Задания ВПР по математике за 8 класс с ответами за 2026 год (вариант 3)

1. Выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю \(30\):

\(\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{9}{30} + \frac{4}{30} = \frac{13}{30}\)

2. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

\(\frac{13}{5} : \frac{13}{30} = \frac{13}{5} \cdot \frac{30}{13} \Rightarrow \frac{13 \cdot 30}{5 \cdot 13} = \frac{30}{5} = 6\)

Ответ: 6

1. Приведем уравнение к стандартному виду \(ax^2 + bx + c = 0\):

\(x^2 — 12x + 32 = 0\)

2. Воспользуемся теоремой Виета:

• • Сумма корней: \(x_1 + x_2 = 12\)
• • Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = 32\)

3. Подберем числа: \(4 \cdot 8 = 32\), а \(4 + 8 = 12\). Корни найдены.

Ответ: 4; 8

1. По теореме Виета, искомые числа являются корнями квадратного уравнения:

\(x^2 — 50x + 400 = 0\)

2. Найдем корни методом подбора (раскладывая 400 на множители):

• • Пара \(10\) и \(40\): \(10 \cdot 40 = 400\), а \(10 + 40 = 50\).

Ответ: 10; 40

1. Разберем каждое неравенство отдельно:

• • \(-a + x > 0 \Rightarrow x > a\) (точка \(x\) должна быть правее \(a\)).
• • \(b — x > 0 \Rightarrow b > x\) или \(x < b\) (точка \(x\) должна быть левее \(b\)).
• • \(-x + c > 0 \Rightarrow c > x\) или \(x < c\) (точка \(x\) должна быть левее \(c\)).

2. Объединим условия. Точка \(x\) должна быть одновременно правее \(a\) и левее \(b\). Так как по рисунку \(b\) находится левее \(c\), условие \(x < c\) выполнится автоматически, если \(x < b\).

\(a < x < b\)

Ответ: Любая точка на интервале между \(a\) и \(b\).

Проанализируем угловые коэффициенты \(k\) и точки пересечения с осью \(Oy\) (\(b\)):

• • А) Прямая убывает круто, \(y\)-отсечка в \(-1\). Соответствует формуле №1 (\(k=-2, b=-1\)).
• • Б) Прямая возрастает плавно, \(y\)-отсечка в \(-2\). Соответствует формуле №3 (\(k=0,5, b=-2\)).
• • В) Прямая убывает плавно, \(y\)-отсечка в \(+2\). Соответствует формуле №4 (\(k=-0,5, b=2\)).
• • Г) Прямая возрастает круто, \(y\)-отсечка в \(+1\). Соответствует формуле №2 (\(k=2, b=1\)).

Результат:

Ответ: 1342

1. Найдем ближайшие к числу \(190\) полные квадраты:

\(13^2 = 169\)

\(14^2 = 196\)

2. Оценим положение корня:

\(\sqrt{169} < \sqrt{190} < \sqrt{196} \Rightarrow 13 < \sqrt{190} < 14\)

3. Так как \(190\) находится намного ближе к \(196\), чем к \(169\), точка будет располагаться на прямой ближе к отметке 14.

Ответ: Точка на координатной прямой между 13 и 14, ближе к 14.

1. Заметим, что числитель представляет собой формулу квадрата суммы \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\), где \(x = a + 4\):

\(((a + 4) + 1)^2 = (a + 5)^2\)

2. Упростим дробь:

\(\frac{(a + 5)^2}{a + 5} = a + 5\)

3. Подставим значение \(a = -0,48\):

\(-0,48 + 5 = 4,52\)

Ответ: 4,52

1. Пусть событие \(A\) — перегорит от 2 до 4 лампочек, а событие \(B\) — перегорит 5 или более лампочек.

2. Эти события несовместны, и их сумма (\(A + B\)) — это событие «перегорит больше одной лампочки» (т.е. 2, 3, 4, 5, …).

3. По условию: \(P(A + B) = 0,97\) и \(P(B) = 0,79\).

4. Находим искомую вероятность:

\(P(A) = P(A + B) — P(B) \Rightarrow 0,97 — 0,79 = 0,18\)

Ответ: 0,18

1. В прямоугольном треугольнике \(ABC\):

\(BC = AB \cdot \sin A = 90 \cdot \frac{2}{3} = 60\)

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CBH\). В нём угол \(B\) общий с треугольником \(ABC\).

3. Известно, что в прямоугольном треугольнике \(\angle BCH = \angle A\). Значит, \(\sin(\angle BCH) = \sin A = \frac{2}{3}\).

4. Тогда в треугольнике \(CBH\) косинус угла \(B\) будет равен синусу угла \(A\) (по свойству дополняющих углов):

\(\cos B = \sin A = \frac{2}{3}\)

5. Находим катет \(BH\) через гипотенузу \(BC\):

\(BH = BC \cdot \cos B = 60 \cdot \frac{2}{3} = 40\)

Ответ: 40

1. Проанализируем диагонали по клеткам:

• • Длинная диагональ: горизонтальная, соединяет левую и правую вершины. Её длина равна 10 клеткам.
• • Короткая диагональ: соединяет нижнюю и верхнюю вершины.

2. Для короткой диагонали построим прямоугольный треугольник: она проходит на 2 клетки вправо и на 4 клетки вверх.

3. По теореме Пифагора её длина равна:

\(d = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}\)

Ответ: \(\sqrt{20}\) (или \(\approx 4,47\))

1. В теории графов путь, проходящий по всем рёбрам без повторов, называется эйлеровым путём.

2. Такой путь возможен, если ровно две вершины имеют нечётную степень (количество выходящих линий). Путь обязательно начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

3. Проверим степени вершин:

• • Вершина \(B\): соединена с \(A\), \(C\) и \(F\). Степень = 3 (нечётная).
• • Вершина \(F\): соединена с \(E\), \(G\) и \(B\). Степень = 3 (нечётная).
• • Остальные вершины имеют чётные степени.

4. Так как Марта закончила в нечётной вершине \(B\), значит, начать она должна была в другой нечётной вершине — \(F\).

Ответ: F

Проверка:

• • 1) Ложно. Сторону пополам делит медиана, а биссектриса делит пополам угол. (В общем случае).
• • 2) Верно. Это одна из базовых теорем геометрии о построении перпендикуляра.
• • 3) Верно. Это основное свойство диагоналей ромба.

Ответ: 1

1. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

\(4x^2 + 7x + 8 — x^2 — 7x — 11 = 0\)

2. Приведем подобные слагаемые. Заметим, что \(7x\) и \(-7x\) взаимно уничтожаются:

\(3x^2 — 3 = 0\)

3. Решим неполное квадратное уравнение:

\(3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)

Ответ: -1; 1

1. Самый низкий столбец на диаграмме соответствует Ботовской пещере (её глубина менее 50 м).

2. Проведем оценку по вертикальной шкале:

• • Глубина пещеры Тут-Куш: \(\approx 210\) м.
• • Глубина Вертолётной пещеры: \(150\) м (ровно по линии).
• • Разность: \(210 — 150 = 60\) м.

Ответ: 1) Ботовская; 2) от 50 до 70.

1. Переведем скорость поезда в м/с:

\(18 \text{ км/ч} = 18 \cdot \frac{1000}{3600} = 5 \text{ м/с}\)

2. Найдем общее расстояние, пройденное поездом за \(120\) секунд:

\(S = v \cdot t = 5 \cdot 120 = 600 \text{ метров}\)

3. Когда поезд «полностью проезжает туннель», путь складывается из длины туннеля и длины самого поезда:

\(L_{тунеля} = S_{общий} — L_{поезда} \Rightarrow 600 — 400 = 200 \text{ метров}\)

Ответ: 200

1. Всего исходов при броске двух кубиков: \(6 \cdot 6 = 36\).

2. Удобнее найти количество исходов, которые не подходят (разность больше 3, т.е. 4 или 5):

• • Разность 4: (1,5), (5,1), (2,6), (6,2) — 4 исхода.
• • Разность 5: (1,6), (6,1) — 2 исхода.
• • Итого не подходят: \(4 + 2 = 6\) исходов.

3. Количество благоприятных исходов: \(36 — 6 = 30\).

4. Вероятность: \(P = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}\).

Ответ: 5/6

1. Представим выражение под корнем как полный квадрат:

\(14 + 6\sqrt{5} = 9 + 5 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 3^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = (3 + \sqrt{5})^2\)

2. Извлечем корень:

\(\sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} — \sqrt{5} = |3 + \sqrt{5}| — \sqrt{5}\)

3. Так как \(3 + \sqrt{5} > 0\), раскрываем модуль со знаком плюс:

\(3 + \sqrt{5} — \sqrt{5} = 3\)

Ответ: 3

1. Так как \(BC \parallel AD\), то \(\angle BCA = \angle CAD\) (накрест лежащие).

2. \(AC\) — биссектриса, значит \(\angle BAC = \angle CAD = 22,5^\circ\). Отсюда \(\angle BAC = \angle BCA\), следовательно \(\triangle ABC\) равнобедренный (\(AB = BC = 9\sqrt{2}\)).

3. Проведем высоту \(BH \perp AD\). В \(\triangle ABH\) (\(\angle A = 45^\circ\)): \(BH = AB \cdot \sin 45^\circ = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\).

4. В прямоугольной трапеции боковая сторона \(CD\) равна высоте \(BH\), т.е. \(CD = 9\).

5. В прямоугольном \(\triangle BCD\) найдем гипотенузу \(BD\):

\(BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 + 9^2} = \sqrt{162 + 81} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}\)

Ответ: \(9\sqrt{3}\)