Задания ВПР по математике за 10 класс с ответами за 2026 год (вариант 8)

1. Пусть \(x\) — доля роллеров среди всех постоянных покупателей магазина.

2. По условию, \(50\%\) от этих роллеров (\(0,5x\)) составляют \(15\%\) от всех покупателей (\(0,15\)).

3. Составим уравнение:

\(0,5x = 0,15 \Rightarrow x = \frac{0,15}{0,5}\)

4. Вычислим значение:

\(x = 0,3\)

5. Переведем в проценты: \(0,3 \cdot 100\% = 30\%\).

Ответ: 30

1. Упростим выражение, используя свойства степеней:

\(\frac{d^{1/3} \cdot d^{-5}}{d^{-6}} = d^{1/3 — 5 — (-6)} = d^{1/3 — 5 + 6} = d^{1/3 + 1} = d^{4/3}\)

2. Подставим значение \(d = 27 = 3^3\):

\((3^3)^{4/3} = 3^{3 \cdot \frac{4}{3}} = 3^4 = 81\)

Ответ: 81

1. Используем свойство нечётности синуса: \(\sin(-25^\circ) = -\sin 25^\circ\).

2. Применим формулу приведения: \(\sin 25^\circ = \sin(90^\circ — 65^\circ) = \cos 65^\circ\).

3. Подставим в выражение:

\(\frac{16 \cos 65^\circ}{-\cos 65^\circ} = -16\)

Ответ: -16

1. По свойству геометрической прогрессии, квадрат любого её члена (кроме первого) равен произведению соседних с ним членов:

\(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\)

2. Подставим значения четвёртого и шестого членов для нахождения пятого (\(b_5\)):

\(b_5^2 = 63 \cdot 7 = 441\)

3. Находим корень:

\(b_5 = \pm \sqrt{441} = \pm 21\)

4. Так как прогрессия убывающая и её члены положительны (\(63 > 7\)), то \(b_5\) должен находиться в интервале между ними. Значение \(21\) удовлетворяет условию (\(63 > 21 > 7\)).

Ответ: 21

1. Найдем внутренний угол \(A\) треугольника. Внутренний и внешний углы при одной вершине являются смежными, их сумма равна \(180^\circ\):

\(\angle A = 180^\circ — 101^\circ = 79^\circ\)

2. Заметим, что \(\angle A = 79^\circ\) и \(\angle C = 79^\circ\). Следовательно, \(\angle A = \angle C\).

3. Так как углы при основании \(AC\) равны, треугольник \(ABC\) является равнобедренным.

4. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны:

\(BC = AB = 17\)

Ответ: 17

1. Найдем общее количество исходов (общее число винтов):

\(n = 35 + 65 = 100\)

2. Количество благоприятных исходов (винты с левой резьбой):

\(m = 35\)

3. Вычислим вероятность:

\(P = \frac{m}{n} = \frac{35}{100} = 0,35\)

Ответ: 0,35

Используем формулу для суммы мощностей множеств:

\(N(A \cup B) = N(A) + N(B) — N(A \cap B)\)

По условию:

• • \(N(A \cup B) = 25\) (так как исходов вне \(A\) и \(B\) нет);
• • \(N(A) = 16\);
• • \(N(B) = 12\).

Подставим значения и найдем пересечение (\(x\)):

\(25 = 16 + 12 — x \Rightarrow 25 = 28 — x \Rightarrow x = 3\)

Ответ: 3

1. Определим коэффициенты по графику. Начальная точка функции (вершина) находится в координатах \((5; 3)\).

• • Сдвиг вправо на 5 по оси \(Ox \Rightarrow a = 5\).
• • Сдвиг вверх на 3 по оси \(Oy \Rightarrow b = 3\).

Функция имеет вид: \(f(x) = \sqrt{5 — x} + 3\).

2. Решим уравнение для \(f(x) = 15\):

\(\sqrt{5 — x} + 3 = 15 \Rightarrow \sqrt{5 — x} = 12\)

\(5 — x = 12^2 \Rightarrow 5 — x = 144\)

\(x = 5 — 144 = -139\)

Ответ: -139

1. Найдем общее количество исходов, удовлетворяющих условию «при первом броске выпало не меньше очков, чем при втором» (\(x_1 \geq x_2\)):

\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\)

2. Выпишем исходы, где сумма равна 5, и проверим условие \(x_1 \geq x_2\):

• • (4; 1): \(4 + 1 = 5\), \(4 \geq 1\) — подходит.
• • (3; 2): \(3 + 2 = 5\), \(3 \geq 2\) — подходит.
• • (2; 3): \(2 < 3\) — не подходит.
• • (1; 4): \(1 < 4\) — не подходит.

Итого благоприятных исходов: 2.

3. Вычислим вероятность:

\(P = \frac{2}{21}\)

Ответ: \(\frac{2}{21}\)

1. Используем основное тригонометрическое тождество:

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha = 1 — \left(-\frac{5}{13}\right)^2\)

\(\sin^2 \alpha = 1 — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\)

2. Определим знак синуса. По условию угол \(\alpha\) находится в III четверти:

В III четверти \(\sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}\)

Ответ: \(-\frac{12}{13}\)

1. Расстояние от центра описанной окружности до стороны правильного треугольника равно радиусу вписанной окружности (\(r\)):

\(r = 10\sqrt{3}\)

2. Используем формулу связи стороны \(a\) правильного треугольника и радиуса вписанной окружности:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = \frac{6r}{\sqrt{3}}\)

3. Вычислим сторону:

\(a = \frac{6 \cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 60\)

4. Найдем периметр \(P = 3a\):

\(P = 3 \cdot 60 = 180\)

Ответ: 180

Разбор утверждений:

• • 1) Нет. Прямые \(DB\) и \(AS\) скрещиваются, угол между ними не является прямым при заданных условиях.
• • 2) Да. \(SD\) — перпендикуляр к плоскости основания. По определению, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая \(CB\).
• • 3) Нет. Угол в боковой грани \(BSC\) зависит от длин рёбер и обычно не равен \(90^\circ\).
• • 4) Нет. \(ABCD\) — трапеция, её диагонали в общем случае не перпендикулярны.
• • 5) Да. По условию трапеция прямоугольная с прямыми углами при \(A\) и \(D\), следовательно, \(AD \perp AB\).

Ответ: 25

1. Решение уравнения:

Применим формулу синуса двойного угла:

\(2\sin x \cos x + \sin x = 0\)

Вынесем общий множитель за скобки:

\(\sin x (2\cos x + 1) = 0\)

• • \(\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}\)
• • \(\cos x = -0,5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)

2. Отбор корней на отрезке \([1,5\pi; 3\pi]\):

• • При \(k = 2\): \(x = 2\pi\) — входит.
• • При \(k = 3\): \(x = 3\pi\) — входит.
• • При \(n = 1\): \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 1,33\pi\) (вне отрезка).
• • При \(n = 1\): \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 2,66\pi\) — входит.

Ответ:
1) \(\pi k; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}\)
2) \(2\pi; \frac{8\pi}{3}; 3\pi\)

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

• • Числитель: \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).
• • Знаменатель: \(x^2 + 2x — 3 = (x + 3)(x — 1)\) (по теореме Виета).

2. Перепишем неравенство:

\(\frac{(x + 3)^2}{(x + 3)(x — 1)} \geq 0\)

3. Определим ОДЗ: \(x \neq -3\) и \(x \neq 1\). При этих условиях сократим дробь на \((x + 3)\):

\(\frac{x + 3}{x — 1} \geq 0\)

4. Решим методом интервалов для точек \(x = -3\) и \(x = 1\):

• • На интервале \((-\infty; -3)\): возьмем \(x = -4 \Rightarrow \frac{-1}{-5} > 0\) (плюс).
• • На интервале \((-3; 1)\): возьмем \(x = 0 \Rightarrow \frac{3}{-1} < 0\) (минус).
• • На интервале \((1; +\infty)\): возьмем \(x = 2 \Rightarrow \frac{5}{1} > 0\) (плюс).

5. Учитывая, что точки \(-3\) и \(1\) выколоты согласно ОДЗ:

Ответ: \((-\infty; -3) \cup (1; +\infty)\)

1. Описание построения:

График функции \(y = \left| 3 — \frac{12}{x + 4} \right|\) строится на основе гиперболы:

• Вертикальная асимптота: \(x = -4\).
• Горизонтальная асимптота исходной функции: \(y = 3\).
• Точка пересечения с осью \(Ox\) (нуль функции): \(3 — \frac{12}{x + 4} = 0 \Rightarrow \frac{12}{x + 4} = 3 \Rightarrow x = 0\).
• Нижняя часть гиперболы (где \(y < 0\)) отражается зеркально вверх относительно оси \(Ox\).

2. Анализ количества решений:

Количество решений уравнения \(f(x) = c\) — это количество точек пересечения графика с горизонтальной прямой \(y = c\):

• • При \(c = 0\): Прямая касается оси \(Ox\) в единственной точке излома \((0; 0)\). 1 решение.
• • При \(c = 3\): Прямая совпадает с горизонтальной асимптотой. Она никогда не пересечет правую ветвь (которая приближается к ней снизу), но пересечет отраженную левую ветвь в одной точке. 1 решение.
• • При \(0 < c < 3\) и при \(c > 3\) прямая пересекает график в двух точках.

Ответ: \(c = 0\); \(c = 3\)

1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке \(A(0;0;0)\):

• • \(A(0; 0; 0)\), \(B(\sqrt{21}; 0; 0)\), \(C(\sqrt{21}; \sqrt{21}; 0)\), \(D(0; \sqrt{21}; 0)\).
• • \(B_1(\sqrt{21}; 0; 4)\), \(K(0; 0; 2)\) (середина \(AA_1 = 4\)).

2. Найдем координаты направляющих векторов прямых:

• • \(\vec{B_1C} = (0; \sqrt{21}; -4)\)
• • \(\vec{KD} = (0; \sqrt{21}; -2)\)

3. Вычислим косинус угла \(\phi\) между векторами:

\(\cos \phi = \frac{|\vec{B_1C} \cdot \vec{KD}|}{|\vec{B_1C}| \cdot |\vec{KD}|}\)

4. Выполним расчеты:

• • Скалярное произведение: \(0 \cdot 0 + \sqrt{21} \cdot \sqrt{21} + (-4) \cdot (-2) = 21 + 8 = 29\).
• • Длина \(|\vec{B_1C}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{21})^2 + (-4)^2} = \sqrt{21 + 16} = \sqrt{37}\).
• • Длина \(|\vec{KD}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{21})^2 + (-2)^2} = \sqrt{21 + 4} = \sqrt{25} = 5\).

\(\cos \phi = \frac{29}{5\sqrt{37}} = \frac{29\sqrt{37}}{185}\)

Ответ: \(\frac{29\sqrt{37}}{185}\)

1. Чтобы шахматист А. выиграл обе партии, должны произойти два независимых события:

• • Событие 1: Выигрыш белыми цветами (\(P_1 = 0,7\)).
• • Событие 2: Выигрыш чёрными цветами (\(P_2 = 0,3\)).

2. Так как результат одной партии не влияет на вероятности в другой, общая вероятность находится как произведение вероятностей отдельных выигрышей:

\(P = P_1 \cdot P_2\)

\(P = 0,7 \cdot 0,3 = 0,21\)

Ответ: 0,21