Тренировочный вариант №332 с ответами профильного ЕГЭ по математике в 2026 году

1. Воспользуемся формулой площади треугольника через сторону и высоту:

\( S = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b \)

2. Из этого равенства следует соотношение: \( a \cdot h_a = b \cdot h_b \).
3. Подставим известные значения:

\( 9 \cdot 4 = 6 \cdot h_b \)

\( 36 = 6 \cdot h_b \)

4. Находим искомую высоту:

\( h_b = 36 : 6 = 6 \)

Ответ: 6

1. Определим координаты векторов по рисунку (считая по клеткам от начала к концу):

• • \( \vec{a} = \{1; 2\} \)
• • \( \vec{b} = \{2; -2\} \)
• • \( \vec{c} = \{4; -1\} \)

2. Найдем координаты результирующего вектора \( \vec{v} = \vec{a} + \vec{b} — \vec{c} \):

\( x_v = 1 + 2 — 4 = -1 \)

\( y_v = 2 + (-2) — (-1) = 1 \)

Получаем вектор \( \vec{v} = \{-1; 1\} \).
3. Вычисляем длину вектора:

\( |\vec{v}| = \sqrt{x_v^2 + y_v^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41 \)

Примечание: В задачах ЕГЭ ответ обычно целое число или конечная десятичная дробь. Проверьте координаты векторов на исходном чертеже.

Ответ: 1,41 (или по сетке чертежа)

\( k = \frac{1}{2} \)

3. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия:

\( \frac{S_{отс}}{S_{исх}} = k^2 \)

4. Подставляем значения:

\( S_{отс} = 12 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3 \)

Ответ: 3

1. Найдем количество участников в первых двух аудиториях:

\( 120 \cdot 2 = 240 \) (человек)

2. Найдем количество человек в запасной аудитории:

\( 250 — 240 = 10 \) (человек)

3. Вероятность того, что выбранный участник из запасной аудитории, равна отношению количества людей в ней к общему числу участников:

\( P = \frac{10}{250} = \frac{1}{25} \)

4. Переведем в десятичную дробь:

\( \frac{1}{25} = 0,04 \)

Ответ: 0,04

Для того чтобы синий фломастер появился первым именно третьим по счету, должна реализоваться цепочка событий: Красный \(\Rightarrow\) Красный \(\Rightarrow\) Синий.

1. Вероятность вытащить первым красный: \( P_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

2. Вероятность вытащить вторым красный (осталось 3 красных из 5 фломастеров): \( P_2 = \frac{3}{5} \).

3. Вероятность вытащить третьим синий (осталось 2 синих из 4 фломастеров): \( P_3 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

4. Искомая вероятность равна произведению этих вероятностей:

\( P = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 1}{3 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{1}{5} = 0,2 \)

Ответ: 0,2

1. Так как основания логарифмов одинаковы, переходим к равенству подлогарифмических выражений:

\( 9 + x = 7 \)

2. Решаем линейное уравнение:

\( x = 7 — 9 \)

\( x = -2 \)

3. Проверка ОДЗ: \( 9 + (-2) = 7 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: -2

1. Разложим \( 21^{0,6} \) на множители \( (3 \cdot 7)^{0,6} = 3^{0,6} \cdot 7^{0,6} \):

\( \frac{3^{0,6} \cdot 7^{0,6} \cdot 7^{1,4}}{3^{-0,4}} \)

2. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

• • Для основания 7: \( 7^{0,6} \cdot 7^{1,4} = 7^{0,6 + 1,4} = 7^2 = 49 \)
• • Для основания 3: \( \frac{3^{0,6}}{3^{-0,4}} = 3^{0,6 — (-0,4)} = 3^1 = 3 \)

3. Перемножаем результаты:

\( 3 \cdot 49 = 147 \)

Ответ: 147

• • \( x_1 \) — убывание;
• • \( x_2 \) — возрастание;
• • \( x_3 \) — возрастание;
• • \( x_4 \) — убывание;
• • \( x_5 \) — убывание;
• • \( x_6 \) — возрастание;
• • \( x_7 \) — убывание.

Таких точек четыре: \( x_1, x_4, x_5, x_7 \).

Ответ: 4

1. По условию, чтобы предохранитель не расплавился, сила тока должна удовлетворять неравенству:

\( I \leq 4 \)

2. Подставим в неравенство выражение для силы тока \( \frac{U}{R} \):

\( \frac{220}{R} \leq 4 \)

3. Так как сопротивление \( R \) — величина положительная, умножим обе части на \( R \) и разделим на 4:

\( 220 \leq 4R \Rightarrow R \geq \frac{220}{4} \)

4. Выполняем деление:

\( R \geq 55 \)

Наименьшее значение сопротивления составляет \( 55 \text{ Ом} \).

Ответ: 55

1. Найдем относительную скорость поездов (так как они движутся навстречу, скорости складываются):

\( V_{отн} = 65 + 35 = 100 \text{ км/ч} \)

2. Переведем скорость из \( \text{км/ч} \) в \( \text{м/с} \):

\( 100 \text{ км/ч} = \frac{100 \cdot 1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{1000}{36} \text{ м/с} = \frac{250}{9} \text{ м/с} \)

3. За 36 секунд поезда преодолевают суммарное расстояние, равное сумме их длин (\( L_1 + L_2 \)):

\( S = V_{отн} \cdot t = \frac{250}{9} \cdot 36 = 250 \cdot 4 = 1000 \text{ м} \)

4. Найдем длину скорого поезда, зная, что длина пассажирского \( 700 \text{ м} \):

\( L_{скорый} = 1000 — 700 = 300 \text{ м} \)

Ответ: 300

1. Составим уравнение первой прямой (возрастающей), проходящей через точки \( (2; 1) \) и \( (1; -2) \):

• • Коэффициент \( k_1 = \frac{1 — (-2)}{2 — 1} = 3 \).
• • Уравнение: \( y — 1 = 3(x — 2) \Rightarrow y = 3x — 5 \).

2. Составим уравнение второй прямой (убывающей), проходящей через точки \( (0; -1) \) и \( (-1; 1) \):

• • Коэффициент \( k_2 = \frac{1 — (-1)}{-1 — 0} = -2 \).
• • Уравнение: \( y = -2x — 1 \).

3. Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений:

\( 3x — 5 = -2x — 1 \Rightarrow 5x = 4 \Rightarrow x = 0,8 \)

4. Найдем ординату (\( y \)), подставив \( x \) в любое из уравнений:

\( y = -2 \cdot 0,8 — 1 = -1,6 — 1 = -2,6 \)

Ответ: -2,6

1. Найдем производную функции (учитывая ОДЗ: \( x > 0 \)):

\( y’ = 3x — 27 + \frac{54}{x} \)

2. Приравняем производную к нулю:

\( 3x — 27 + \frac{54}{x} = 0 \)

3. Разделим на 3 и умножим на \( x \):

\( x^2 — 9x + 18 = 0 \)

4. Найдем корни квадратного уравнения (по теореме Виета):

\( x_1 = 3, \quad x_2 = 6 \)

5. Определим знаки производной на промежутках:

• • На \( (0; 3) \): \( y'(1) = 3 — 27 + 54 = 30 > 0 \) (возрастание).
• • На \( (3; 6) \): \( y'(4) = 12 — 27 + 13,5 = -1,5 < 0 \) (убывание).
• • На \( (6; +\infty) \): \( y'(10) = 30 — 27 + 5,4 = 8,4 > 0 \) (возрастание).

6. Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с \( + \) на \( — \). Это точка \( x = 3 \).

Ответ: 3

а) Решение уравнения:

1. ОДЗ: Аргументы логарифмов должны быть положительны:

\( -\cos x > 0 \Rightarrow \cos x < 0 \) (II и III четверти)

2. Преобразуем слагаемые, используя свойства \( a^{\log_a b} = b \):

• • \( 4^{\log_{2}(-\cos x)} = (2^2)^{\log_{2}(-\cos x)} = (2^{\log_{2}(-\cos x)})^2 = (-\cos x)^2 = \cos^2 x \).
• • \( 3^{\log_{9}(2\sin^2 x)} = 3^{\frac{1}{2}\log_{3}(2\sin^2 x)} = \sqrt{2\sin^2 x} = |\sin x|\sqrt{2} \).

3. Уравнение принимает вид: \( \cos^2 x + \frac{1}{\sqrt{2^3}} \cdot |\sin x|\sqrt{2} = 1 \).

Учитывая \( \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2} \), получаем: \( \cos^2 x + \frac{1}{2}|\sin x| = 1 \).
4. Заменим \( \cos^2 x = 1 — \sin^2 x \):

\( 1 — \sin^2 x + \frac{1}{2}|\sin x| = 1 \Rightarrow \sin^2 x — \frac{1}{2}|\sin x| = 0 \)

5. Выносим \( |\sin x| \): \( |\sin x|(|\sin x| — \frac{1}{2}) = 0 \).

• • \( \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n \). (Не подходит по ОДЗ, так как \( \cos(\pi n) = \pm 1 \), а нам нужно \( < 0 \), и \( \sin^2 x \) в логарифме должно быть \( > 0 \)).
• • \( |\sin x| = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x = \pm\frac{1}{2} \).

6. С учетом ОДЗ (\( \cos x < 0 \)):

\( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \)

б) Отбор корней:
На промежутке \( [-2\pi; -0,5\pi] \) подходят числа:

\( x = \frac{5\pi}{6} — 2\pi = -\frac{7\pi}{6}; \quad x = -\frac{5\pi}{6} \)

Ответ: а) \( \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \); б) \( -\frac{7\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6} \)

\( \rho = \frac{1}{3} \cdot H_{пир} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{6} \)

\( \frac{5}{t-1} + \frac{3}{t-2} + \frac{8}{t-8} — 2 \leq 0 \)

3. Приведем к общему знаменателю и упростим числитель. После преобразований и разложения на множители методом интервалов находим промежутки для \( t \).
4. Возвращаемся к переменной \( x \), решая простейшие показательные неравенства типа \( 2^{x+1} > a \).

\( x \in (-\infty; -1) \cup (0; \log_2 3) \cup [2; 3) \)

Ответ: \( (-\infty; -1) \cup (0; \log_2 3) \cup [2; 3) \)

1. Анализ выплат: Общая сумма выплат состоит из суммы самого кредита (тело долга) и начисленных процентов.

\( \Sigma_{выплат} = S_{кр} + I_{общ} \)

\( 1925 = 1750 + I_{общ} \Rightarrow I_{общ} = 175 \text{ тыс. руб.} \)

2. Нахождение в: За первые 3 месяца долг уменьшился на \( 3a \). За оставшиеся 25 месяцев он уменьшился на \( 25в \). В сумме это весь кредит:

\( 3a + 25в = 1750 \Rightarrow в = \frac{1750 — 3a}{25} \)

3. Сумма процентов: Проценты начисляются на остаток долга каждый месяц (\( r = 0,01 \)):

\( I_{общ} = 0,01 \cdot (S_0 + S_1 + … + S_{27}) = 175 \)

4. После подстановки всех остатков долга и решения уравнения (используя формулу суммы арифметической прогрессии для второй части срока), получаем значение:

Ответ: 50

\( AB = \sqrt{BC \cdot (BE — BC)} = \sqrt{5 \cdot (12 — 5)} = \sqrt{35} \)

Ответ: \(\sqrt{35}\)

1. Раскроем первое неравенство:

\( 2a — 4x — 3 \geq 9 \Rightarrow a \geq 2x + 6 \)

\( 2a — 4x — 3 \leq -9 \Rightarrow a \leq 2x — 3 \)

2. Второе неравенство задает область под параболой:

\( a \leq -x^2 + 4x + 5 \)

3. Единственное решение возможно в точках касания или пересечения границ областей. Анализируя взаимное расположение прямой \( a = 2x + 6 \) и параболы \( a = -x^2 + 4x + 5 \), а также прямой \( a = 2x — 3 \), находим критические значения.
4. Проверка дискриминантов уравнений пересечения дает:

\( x^2 — 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1, a = 8 \)

Ответ: \( a = 8; a \leq -7 \)

\( n = \frac{60k + 35}{35} = \frac{12k + 7}{7} = \frac{12k}{7} + 1 \)

Минимальное \( k = 7 \), тогда \( n = 12 + 1 = 13 \).

Ответ: а) нет; б) нет; в) 13