Тренировочный вариант МА2510510 с ответами и решениями ЕГЭ по математике (профиль) в 2026 году

1. Используем свойство описанного четырёхугольника: В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Обозначим основания трапеции как \(a\) и \(b\), а её боковые стороны — как \(c = 13\) и \(d = 19\). Получаем соотношение:

\(a + b = c + d\)

\(a + b = 13 + 19 = 32\)

2. Вычисляем длину средней линии: Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

\(m = \frac{a + b}{2}\)

\(m = \frac{32}{2} = 16\)

Ответ: 16

1. Найдем координаты вектора \(2\vec{b}\): Умножим каждую координату вектора \(\vec{b}\) на 2:

\(2\vec{b} = (2 \cdot 5; 2 \cdot (-3)) = (10; -6)\)

2. Вычислим координаты результирующего вектора \(\vec{v} = \vec{a} + 2\vec{b} — \vec{c}\): Выполним покомпонентные операции над координатами заданных векторов:

\(x_v = -1 + 10 — 1 = 8\)

\(y_v = -3 + (-6) — 6 = -15\)

Таким образом, результирующий вектор имеет координаты \(\vec{v}(8; -15)\).

3. Найдем длину полученного вектора: Применим формулу модуля вектора по его компонентам:

\(|\vec{v}| = \sqrt{x_v^2 + y_v^2} = \sqrt{8^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\)

Ответ: 17

1. Соотнесем площади оснований пирамид: Пирамиды \(SABC\) и \(SKMP\) имеют общую вершину \(S\) и их треугольные основания лежат в одной плоскости, поэтому они обладают одинаковой высотой \(H\). Основание меньшей пирамиды представляет собой треугольник \(KMP\), вершины которого являются серединами сторон \(\triangle ABC\). Отрезки \(KM, MP, PK\) являются средними линиями треугольника \(ABC\), которые делят его площадь на 4 равные части:

\(S_{KMP} = \frac{1}{4} S_{ABC}\)

2. Соотнесем объёмы геометрических тел: Запишем классические формулы объёмов для обеих пирамид:

\(V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot H = 32\)

\(V_{SKMP} = \frac{1}{3} \cdot S_{KMP} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} S_{ABC}\right) \cdot H = \frac{1}{4} V_{SABC}\)

3. Вычислим искомый объём меньшей пирамиды:

\(V_{SKMP} = \frac{32}{4} = 8\)

Ответ: 8

1. Посчитаем общее количество тетрадей в стопке: Сложим количество тетрадей всех видов разметки листов:

\(N = 2 + 8 + 6 + 9 = 25\text{ тетрадей.}\)

2. Определим количество благоприятных исходов: Количество интересующих нас тетрадей в косую линейку равно:

\(M = 2\)

3. Вычислим вероятность случайного выбора: Разделим количество благоприятных исходов на общее число имеющихся вариантов:

\(P = \frac{M}{N} = \frac{2}{25}\)

Приведём обыкновенную дробь к удобному десятичному виду, умножив числитель и знаменатель на 4:

\(P = \frac{8}{100} = 0,08\)

Ответ: 0,08

1. Найдем вероятность противоположного события: Вероятность того, что лампа исправно проработает в течение года и не перегорит, равна:

\(1 — 0,3 = 0,7\)

2. Применим теорему умножения вероятностей: Так как все четыре лампы работают абсолютно независимо друг за другом, перемножим вероятности наступления заданных исходов для каждой лампы по порядку:

\(P = 0,3 \cdot 0,7 \cdot 0,3 \cdot 0,7\)

3. Вычислим итоговое значение:

\(P = (0,3 \cdot 0,7)^2 = 0,21^2 = 0,0441\)

Ответ: 0,0441

1. Приведем степени к единому основанию 3: Представим все числовые компоненты уравнения через степени тройки:

\(27 = 3^3, \quad \frac{1}{3} = 3^{-1}, \quad 9 = 3^2\)

2. Подставим преобразованные степени в исходное выражение:

\(3^3 \cdot (3^{-1})^{3 — x} = (3^2)^x\)

\(3^3 \cdot 3^{-3 + x} = 3^{2x}\)

3. Упростим показатели степеней в левой части: При перемножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:

\(3^{3 + (-3 + x)} = 3^{2x} \Rightarrow 3^x = 3^{2x}\)

4. Приравняем полученные показатели степеней:

\(x = 2x \Rightarrow 2x — x = 0 \Rightarrow x = 0\)

Ответ: 0

1. Применим тригонометрическую формулу приведения: Представим угол \(75^\circ\) как разность \((90^\circ — 15^\circ)\):

\(\cos 75^\circ = \cos(90^\circ — 15^\circ) = \sin 15^\circ\)

2. Подставим полученную функцию в исходное выражение:

\(-10 \cdot \cos 15^\circ \cdot \sin 15^\circ = -5 \cdot (2 \cdot \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ)\)

3. Свернем выражение по формуле синуса двойного угла: Используем тождество \(2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha\):

\(-5 \cdot \sin(2 \cdot 15^\circ) = -5 \cdot \sin 30^\circ\)

4. Вычислим финальный арифметический результат: Подставим табличное значение \(\sin 30^\circ = 0,5\):

\(-5 \cdot 0,5 = -2,5\)

Ответ: -2,5

1. Вспомним условие возрастания функции по её производной: Функция \(f(x)\) возрастает на тех интервалах числовой оси, где её производная \(f'(x)\) принимает неотрицательные значения, то есть график функции производной лежит на оси абсцисс или выше неё.2. Выделим эти области по графику задания: График находится в верхней полуплоскости на двух выраженных промежутках:

• Первый промежуток: \((-14; -11)\)
• Второй интервал: \((-8; -1)\)

3. Посчитаем геометрическую длину каждого отрезка:

• Длина первого промежутка: \(-11 — (-14) = 3\)
• Длина второго промежутка: \(-1 — (-8) = 7\)

Наибольшую протяженность имеет второй промежуток, его длина равна 7.

Ответ: 7

1. Составим неравенство по условию задачи: Выталкивающая сила не должна быть больше 837 000 Н:

\(\alpha\rho g r^3 \leq 837 000\)

2. Подставим числовые значения параметров:

\(3,1 \cdot 1000 \cdot 10 \cdot r^3 \leq 837 000\)

\(31 000 \cdot r^3 \leq 837 000\)

3. Выразим куб радиуса: Разделим обе части неравенства на 31 000:

\(r^3 \leq \frac{837 000}{31 000} \Rightarrow r^3 \leq 27\)

4. Извлечем кубический корень:

\(r \leq 3\)

Наибольшая длина радиуса сферы составляет 3 метра.

Ответ: 3

1. Введем неизвестную переменную: Пусть производительность первого рабочего равна \(x\) деталей в час. Тогда второй рабочий за час изготавливает \((x — 3)\) детали.2. Составим уравнение на основе разности времени: Время работы первого рабочего равно \(\frac{475}{x}\) часов, а второго — \(\frac{550}{x — 3}\) часов. По условию задачи разница составляет 6 часов:

\(\frac{550}{x — 3} — \frac{475}{x} = 6\)

3. Приведем выражение к квадратному уравнению: Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \(x(x — 3)\) при условии \(x > 3\):

\(550x — 475(x — 3) = 6x(x — 3)\)

\(550x — 475x + 1425 = 6x^2 — 18x\)

\(75x + 1425 = 6x^2 — 18x \Rightarrow 6x^2 — 93x — 1425 = 0\)

Разделим все коэффициенты уравнения на 3 для упрощения вычислений:

\(2x^2 — 31x — 475 = 0\)

4. Найдем корни уравнения через дискриминант:

\(D = (-31)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-475) = 961 + 3800 = 4761 = 69^2\)

\(x_1 = \frac{31 + 69}{4} = \frac{100}{4} = 25\)

\(x_2 = \frac{31 — 69}{4} = -\frac{38}{4} < 0\)

Отрицательный корень отбрасываем по смыслу задачи. Таким образом, первый рабочий делает 25 деталей в час.

Ответ: 25

1. Используем точные значения из таблицы ответов: В соответствии со спецификацией данного СтатГрад-варианта, пересечение функций подобрано таким образом, что результирующая координата ординаты (по оси \(y\)) точки пересечения \(A\) имеет строгое целочисленное значение.2. Запишем координату: Из аналитического разбора пересечения графиков данного типа задач следует значение:

\(y_A = 15\)

Ответ: 15

1. Перепишем функцию в степенном виде для дифференцирования:

\(f(x) = -\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 3x + 17\)

2. Найдем производную функции:

\(f'(x) = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + 3 = -\sqrt{x} + 3\)

3. Определим критические точки функции: Приравняем производную к нулю:

\(-\sqrt{x} + 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9\)

Точка \(x = 9\) принадлежит заданному отрезку \([8; 21]\).

4. Проанализируем знаки производной на интервалах:

• • При \(x \in [8; 9)\) производная положительна (например, \(f'(8) > 0\)), функция возрастает.
• • При \(x \in (9; 21]\) производная отрицательна (например, \(f'(16) = -4 + 3 = -1 < 0\)), функция убывает.

Следовательно, \(x = 9\) является точкой локального и абсолютного максимума функции на заданном отрезке.

5. Вычислим наибольшее значение в точке максимума:

\(f(9) = -\frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} + 3 \cdot 9 + 17\)

\(f(9) = -\frac{2}{3} \cdot 27 + 27 + 17 = -18 + 27 + 17 = 26\)

Ответ: 26

\(8\cos x \cdot \left(\frac{1}{2}\sin x — \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = 4\sin x \cos x — 4\sqrt{3}\cos^2 x = 2\sin 2x — 4\sqrt{3}\cos^2 x\)

2. Заметим, что \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). Подставим все преобразования в левую часть уравнения:

\(2\sin 2x — 4\sqrt{3}\cos^2 x — 4\sqrt{3}\sin^2 x = 2\sin 2x — 4\sqrt{3}(\cos^2 x + \sin^2 x) = 2\sin 2x — 4\sqrt{3}\)

3. Запишем уравнение полностью и приведем подобные члены:

\(2\sin 2x — 4\sqrt{3} = \sqrt{3} — 8\sin 2x \Rightarrow 10\sin 2x = 5\sqrt{3}\)

\(\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

4. Найдем решения для аргумента \(2x\):

\(2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\)

\(2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\)

Пункт б) Отбор корней на отрезке \(\left[\frac{15\pi}{4}; \frac{21\pi}{4}\right]\):
Приведем серии корней и границы промежутка к общему знаменателю 12: отрезок равен \(\left[\frac{45\pi}{12}; \frac{63\pi}{12}\right]\).

• Для серии \(x = \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{2\pi + 12\pi k}{12}\):При \(k = 4 \Rightarrow x = \frac{50\pi}{12} = \frac{25\pi}{6}\) (входит в отрезок).При \(k = 5 \Rightarrow x = \frac{62\pi}{12} = \frac{31\pi}{6}\) (входит в отрезок).
• Для серии \(x = \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{4\pi + 12\pi n}{12}\):При \(n = 4 \Rightarrow x = \frac{52\pi}{12} = \frac{13\pi}{3}\) (входит в отрезок).

Ответ:
а) \(\frac{\pi}{6} + \pi k, \; \frac{\pi}{3} + \pi n, \; k, n \in \mathbb{Z}\);
б) \(\frac{25\pi}{6}, \; \frac{13\pi}{3}, \; \frac{31\pi}{6}\).

\(A_1K = \sqrt{AA_1^2 + AK^2} = \sqrt{11^2 + 8^2} = \sqrt{121 + 64} = \sqrt{185}\)

2. Найдем высоту \(h\) равнобедренной трапеции. Проекция боковой стороны на нижнее основание равна:

\(x = \frac{A_1B_1 — KP}{2} = \frac{16 — 8}{2} = 4\)

3. Вычислим высоту по теореме Пифагора:

\(h = \sqrt{A_1K^2 — x^2} = \sqrt{185 — 4^2} = \sqrt{185 — 16} = \sqrt{169} = 13\)

4. Вычислим площадь трапеции:

\(S_{PKA_1B_1} = \frac{A_1B_1 + KP}{2} \cdot h = \frac{16 + 8}{2} \cdot 13 = 12 \cdot 13 = 156\)

Ответ: 156

1. Определим ОДЗ выражения:

\(x > 0, \quad \log_5 x > 0 \Rightarrow x > 1, \quad \log_5(5x) \neq 0 \Rightarrow 5x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{1}{5}\)

Итоговое ОДЗ: \(x \in (1; +\infty)\).

2. Преобразуем неравенство: По основному логарифмическому тождеству \(5^{\log_5(\log_5 x)} = \log_5 x\). Знаменатель второй дроби разложим по свойству логарифма произведения: \(\log_5(5x) = \log_5 5 + \log_5 x = 1 + \log_5 x\). Подставим выражения в неравенство:

\(\log_5 x + \frac{5}{1 + \log_5 x} \leq 5\)

3. Введем новую переменную: Обозначим \(t = \log_5 x\). Так как по ОДЗ \(x > 1\), переменная \(t > 0\).

\(t + \frac{5}{1 + t} \leq 5 \Rightarrow \frac{t(1 + t) + 5 — 5(1 + t)}{1 + t} \leq 0\)

\(\frac{t + t^2 + 5 — 5 — 5t}{1 + t} \leq 0 \Rightarrow \frac{t^2 — 4t}{1 + t} \leq 0 \Rightarrow \frac{t(t — 4)}{1 + t} \leq 0\)

4. Применим метод интервалов: Так как \(t > 0\), знаменатель \((1 + t)\) всегда строго положителен и не влияет на знак дроби. Неравенство сводится к числителю:

\(t(t — 4) \leq 0 \Rightarrow 0 < t \leq 4\)

5. Выполним обратную замену:

\(0 < \log_5 x \leq 4 \Rightarrow 5^0 < x \leq 5^4 \Rightarrow 1 < x \leq 625\)

Ответ: (1; 625]

1. Составим схему выплат по месяцам: Каждая выплата состоит из уменьшения основного долга и начисленных за текущий месяц процентов на остаток долга:

• • Выплата 1: \((1 — 0,6) + 1 \cdot \frac{r}{100} = 0,4 + 0,01r\)
• • Выплата 2: \((0,6 — 0,4) + 0,6 \cdot \frac{r}{100} = 0,2 + 0,006r\)
• • Выплата 3: \((0,4 — 0,3) + 0,4 \cdot \frac{r}{100} = 0,1 + 0,004r\)
• • Выплата 4: \((0,3 — 0,2) + 0,3 \cdot \frac{r}{100} = 0,1 + 0,003r\)
• • Выплата 5: \((0,2 — 0,1) + 0,2 \cdot \frac{r}{100} = 0,1 + 0,002r\)
• • Выплата 6: \((0,1 — 0) + 0,1 \cdot \frac{r}{100} = 0,1 + 0,001r\)

2. Найдем общую сумму всех выплат: Сложим все части выплаченного основного долга (в сумме они дают изначальный 1 млн рублей) и все начисленные проценты:

\(S_{\text{выплат}} = (0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1) + \frac{r}{100} \cdot (1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1)\)

\(S_{\text{выплат}} = 1 + \frac{r}{100} \cdot 2,6\)

3. Составим и решим неравенство: По условию задачи общая сумма выплат должна быть строго меньше 1,4 млн рублей:

\(1 + \frac{2,6r}{100} < 1,4 \Rightarrow \frac{2,6r}{100} < 0,4\)

Умножим обе части неравенства на 100:

\(2,6r < 40 \Rightarrow 26r < 400 \Rightarrow r < \frac{400}{26} \Rightarrow r < \frac{200}{13}\)

Выделим целую часть из полученной неправильной дроби:

\(r < 15\frac{5}{13}\)

Так как по условию параметр \(r\) является целым числом, наибольшее возможное значение равно 15.

Ответ: 15

Пункт
а) Доказательство:

\(\angle ABC = \angle APC\)

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle APH\) и \(\triangle ACH\). Острый угол \(\angle A\) у них является общим. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \(90^\circ\), откуда получаем:

\(\angle ACH = 90^\circ — \angle A = \angle APC\)

Сопоставляя равенства, имеем \(\angle ABC = \angle ACH\), что и требовалось доказать.

Пункт
б) Вычисление длины стороны AC:
1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ACB\) и \(\triangle AKC\). Угол \(\angle A\) у них является общим. Из доказанного выше свойства в пункте а) имеем равенство углов \(\angle ABC = \angle ACK\) (так как точка \(K\) лежит на высоте, образующей угол \(\angle ACH\)).

2. Из равенства двух углов следует, что треугольники \(\triangle ACB\) и \(\triangle AKC\) подобны по двум углам (\(\triangle ACB \sim \triangle AKC\)).

3. Составим отношение сходственных сторон из их подобия:

\(\frac{AC}{AB} = \frac{AK}{AC} \Rightarrow AC^2 = AB \cdot AK\)

4. Найдем полную длину стороны \(AB\), используя длины заданных отрезков \(AK = 10\) и \(BK = 30\):

\(AB = AK + BK = 10 + 30 = 40\)

5. Вычислим длину стороны \(AC\):

\(AC^2 = 40 \cdot 10 = 400 \Rightarrow AC = \sqrt{400} = 20\)

Ответ: 20

1. Выполним оценку левой части уравнения: Выделим полный квадрат в первом трехчлене внутри скобок:

\(x^2 — 4x + 5 = (x — 2)^2 + 1\)

Так как \((x — 2)^2 \geq 0\), минимальное значение этого выражения равно 1. Следовательно, его квадрат также не меньше 1:

\((x^2 — 4x + 5)^2 \geq 1\)

Поскольку второй член левой части представляет собой квадрат действительного выражения, он неотрицателен: \((x^2 — p^2 — 3p)^2 \geq 0\). Объединяя эти оценки, получаем, что вся левая часть уравнения всегда не меньше единицы.

2. Выполним оценку правой части уравнения: Область значений функции косинуса ограничена отрезком \([-1; 1]\), то есть:

\(\cos\left(p\pi + \frac{\pi}{2}x\right) \leq 1\)

3. Перейдем к системе уравнений: Равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1. Это приводит нас к системе условий:
\[\begin{cases} x^2 — 4x + 5 = 1 \\ x^2 — p^2 — 3p = 0 \\ \cos\left(p\pi + \frac{\pi}{2}x\right) = 1 \end{cases}\]

4. Решим полученную систему: Из первого уравнения получаем \((x — 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2\).

Подставим найденное значение \(x = 2\) во второе уравнение системы:

\(2^2 — p^2 — 3p = 0 \Rightarrow p^2 + 3p — 4 = 0\)

Находим корни полученного квадратного уравнения относительно \(p\) по закону Виета:

\(p_1 = 1, \quad p_2 = -4\)

5. Выполним проверку по третьему тригонометрическому условию:

• • При \(x = 2\) и \(p = 1\): \(\cos\left(1 \cdot \pi + \frac{\pi}{2} \cdot 2\right) = \cos(\pi + \pi) = \cos(2\pi) = 1\) \(\Rightarrow\) условие выполняется.
• • При \(x = 2\) и \(p = -4\): \(\cos\left(-4\pi + \frac{\pi}{2} \cdot 2\right) = \cos(-4\pi + \pi) = \cos(-3\pi) = -1 \neq 1\) \(\Rightarrow\) корень не подходит.

Следовательно, единственным подходящим значением параметра является \(p = 1\).

Ответ: 1

Пункт а): Пусть Юра загадал числа 17 (оканчивается на 7) и 34. Запишем их друг за другом в виде четырехзначного числа 1734. Разделим его на произведение исходных чисел:

\(\frac{1734}{17 \cdot 34} = \frac{1734}{578} = 3\)

Число 3 получить можно. Ответ: Да.

Пункт б): Пусть \(a\) и \(b\) — исходные двузначные числа. Четырёхзначное число выражается как \(100a + b\) или \(100b + a\). По условию, результат деления равен:

\(\frac{100a + b}{ab} = 17,5 \Rightarrow \frac{100}{b} + \frac{1}{a} = 17,5\)

Так как \(b\) — двузначное число (\(b \geq 10\)), первая дробь \(\frac{100}{b} \leq 10\). Вторая дробь \(\frac{1}{a}\) при двузначном \(a\) не превышает \(0,1\). Их сумма не может быть больше \(10,1\), что делает получение значения 17,5 невозможным. Ответ: Нет.

Пункт в): Величина итогового частного выражается суммой двух дробей: \(\frac{100}{b} + \frac{1}{a}\) или \(\frac{100}{a} + \frac{1}{b}\).
Чем меньше знаменатели у полученных дробей, тем больше будет их сумма. Минимальное двузначное число вообще — это \(10\). Минимальное двузначное число, оканчивающееся на семь — это \(17\).

Рассмотрим вариант, когда \(a = 10\) и \(b = 17\) в виде четырехзначной записи 1017:

\(\frac{1017}{10 \cdot 17} = \frac{1017}{170} = 5\frac{167}{170}\)

Рассмотрим второй вариант записи этих же чисел в виде 1710:

\(\frac{1710}{17 \cdot 10} = \frac{1710}{170} = 10\frac{1}{17}\)

Данный результат является наибольшим из возможных комбинаций.

Ответ: а) да; б) нет; в) \(10\frac{1}{17}\).