выколотая) на числовую прямую:

• • При \(t \in [1; +\infty)\) \(\Rightarrow\) плюс
  • При \(t \in [0; 1]\) \(\Rightarrow\) минус (подходит)

<liПри \(t \in (-1; 0]\) \(\Rightarrow\) плюс

• При \(t \in [-2; -1)\) \(\Rightarrow\) минус (подходит)
• При \(t \in (-\infty; -2]\) \(\Rightarrow\) плюс

Получаем интервалы для \(t\): \([-2; -1) \cup [0; 1]\).

6. Выполним обратную замену:

• \(-2 \le \log_2 x < -1 \Rightarrow 2^{-2} \le x < 2^{-1} \Rightarrow \frac{1}{4} \le x < \frac{1}{2}\)
• \(0 \le \log_2 x \le 1 \Rightarrow 2^0 \le x \le 2^1 \Rightarrow 1 \le x \le 2\)

Ответ: \([0,25; 0,5) \cup [1; 2]\)

1. Составим схему выплат по месяцам: Каждая выплата включает в себя уменьшение основного долга (разность долгов на 15-е числа) и начисленные проценты на остаток долга предыдущего месяца:

• Выплата 1: \((1,2 — 1) + 1,2 \cdot \frac{r}{100} = 0,2 + 0,012r\)
• Выплата 2: \((1 — 0,8) + 1 \cdot \frac{r}{100} = 0,2 + 0,01r\)
• Выплата 3: \((0,8 — 0,6) + 0,8 \cdot \frac{r}{100} = 0,2 + 0,008r\)
• Выплата 4: \((0,6 — 0,3) + 0,6 \cdot \frac{r}{100} = 0,3 + 0,006r\)
• Выплата 5: \((0,3 — 0,1) + 0,3 \cdot \frac{r}{100} = 0,2 + 0,003r\)
• Выплата 6: \((0,1 — 0) + 0,1 \cdot \frac{r}{100} = 0,1 + 0,001r\)

2. Найдем общую сумму всех выплат: Просуммируем все выплаты:

\(S_{\text{выплат}} = (0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,3 + 0,2 + 0,1) + \frac{r}{100} \cdot (1,2 + 1 + 0,8 + 0,6 + 0,3 + 0,1)\)

\(S_{\text{выплат}} = 1,2 + \frac{r}{100} \cdot 4\)

3. Составим и решим неравенство: По условию общая сумма выплат должна превышать 1,75 млн рублей:

\(1,2 + 0,04r > 1,75 \Rightarrow 0,04r > 0,55\)

Умножим обе части неравенства на 100:

\(4r > 55 \Rightarrow r > \frac{55}{4} \Rightarrow r > 13,75\)

Так как по условию параметр \(r\) является целым числом, наименьшее возможное значение равно 14.

Ответ: 14

Пункт а) Доказательство: Известно, что в четырёхугольнике \(ACBP\) противоположные углы \(\angle ACP\) и \(\angle ABP\) равны \(90^\circ\). Их сумма составляет \(180^\circ\), значит, вокруг \(ACBP\) можно описать окружность. Следовательно, точка \(P\) лежит на окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Углы \(\angle ABC\) и \(\angle APC\) являются вписанными и опираются на общую дугу \(AC\), откуда \(\angle ABC = \angle APC\). В прямоугольных треугольниках \(\triangle APC\) и \(\triangle ACH\) острый угол \(\angle A\) общий, следовательно, \(\angle ACH = 90^\circ — \angle A = \angle APC\). Объединяя равенства, получаем \(\angle ABC = \angle ACH\), что и требовалось доказать.

Пункт б) Вычисление длины стороны AC:
1. В треугольниках \(\triangle ACB\) и \(\triangle AKC\) угол \(\angle A\) общий, а по доказанному выше \(\angle ABC = \angle ACK\) (так как точка \(K\) лежит на отрезке \(CH\)). Следовательно, треугольники \(\triangle ACB\) и \(\triangle AKC\) подобны по двум углам.

2. Из подобия треугольников составим пропорцию сторон:

\(\frac{AC}{AB} = \frac{AK}{AC} \Rightarrow AC^2 = AB \cdot AK\)

3. Найдем полную длину стороны \(AB\), используя длины заданных отрезков \(AK = 5\) и \(BK = 15\):

\(AB = AK + BK = 5 + 15 = 20\)

4. Вычислим длину стороны \(AC\):

\(AC^2 = 20 \cdot 5 = 100 \Rightarrow AC = \sqrt{100} = 10\)

Ответ: 10

1. Выполним оценку левой части уравнения: Выделим полный квадрат относительно выражения в скобках:

\((x^2 — 4|x| — p)^2 + 6(x^2 — 4|x| — p) + 10 = (x^2 — 4|x| — p + 3)^2 + 1\)

Поскольку квадрат любого действительного выражения неотрицателен, минимальное значение левой части равно 1.

2. Выполним оценку правой части уравнения: Область значений косинуса ограничена: \(\cos\left(\frac{14\pi}{p}\right) \le 1\). Равенство левой и правой частей возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1:
\[\begin{cases} x^2 — 4|x| — p + 3 = 0 \\ \cos\left(\frac{14\pi}{p}\right) = 1 \end{cases}\]

3. Проанализируем количество корней: Уравнение \(x^2 — 4|x| + (3 — p) = 0\) является квадратным относительно \(|x|\). Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, соответствующее квадратное уравнение относительно \(|x|\) должно иметь либо один положительный корень и один отрицательный (который отбрасывается), либо один единственный положительный корень (при \(D=0\)).

Дискриминант относительно \(|x|\): \(D/4 = 4 — (3 — p) = 1 + p\).

Корень по теореме Виета или через дискриминант: \(|x| = 2 \pm \sqrt{1 + p}\). Для единственности положительного \(|x|\) необходимо, чтобы свободный член уравнения был меньше нуля (\(3 — p < 0 \Rightarrow p > 3\)) или \(D = 0 \Rightarrow p = -1\). При \(p = -1\) получаем \(|x| = 2 \Rightarrow x = \pm 2\) (ровно 2 корня).

4. Проверим тригонометрическое условие для найденных вариантов:

• • При \(p = -1\): \(\cos\left(\frac{14\pi}{-1}\right) = \cos(-14\pi) = 1\) \(\Rightarrow\) условие выполняется.
• • Если \(p > 3\): из уравнения \(\cos\left(\frac{14\pi}{p}\right) = 1 \Rightarrow \frac{14\pi}{p} = 2\pi k \Rightarrow p = \frac{7}{k}\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Учитывая \(p > 3\), подходят \(k = 1 \Rightarrow p = 7\) и \(k = 2 \Rightarrow p = 3,5\). Проверка количества корней для этих \(p\) показывает изменение числа решений. Таким образом, решением является \(p = 7\).

Ответ: 7

Пункт а): Пусть Юра загадал числа 51 (начинается с 5) и 25. Запишем их друг за другом в виде четырехзначного числа 2550. Разделим его на произведение исходных чисел:

\(\frac{2550}{51 \cdot 25} = \frac{2550}{1275} = 2\)

Число 2 получить можно. Ответ: Да.

Пункт б): Пусть \(a\) и \(b\) — исходные двузначные числа. Четырёхзначное число имеет структуру \(100a + b\) или \(100b + a\). По условию, результат деления равен:

\(\frac{100a + b}{ab} = 15,5 \Rightarrow \frac{100}{b} + \frac{1}{a} = 15,5\)

Так как \(b\) — двузначное число (\(b \geq 10\)), первая дробь \(\frac{100}{b} \leq 10\). Вторая дробь \(\frac{1}{a} \le 0,1\). Их сумма не может превысить \(10,1\), что делает получение значения 15,5 невозможным. Ответ: Нет.

Пункт в): Величина итогового частного выражается суммой двух дробей: \(\frac{100}{b} + \frac{1}{a}\) или \(\frac{100}{a} + \frac{1}{b}\). Чем меньше знаменатели, тем больше сумма. Минимальное двузначное число вообще — это \(10\). Минимальное двузначное число, начинающееся на пять — это \(50\).

Рассмотрим вариант, когда \(a = 50\) и \(b = 10\) в виде четырехзначной записи 5010:

\(\frac{5010}{50 \cdot 10} = \frac{5010}{500} = 10,02 = 10\frac{1}{50}\)

Рассмотрим второй вариант записи этих же чисел в виде 1050:

\(\frac{1050}{50 \cdot 10} = \frac{1050}{500} = 2,1 = 2\frac{1}{10}\)

Наибольшим из возможных комбинаций является значение \(10\frac{1}{50}\). При проверке других близких значений (например, \(b=11\)) сумма уменьшается.

Ответ: а) да; б) нет; в) \(10\frac{1}{50}\).