Тренировочный вариант МА2500310 с ответами и решениями ЕГЭ по математике (профиль) в 2026 году

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC: Так как \(CH\) — высота, угол \(\angle AHC = 90^\circ\). Известно, что \(\angle A = 48^\circ\). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\), поэтому:

\(\angle ACH = 90^\circ — \angle A = 90^\circ — 48^\circ = 42^\circ\)

2. Определим взаимное расположение элементов:

По условию задачи угол \(B\) является тупым. Это значит, что высота \(CH\), проведённая к прямой \(AB\), лежит вне треугольника \(ABC\) (на продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\)). Таким образом, луч \(CB\) проходит внутри угла \(\angle ACH\), разделяя его на две части:

\(\angle ACH = \angle ACB + \angle BCH\)

3. Находим угол ACB:

Нам дан угол \(\angle BCH = 20^\circ\). Подставим значения:

\(\angle ACB = \angle ACH — \angle BCH = 42^\circ — 20^\circ = 22^\circ\)

Ответ: 22

1. Находим координаты результирующего вектора \(\vec{a} + \vec{b}\): Для сложения векторов сложим их соответствующие координаты:

\(\vec{a} + \vec{b} = (-19 + 13; 6 + (-2)) = (-6; 4)\)

2. Вычисляем скалярное произведение полученного вектора на вектор \(\vec{c}\):

Скалярное произведение векторов находится как сумма произведений их координат по осям \(x\) и \(y\):

\((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (-6) \cdot (-2) + 4 \cdot (-6)\)

\((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 12 — 24 = -12\)

Ответ: -12

1. Составим уравнение изменения объёма: Пусть первоначальная длина ребра куба равна \(x\). Тогда его объём составляет \(V_1 = x^3\).

После увеличения ребра на 2 новая длина составит \(x + 2\), а новый объём будет равен \(V_2 = (x + 2)^3\).

Разность объёмов по условию равна 728:

\((x + 2)^3 — x^3 = 728\)

2. Раскроем скобки с помощью формулы куба суммы:

\((x^3 + 6x^2 + 12x + 8) — x^3 = 728\)

\(6x^2 + 12x + 8 = 728\)

\(6x^2 + 12x — 720 = 0\)

3. Разделим все коэффициенты уравнения на 6:

\(x^2 + 2x — 120 = 0\)

4. Найдем корни уравнения:

По теореме Виета:

• • \(x_1 + x_2 = -2\)
• • \(x_1 \cdot x_2 = -120\)

Корнями являются \(x_1 = 10\) и \(x_2 = -12\).

Так как длина геометрического ребра не может быть отрицательной, корень \(-12\) исключается. Исходное ребро куба равно 10.

Ответ: 10

1. Определим количество жёлтых машин: Из общего количества автомобилей вычтем количество чёрных:

\(50 — 8 = 42\text{ машины}\)

2. Посчитаем вероятность по формуле:

Вероятность случайного события равна отношению количества благоприятных исходов к числу всех возможных исходов:

\(P = \frac{42}{50}\)

Приведём обыкновенную дробь к десятичному виду, умножив её числитель и знаменатель на 2:

\(P = \frac{84}{100} = 0,84\)

Ответ: 0,84

1. Определим характер событий: Пусть событие \(A\) — выпал вопрос по теме «Внешние углы» (\(P(A) = 0,1\)), а событие \(B\) — по теме «Вписанная окружность» (\(P(B) = 0,2\)).

Так как в списке отсутствуют вопросы, объединяющие обе темы одновременно, данные события являются несовместными.

2. Применим теорему сложения:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей:

\(P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,1 + 0,2 = 0,3\)

Ответ: 0,3

1. Преобразуем число 1 в логарифм: Запишем единицу как логарифм по основанию 5, то есть \(1 = \log_5 5\):

\(\log_5(2 + 5x) = \log_5(1 — 5x) + \log_5 5\)

2. Применим свойство суммы логарифмов:

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов:

\(\log_5(2 + 5x) = \log_5(5 \cdot (1 — 5x))\)

3. Потенцируем уравнение (переходим к аргументам):

\(2 + 5x = 5(1 — 5x)\)

\(2 + 5x = 5 — 25x\)

4. Решим полученное линейное уравнение:

Перенесем слагаемые с переменной \(x\) влево, а числа — вправо:

\(5x + 25x = 5 — 2, \quad 30x = 3\)

\(x = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0,1\)

5. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):

Подставим \(x = 0,1\) в исходные подлогарифмические выражения:

• • \(2 + 5 \cdot 0,1 = 2,5 > 0\) (верно)
• • \(1 — 5 \cdot 0,1 = 0,5 > 0\) (верно)

Ответ: 0,1

1. Раскроем скобки с помощью формулы разности квадратов \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\):

\((9x — 7)(9x + 7) = (9x)^2 — 7^2 = 81x^2 — 49\)

2. Подставим этот результат в исходное выражение и упростим его:

\(81x^2 — 49 — 81x^2 — 8x — 6\)

Слагаемые \(81x^2\) и \(-81x^2\) взаимно уничтожаются:

\(-8x — 49 — 6 = -8x — 55\)

3. Вычислим итоговое значение подстановкой \(x = 50\):

\(-8 \cdot 50 — 55 = -400 — 55 = -455\)

Ответ: -455

1. Понятие возрастания функции по графику: Функция возрастает на тех интервалах, где её график при движении слева направо направлен вверх (поднимается).

2. Исследуем положение каждой точки:

• • Точка \(x_1\) лежит на участке убывания (график идёт вниз).
• • Точка \(x_2\) находится на участке убывания.
• • Точка \(x_3\) находится в локальном минимуме (впадине), где производная меняет знак.
• • Точки \(x_4\) и \(x_5\) лежат на подъёме графика (функция строго идёт вверх).
• • Точка \(x_6\) расположена на вершине — в точке локального максимума.

Таким образом, промежуткам возрастания функции принадлежат ровно 2 точки (\(x_4\) и \(x_5\)).

Ответ: 2

1. Составим неравенство по условию задачи: Амплитуда \(A(\omega)\) должна превышать \(A_0\) не более чем на \(\frac{1}{3}A_0\). Это означает следующее соотношение:

\(A(\omega) \leq A_0 + \frac{1}{3}A_0 \Rightarrow A(\omega) \leq \frac{4}{3}A_0\)

2. Раскроем знак модуля:

По условию искомая частота меньше резонансной (\(\omega < \omega_p\)), поэтому выражение под знаком модуля положительно: \(|\omega_p^2 — \omega^2| = \omega_p^2 — \omega^2\). Подставим формулу амплитуды в неравенство:

\(\frac{A_0 \omega_p^2}{\omega_p^2 — \omega^2} \leq \frac{4}{3}A_0\)

3. Преобразуем полученное неравенство:

Разделим обе части на положительный параметр \(A_0\) и перевернем дроби, поменяв знак неравенства на противоположный:

\(\frac{\omega_p^2 — \omega^2}{\omega_p^2} \geq \frac{3}{4}\)

1 — \frac{\omega^2}{\omega_p^2} \geq \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{\omega^2}{\omega_p^2} \leq \frac{1}{4}

4. Извлечем квадратный корень (учитывая, что \(\omega > 0\)):

\(\frac{\omega}{\omega_p} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow \omega \leq \frac{\omega_p}{2}\)

5. Вычислим максимальное значение:

Подставим заданную резонансную частоту \(\omega_p = 300\):

\(\omega_{max} = \frac{300}{2} = 150\,с^{-1}\)

Ответ: 150

1. Введем переменную: Пусть скорость первого велосипедиста равна \(v\) км/ч. Поскольку он двигался быстрее, скорость второго велосипедиста равна \((v — 6)\) км/ч.

2. Составим уравнение по времени:

Первый велосипедист затратил на весь путь \(\frac{135}{v}\) часов, а второй — \(\frac{135}{v — 6}\) часов. Разница во времени их движения составляет 6 часов:

\(\frac{135}{v — 6} — \frac{135}{v} = 6\)

3. Упростим и решим уравнение:

Разделим обе части уравнения на 3:

\(\frac{45}{v — 6} — \frac{45}{v} = 2\)

Приведем левую часть к общему знаменателю:

\(\frac{45v — 45(v — 6)}{v(v — 6)} = 2 \Rightarrow \frac{270}{v(v — 6)} = 2\)

Разделим уравнение на 2:

\(v(v — 6) = 135 \Rightarrow v^2 — 6v — 135 = 0\)

4. Найдем корни квадратного уравнения:

По теореме Виета:

• • \(v_1 + v_2 = 6\)
• • \(v_1 \cdot v_2 = -135\)

Подбором находим корни: \(v_1 = 15\) и \(v_2 = -9\).

Так как скорость движения должна выражаться положительным числом, корень \(-9\) отбрасываем. Скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч.

Ответ: 15

1. Определим уравнение гиперболы \(f(x)\): По графику найдем координаты четко видимой точки пересечения сетки, принадлежащей гиперболе: это точка \(A(3; -2)\). Подставим её координаты в формулу функции:

\(-2 = \frac{k}{3} \Rightarrow k = -6\)

Таким образом, функция гиперболы задается формулой: \(f(x) = -\frac{6}{x}\).

2. Определим уравнение прямой линии \(g(x)\):

Прямая проходит через точку \(A(3; -2)\). Найдем по сетке ещё одну целочисленную точку на прямой, например, \((1; -3)\). Составим систему линейных уравнений:

• • \(3a + b = -2\)
• • \(1a + b = -3\)

Вычтем второе уравнение из первого: \(2a = 1 \Rightarrow a = 0,5\).

Подставим значение \(a\) во второе уравнение: \(0,5 + b = -3 \Rightarrow b = -3,5\).

Уравнение прямой линии: \(g(x) = 0,5x — 3,5\).

3. Найдем координаты точек пересечения:

Приравняем аналитические выражения функций:

\(-\frac{6}{x} = 0,5x — 3,5\)

Умножим обе части уравнения на \(2x\) (при условии \(x \neq 0\)):

\(-12 = x^2 — 7x \Rightarrow x^2 — 7x + 12 = 0\)

По теореме Виета находим корни: \(x_1 = 3\) (это абсцисса точки \(A\)) и \(x_2 = 4\) (абсцисса точки \(B\)).

4. Вычислим ординату (координату \(y\)) точки \(B\):

Подставим найденную абсциссу \(x = 4\) в уравнение гиперболы:

\(y_B = f(4) = -\frac{6}{4} = -1,5\)

Ответ: -1,5

1. Проанализируем вид функции: Функция представляет собой квадратный корень из квадратного трёхчлена. Так как функция \(f(t) = \sqrt{t}\) является монотонно возрастающей на всей своей области определения, свое наибольшее значение она принимает в той же точке, в которой подкоренное выражение \(g(x) = -x^2 — 30x + 31\) достигает своего максимума.

2. Найдем точку максимума подкоренного выражения:

График функции \(g(x) = -x^2 — 30x + 31\) — это парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение параболы находится в её вершине:

\(x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-30}{2 \cdot (-1)} = -15\)

3. Вычислим наибольшее значение подкоренного выражения:

\(g(-15) = -(-15)^2 — 30 \cdot (-15) + 31\)

\(g(-15) = -225 + 450 + 31 = 256\)

4. Вычислим наибольшее значение исходной функции \(y\):

\(y_{max} = \sqrt{256} = 16\)

Ответ: 16

\(2\cos^2 x — \sin x — 1 = 0\)

2. Выразим косинус через синус с помощью основного тригонометрического тождества \(\cos^2 x = 1 — \sin^2 x\):

\(2(1 — \sin^2 x) — \sin x — 1 = 0 \Rightarrow 2 — 2\sin^2 x — \sin x — 1 = 0\)

\(-2\sin^2 x — \sin x + 1 = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x + \sin x — 1 = 0\)

3. Сделаем замену переменной \(t = \sin x\), где \(|t| \le 1\):

\(2t^2 + t — 1 = 0\)

Находим корни через дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\).

\(t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-1 — 3}{4} = -1\)

Оба значения подходят под ограничение \(|t| \le 1\).

4. Выполним обратную замену:

• • Если \(\sin x = \frac{1}{2}\), то \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\).
• • Если \(\sin x = -1\), то \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m\), где \(m \in \mathbb{Z}\).

Пункт б) Отбор корней на отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\):
Оценим корни для каждой серии:

• • Для серии \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\): при \(k = 1\) получаем \(\frac{13\pi}{6} < \frac{5\pi}{2}\). При \(k = 2\) получаем \(x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} > 4\pi\). В данном промежутке корней нет.
• • Для серии \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\): при \(n = 1\) получаем \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}\). Так как \(\frac{15\pi}{6} \le \frac{17\pi}{6} \le \frac{24\pi}{6}\), этот корень подходит.
• • Для серии \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m\): при \(m = 2\) получаем \(x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2}\). Так как \(\frac{5\pi}{2} \le \frac{7\pi}{2} \le \frac{8\pi}{2}\), этот корень подходит.

Таким образом, на заданном отрезке лежат корни \(\frac{17\pi}{6}\) и \(\frac{7\pi}{2}\).

Ответ:
а) \(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \; -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, \; k, n, m \in \mathbb{Z}\);
б) \(\frac{17\pi}{6}, \; \frac{7\pi}{2}\).

\(\frac{A_1K}{B_1K} = \frac{A_1E}{B_1F} = \frac{12}{6} = 2 \Rightarrow A_1K = 2B_1K\)

Так как \(A_1K = A_1B_1 + B_1K\), имеем \(B_1K = A_1B_1 = 5\sqrt{2}\). Значит, \(A_1K = 10\sqrt{2}\).

3. Прямая \(KD_1\) лежит в плоскости верхней грани \(A_1B_1C_1D_1\) и пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(M\).
Из подобия треугольников \(\triangle KB_1M\) и \(\triangle KA_1D_1\) (поскольку \(B_1M \parallel A_1D_1\)):

\(\frac{B_1M}{A_1D_1} = \frac{B_1K}{A_1K} = \frac{5\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\)

Отсюда \(B_1M = \frac{1}{2} A_1D_1 = \frac{1}{2} B_1C_1\). То есть точка \(M\) — середина \(B_1C_1\), что и требовалось доказать.

Пункт б) Нахождение угла:
1. Линией пересечения плоскости \(EFD_1\) и плоскости грани \(AA_1B_1B\) является прямая \(EK\).
2. Ортогональной проекцией точки \(D_1\) на плоскость \(AA_1B_1B\) является точка \(A_1\) (так как \(D_1A_1 \perp (AA_1B_1)\)).
3. Проведём высоту \(A_1H \perp EK\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle A_1EK\) (\(\angle EA_1K = 90^\circ\)). По теореме о трёх перпендикулярах \(D_1H \perp EK\). Значит, \(\angle D_1HA_1\) — линейный угол искомого двугранного угла.
4. Катеты \(\triangle A_1EK\): \(A_1E = 12\), \(A_1K = 10\sqrt{2}\). Гипотенуза \(EK = \sqrt{12^2 + (10\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 + 200} = \sqrt{344} = 2\sqrt{86}\).

\(A_1H = \frac{A_1E \cdot A_1K}{EK} = \frac{12 \cdot 10\sqrt{2}}{2\sqrt{86}} = \frac{60\sqrt{2}}{\sqrt{86}} = \frac{60}{\sqrt{43}}\)

5. Из прямоугольного треугольника \(\triangle D_1A_1H\) (\(\angle D_1A_1H = 90^\circ\), \(D_1A_1 = AD = 12\)):

\(\tan \angle D_1HA_1 = \frac{D_1A_1}{A_1H} = \frac{12}{\frac{60}{\sqrt{43}}} = \frac{\sqrt{43}}{5}\)

Ответ: \(\arctan \frac{\sqrt{43}}{5}\)

\(t^2 — t — 2 \ge 0\)

2. Решим квадратное неравенство:
Корни уравнения \(t^2 — t — 2 = 0\) по теореме Виета равны: \(t_1 = 2\) и \(t_2 = -1\).
Решением неравенства являются промежутки \(t \le -1\) или \(t \ge 2\).
Учитывая условие \(t > 0\), первая часть не имеет решений. Остаётся только:

\(t \ge 2\)

3. Выполним обратную замену:

\(16^{\frac{1}{x} — 1} \ge 2 \Rightarrow \left(2^4\right)^{\frac{1}{x} — 1} \ge 2^1 \Rightarrow 2^{4\left(\frac{1}{x} — 1\right)} \ge 2^1\)

Поскольку основание степени \(2 > 1\), переходим к сравнению показателей:

\(4\left(\frac{1}{x} — 1\right) \ge 1 \Rightarrow \frac{4}{x} — 4 \ge 1 \Rightarrow \frac{4}{x} — 5 \ge 0\)

4. Решим рациональное неравенство методом интервалов:

\(\frac{4 — 5x}{x} \ge 0\)

Нули числителя: \(4 — 5x = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{5} = 0,8\). Нули знаменателя: \(x = 0\).
Распределим знаки выражения на интервалах:

• На промежутке \((0,8; +\infty)\) общий знак выражения — минус.
• На промежутке \((0; 0,8]\) общий знак выражения — плюс.
• На промежутке \((-\infty; 0)\) общий знак выражения — минус.

Нам подходит область со знаком плюс: \(0 < x \le 0,8\).

Ответ: \((0; 0,8]\)

\(\Delta = \frac{400}{10} = 40\text{ тыс. рублей.}\)

Остаток долга на 15-е число каждого месяца составлял:

• 0-й месяц: 600
• 1-й месяц: 560
• 2-й месяц: 520
• …
• 9-й месяц: 240
• 10-й месяц: 200
• 11-й месяц: 0

2. Определим величину начисленных процентов:
Общая сумма выплат равна сумме основного долга плюс все начисленные проценты:

\(\text{Проценты} = \text{Выплаты} — \text{Основной долг} = 732 — 600 = 132\text{ тыс. рублей.}\)

3. Выразим общую сумму процентов через \(r\):
Проценты начисляются каждый месяц на остаток долга прошлого месяца:

\(\text{Проценты} = \frac{r}{100} \cdot (600 + 560 + 520 + \dots + 240 + 200)\)

В скобках записана сумма арифметической прогрессии из 11 членов (от 600 до 200 с шагом -40):

\(S = \frac{600 + 200}{2} \cdot 11 = 400 \cdot 11 = 4400\)

4. Находим \(r\):

\(132 = \frac{r}{100} \cdot 4400 \Rightarrow 132 = 44 \cdot r\)

\(r = \frac{132}{44} = 3\)

Ответ: 3

\(\frac{BM}{OC} = \frac{BO}{NC} \Rightarrow BM \cdot NC = BO \cdot OC\)

2. Так как треугольник \(ABC\) является равносторонним со стороной 20, точка \(O\) делит основание \(BC\) пополам. Следовательно, \(BO = OC = 10\). Отсюда получаем:

\(BM \cdot NC = 10 \cdot 10 = 100\)

3. Из условия \(AN : NC = 2 : 3\) при общей длине стороны \(AC = 20\) находим:

\(NC = \frac{3}{5} \cdot 20 = 12\)

4. Подставим значение \(NC\) в полученное произведение:

\(BM \cdot 12 = 100 \Rightarrow BM = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}\)

5. Вычислим искомую длину отрезка \(AM\):

\(AM = AB — BM = 20 — \frac{25}{3} = \frac{60 — 25}{3} = \frac{35}{3} = 11\frac{2}{3}\)

Ответ: \(\frac{35}{3}\) (или \(11\frac{2}{3}\))

1. Определим ОДЗ для подкоренного выражения:

\(x — y + 4 \ge 0 \Rightarrow y \le x + 4\)

2. Разложим первое уравнение системы на случаи:
Произведение множителей равно нулю, когда:

• Либо \(x — y + 4 = 0 \Rightarrow y = x + 4\) (граница области определения).
• Либо \(x^2 — 3x — y + 4 = 0 \Rightarrow y = x^2 — 3x + 4\) при условии \(y \le x + 4\).

3. Подставим второе линейное уравнение \(y = 3x + a\):

• Пересечение с прямой: \(3x + a = x + 4 \Rightarrow 2x = 4 — a \Rightarrow x_1 = \frac{4 — a}{2}\).
  Данная прямая всегда пересекается в одной точке.
• Пересечение с параболой: \(3x + a = x^2 — 3x + 4 \Rightarrow x^2 — 6x + (4 — a) = 0\).
  Дискриминант этого квадратного уравнения: \(D = 36 — 4(4 — a) = 20 + 4a\).

4. Определим условия для получения ровно двух решений:
Так как прямая \(y = x + 4\) всегда даёт одно гарантированное решение, парабола должна добавить ровно одно дополнительное уникальное решение, лежащее в допустимой области \(y \le x + 4\).
Это возможно в случаях:

• Когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю (\(D = 0\)): \(20 + 4a = 0 \Rightarrow a = -5\). При этом корень параболы \(x = 3\) удовлетворяет ограничению ОДЗ.
• Когда уравнение параболы имеет два корня, но один из них выходит за рамки ОДЗ, а второй остается внутри. Граничные точки пересечения параболы и прямой соответствуют значениям \(x = 0\) и \(x = 4\). Из этого условия формируется интервал значений параметра.

Ответ: \(a = -5\), \(a \in (-12; 4]\)

Ответ: а) да; б) нет; в) 2.