Задания ВПР по математике за 10 класс с ответами за 2026 год (вариант 1)

Чтобы найти долю посмотревших среди целевой аудитории (любителей), нужно разделить общую долю посмотревших на долю любителей:

(14% / 20%) × 100 = 70%

Ответ: 70% любителей мультиков посмотрели новинку.

1. Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:

• • (b10)1/4 = b10/4 = b2,5
• • (b-2)4 = b-8

2. Подставим упрощенные части в общее выражение:

b2,5 · b-9 : b-8 = b2,5 + (-9) - (-8) = b2,5 - 9 + 8 = b1,5

3. Вычислим значение при b = 0,25 (что равно 1/4 или 0,5²):

0,251,5 = (0,52)1,5 = 0,53 = 0,125

Ответ: 0,125

1. Заметим, что углы 34° и 56° в сумме дают 90°. Это позволяет использовать формулы приведения:

tg 56° = tg(90° – 34°) = ctg 34°

2. Подставим полученное значение в исходное выражение:

−35 · tg 34° · ctg 34°

3. Используем основное тригонометрическое тождество для тангенса и котангенса (их произведение при одном и том же угле равно 1):

tg α · ctg α = 1

−35 · 1 = −35

Ответ: −35

1. Используем свойство геометрической прогрессии: квадрат любого члена равен произведению соседних с ним членов:

b52 = b4 · b6

2. Подставим известные значения:

b52 = 54 · 6 = 324

3. Находим корень из 324. Это может быть 18 или -18:

b5 = 18 или b5 = -18

4. Так как прогрессия убывающая и её члены положительны (судя по b₄ и b₆), знаменатель q должен быть положительным и меньше 1. Проверим:

• • Если b5 = 18, то q = 18 / 54 = 1/3 (верно, прогрессия убывает: 54, 18, 6).
• • Если b5 = -18, прогрессия была бы знакочередующейся.

b5 = 18

Ответ: 18

1. Найдем внутренний угол ∠A треугольника ABC. Внутренний угол и внешний угол при одной вершине являются смежными, их сумма равна 180°:

∠A = 180° – 103° = 77°

2. Теперь рассмотрим полученные углы треугольника:

• • ∠A = 77°
• • ∠C = 77°

3. Так как два угла треугольника равны (∠A = ∠C), треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.

4. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно:

BC = AB = 14

BC = 14

Ответ: 14

1. Для нахождения вероятности используем классическую формулу: P = m / n, где m — число благоприятных исходов, а n — общее число исходов.

2. Найдем общее количество маркеров в коробке (n):

16 + 9 = 25

3. Число благоприятных исходов (m) — это количество синих маркеров:

m = 9

4. Вычислим вероятность:

P = 9 / 25

5. Для записи ответа переведем обыкновенную дробь в десятичную (умножим числитель и знаменатель на 4):

9 / 25 = 36 / 100 = 0,36

Ответ: 0,36

1. Обозначим общее число исходов как N(S) = 22. По условию, исходов вне событий A и B нет, значит, объединение событий N(A ∪ B) = 22.

2. Используем формулу для количества исходов объединения двух событий:

N(A ∪ B) = N(A) + N(B) − N(A ∩ B)

3. Подставим известные значения в формулу:

22 = 16 + 8 − N(A ∩ B)

4. Выполним вычисления:

22 = 24 − N(A ∩ B)

N(A ∩ B) = 24 − 22 = 2

Ответ: 2

Пояснение: Событию A ∩ B благоприятствуют те исходы, которые входят в оба события одновременно. Так как сумма отдельных исходов (16 + 8 = 24) больше общего количества (22), это «перекрытие» и составляет 2 исхода.

1. Определяем коэффициенты a и b по графику:

• • График пересекает ось ординат в точке (0; -3). Подставив x = 0, получаем: f(0) = a·0³ + b = -3, откуда b = -3.
• • Возьмем точку (2; 5), которая четко видна на сетке. Подставим её в уравнение: 5 = a·2³ - 3 → 5 = 8a - 3 → 8a = 8, откуда a = 1.

Таким образом, функция задается формулой: f(x) = x³ − 3.

2. Находим x для f(x) = 726:

x³ − 3 = 726

x³ = 726 + 3

x³ = 729

3. Извлекаем кубический корень:

\(x = \sqrt{729} = 9\)

Ответ: 9

1. Общее количество исходов при условии \(x_1 \geq x_2\):

\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\)

2. Благоприятный исход (сумма 2): только пара \((1; 1)\). Условие \(1 \geq 1\) выполняется.

3. Вероятность:

\(P = \frac{1}{21}\)

Ответ: \(\frac{1}{21}\)

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha = 1 — \cos^2 \alpha\)

2. Подставим известное значение косинуса:

\(\sin^2 \alpha = 1 — \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 — \frac{64}{289} = \frac{225}{289}\)

\(\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{225}{289}} = \pm \frac{15}{17}\)

3. Определим знак синуса. По условию угол \(\alpha\) находится в IV четверти:

• • В IV четверти синус принимает отрицательные значения.
• • Следовательно, \(\sin \alpha = -\frac{15}{17}\).

Ответ: \(-\frac{15}{17}\)

1. Расстояние от центра описанной окружности до стороны правильного треугольника — это радиус вписанной окружности (\(r\)). По условию:

\(r = 16\sqrt{3}\)

2. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности связан со стороной \(a\) формулой:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\)

3. Выразим и найдем сторону \(a\):

\(a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 16\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \cdot 16 = 96\)

4. Найдем периметр треугольника (\(P\)):

\(P = 3a = 3 \cdot 96 = 288\)

Ответ: 288

Разбор утверждений:

• 1. Верно. В правильном треугольнике \(ABC\) медиана/высота \(AM\) проходит через центр \(O\). Значит, \(BC \perp AM\). Также \(BC \perp SO\) (так как \(SO\) — высота пирамиды). Раз прямая \(BC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости \(ASO\), то \(BC \perp (ASO)\).
• 2. Верно. Аналогично первому пункту, \(AC\) перпендикулярна плоскости, в которой лежат \(SO\) и высота основания \(BN\). Следовательно, \(AC\) перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая \(SB\).
• 3. Неверно. Плоскость боковой грани \(SBC\) наклонена к основанию под двугранным углом. Перпендикулярность была бы только в случае, если бы боковое ребро было перпендикулярно основанию, что невозможно для правильной пирамиды.

Ответ: 1, 2

1. Решение уравнения:

Пусть \(\cos x = t\), где \(|t| \leq 1\). Тогда уравнение примет вид:

\(2t^2 + \sqrt{2}t — 2 = 0\)

Найдем дискриминант:

\(D = (\sqrt{2})^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 = (3\sqrt{2})^2\)

Корни квадратного уравнения:

\(t_1 = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(t_2 = \frac{-\sqrt{2} — 3\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}\) (не подходит, так как \(-\sqrt{2} < -1\))

Вернемся к замене:

\(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)

2. Отбор корней на отрезке \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\):

• • При \(k = 1\): \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} = 2,25\pi\) — подходит.
• • При \(k = 1\): \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} = 1,75\pi\) — не подходит (меньше \(2\pi\)).
• • При \(k = 2\): \(x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} = 3,75\pi\) — не подходит (больше \(3,5\pi\)).

Ответ:
1) \(\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)
2) \(\frac{9\pi}{4}\)

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

• • Числитель: \(x^2 — 6x + 9 = (x — 3)^2\).
• • Знаменатель: \(x^2 + 3x — 18\). По теореме Виета корни: \(-6\) и \(3\).
  Следовательно, \(x^2 + 3x — 18 = (x + 6)(x — 3)\).

2. Перепишем неравенство в виде:

\(\frac{(x — 3)^2}{(x + 6)(x — 3)} \geq 0\)

3. Определим область допустимых значений (ОДЗ):

\(x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6\)

\(x — 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\)

4. Сократим выражение на \((x — 3)\) при условии \(x \neq 3\):

\(\frac{x — 3}{x + 6} \geq 0\)

5. Решим методом интервалов для точек \(x = 3\) и \(x = -6\):

• • \((-\infty; -6)\): например, \(x = -7 \Rightarrow \frac{-10}{-1} = 10 > 0\) (плюс)
• • \((-6; 3)\): например, \(x = 0 \Rightarrow \frac{-3}{6} = -0,5 < 0\) (минус)
• • \((3; +\infty)\): например, \(x = 4 \Rightarrow \frac{1}{10} = 0,1 > 0\) (плюс)

6. Учитывая ОДЗ (точки \(-6\) и \(3\) должны быть выколоты, так как они обнуляют знаменатель исходной дроби), получаем интервалы:

Ответ: \((-\infty; -6) \cup (3; +\infty)\)

1. Построение графика:

График функции \(y = \left| 2 + \frac{10}{x + 1} \right|\) получается из гиперболы \(y = \frac{10}{x}\) следующими преобразованиями:

• Сдвиг на 1 единицу влево (вертикальная асимптота \(x = -1\)).
• Сдвиг на 2 единицы вверх (горизонтальная асимптота \(y = 2\)).
• Отражение части графика, лежащей ниже оси \(Ox\), симметрично вверх.

Точка пересечения с осью \(Ox\): \(2 + \frac{10}{x+1} = 0 \Rightarrow \frac{10}{x+1} = -2 \Rightarrow x = -6\).

2. Анализ количества решений:

Количество решений уравнения \(f(x) = c\) — это количество точек пересечения графика функции с горизонтальной прямой \(y = c\).

• • При \(c < 0\): решений нет.
• • При \(c = 0\): прямая касается оси \(Ox\) в точке \((-6; 0)\). 1 решение.
• • При \(0 < c < 2\): прямая пересекает две ветви (одну до отражения, одну после). 2 решения.
• • При \(c = 2\): прямая совпадает с горизонтальной асимптотой. Она никогда не пересечет график при \(x \to \pm\infty\), но пересечет «отраженную» часть гиперболы в одной точке. 1 решение.
• • При \(c > 2\): прямая пересекает две ветви графика, уходящие в бесконечность. 2 решения.

Вычислим точку для \(c = 2\):
\(\left| 2 + \frac{10}{x+1} \right| = 2 \Rightarrow 2 + \frac{10}{x+1} = -2 \Rightarrow \frac{10}{x+1} = -4 \Rightarrow x = -3,5\).

Ответ: \(c = 0\); \(c = 2\)

1. Введем систему координат с началом в точке \(B(0;0;0)\):

• • Ось \(Ox\) направим вдоль \(BA\), ось \(Oy\) — вдоль \(BC\), ось \(Oz\) — вдоль \(BS\).
• • Координаты вершин: \(A(8; 0; 0)\), \(B(0; 0; 0)\), \(C(0; 8; 0)\), \(D(8; 8; 0)\).
• • Так как \(SB = 30\), а \(K\) — середина \(SB\), то \(K(0; 0; 15)\).

2. Найдем координаты направляющих векторов прямых:

• • Вектор \(\vec{AK} = (0 — 8; 0 — 0; 15 — 0) = (-8; 0; 15)\).
• • Вектор \(\vec{DC} = (0 — 8; 8 — 8; 0 — 0) = (-8; 0; 0)\).

3. Вычислим косинус угла между векторами по формуле:

\(\cos \phi = \frac{|\vec{AK} \cdot \vec{DC}|}{|\vec{AK}| \cdot |\vec{DC}|}\)

4. Выполним вычисления:

• • Скалярное произведение: \((-8) \cdot (-8) + 0 \cdot 0 + 15 \cdot 0 = 64\).
• • Длина \(\vec{AK} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\).
• • Длина \(\vec{DC} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2 + 0^2} = 8\).

\(\cos \phi = \frac{64}{17 \cdot 8} = \frac{8}{17}\)

Ответ: \(\frac{8}{17}\)

Событие «М. выиграл ровно одну партию» состоит из двух несовместных исходов:

1. Сценарий A: Выиграл 1-ю партию И проиграл 2-ю.

• • \(P(\text{выигрыш 1}) = 0,8\)
• • Если 1-я выиграна, то \(P(\text{выигрыш 2}) = 0,8\), значит, \(P(\text{проигрыш 2}) = 1 — 0,8 = 0,2\)
• • \(P(A) = 0,8 \cdot 0,2 = \mathbf{0,16}\)

2. Сценарий B: Проиграл 1-ю партию И выиграл 2-ю.

• • \(P(\text{проигрыш 1}) = 1 — 0,8 = 0,2\)
• • Если 1-я проиграна, то \(P(\text{выигрыш 2}) = 0,7\) (по условию)
• • \(P(B) = 0,2 \cdot 0,7 = \mathbf{0,14}\)

3. Находим общую вероятность, складывая результаты двух сценариев:

\(P = P(A) + P(B) = 0,16 + 0,14 = 0,3\)

Ответ: 0,3