Задания ВПР по математике за 10 класс с ответами за 2026 год (вариант 5)

1. Пусть \(x\) — доля роллеров среди всех постоянных покупателей магазина.

2. По условию, \(60\%\) от этих роллеров (\(0,6x\)) составляют \(12\%\) от всех покупателей (\(0,12\)).

3. Составим уравнение:

\(0,6x = 0,12 \Rightarrow x = \frac{0,12}{0,6}\)

4. Вычислим значение:

\(x = 0,2\)

5. Переведем в проценты: \(0,2 \cdot 100\% = 20\%\).

Ответ: 20

1. Упростим выражение, используя свойства степеней:

\(\frac{a^5 \cdot a^{2/3}}{a^6} = a^{5 + 2/3 — 6} = a^{2/3 — 1} = a^{-1/3}\)

2. Подставим \(a = 0,008 = 8 \cdot 10^{-3} = (0,2)^3\):

\((0,2^3)^{-1/3} = 0,2^{-1} = \frac{1}{0,2} = 5\)

Ответ: 5

1. Заметим, что \(66^\circ = 90^\circ — 24^\circ\).

2. Используем формулу приведения: \(\cos(90^\circ — \alpha) = \sin \alpha\).

\(\cos 66^\circ = \cos(90^\circ — 24^\circ) = \sin 24^\circ\)

3. Подставим в исходное выражение:

\(\frac{11 \sin 24^\circ}{\sin 24^\circ} = 11\)

Ответ: 11

1. По свойству геометрической прогрессии, квадрат любого её члена (кроме первого) равен произведению соседних членов:

\(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\)

2. Для пятого члена (\(b_5\)) соседями являются четвертый (\(b_4\)) и шестой (\(b_6\)):

\(b_5^2 = 54 \cdot 6 = 324\)

3. Находим \(b_5\):

\(b_5 = \pm\sqrt{324} = \pm 18\)

4. Так как по условию прогрессия убывающая и её члены положительны (судя по \(b_4\) и \(b_6\)), то \(b_5\) должен быть меньше \(b_4\), но больше \(b_6\). Значение \(18\) подходит под это условие (\(54 > 18 > 6\)).

Ответ: 18

1. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) высота \(CH\), проведённая к основанию \(AB\), также является медианой.

2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

\(CH = \frac{1}{2}AB\)

3. Вычислим длину:

\(CH = \frac{20}{2} = 10\)

Ответ: 10

1. Найдем общее количество винтов в ящике:

\(n = 41 + 59 = 100\)

2. Количество благоприятных исходов (винты с левой резьбой):

\(m = 41\)

3. Вычислим вероятность:

\(P = \frac{m}{n} = \frac{41}{100} = 0,41\)

Ответ: 0,41

Используем формулу для пересечения двух множеств:

\(N(A \cap B) = N(A) + N(B) — N(A \cup B)\)

Где:

• • \(N(A \cup B) = 11\) (всего моделей);
• • \(N(A) = 9\) (антибликовые);
• • \(N(B) = 6\) (фотохромные);

Подставим значения:

\(x = 9 + 6 — 11 \Rightarrow x = 15 — 11 = 4\)

Ответ: 4

1. Определим коэффициенты \(a\) и \(b\) по графику. Начальная точка графика функции находится в координатах \((-2; 1)\).

• • Сдвиг на 2 единицы влево по оси \(Ox\) означает, что \(a = 2\).
• • Сдвиг на 1 единицу вверх по оси \(Oy\) означает, что \(b = 1\).

Получаем функцию: \(f(x) = \sqrt{x + 2} + 1\).

2. Составим и решим уравнение для \(f(x) = 20\):

\(\sqrt{x + 2} + 1 = 20 \Rightarrow \sqrt{x + 2} = 19\)

\(x + 2 = 19^2 \Rightarrow x + 2 = 361\)

\(x = 359\)

Ответ: 359

1. Результаты бросков монеты являются независимыми событиями. Это означает, что исход любого конкретного броска не зависит от результатов предыдущих или последующих испытаний.

2. Информация о том, что в сумме выпало 19 орлов, является избыточной для данного вопроса, так как она не меняет вероятность выпадения сторон в конкретном (четвёртом) броске.

3. При каждом броске идеальной монеты есть только два равновозможных исхода: орёл или решка. Вероятность выпадения решки равна:

\(P = \frac{1}{2} = 0,5\)

Ответ: 0,5

1. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

\(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha — 1\)

2. Подставим известное значение \(\cos \alpha = 0,3\):

\(\cos 2\alpha = 2 \cdot (0,3)^2 — 1 = 2 \cdot 0,09 — 1 = 0,18 — 1 = -0,82\)

Ответ: -0,82

1. Расстояние от центра описанной окружности \(O\) до стороны правильного треугольника равно радиусу вписанной окружности (\(r\)):

\(r = 16\sqrt{3}\)

2. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности связан со стороной \(a\) формулой:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = \frac{6r}{\sqrt{3}}\)

3. Вычислим сторону \(a\):

\(a = \frac{6 \cdot 16\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \cdot 16 = 96\)

4. Найдем периметр (\(P = 3a\)):

\(P = 3 \cdot 96 = 288\)

Ответ: 288

Анализ утверждений:

• • 1) Неверно. \(SA\) перпендикулярна плоскости основания, а \(SP\) — наклонная к ней. Угол между ними острый.
• • 2) Верно. В правильном треугольнике медиана \(BN\) является высотой \(\Rightarrow BN \perp AC\). Точка \(N\) лежит на \(AC\), значит \(BN \perp NC\).
• • 3) Верно. Прямая \(SA\) перпендикулярна любой прямой в плоскости основания (\(ABC\)), следовательно \(SA \perp BN\).
• • 4) Верно. По теореме о трех перпендикулярах: медиана \(AM \perp BC\), \(SA\) — перпендикуляр, тогда наклонная \(SM \perp BC\).
• • 5) Неверно. \(SM\) — наклонная, \(AM\) — её проекция на плоскость. В прямоугольном \(\triangle SAM\) угол между ними острый.

Ответ: 234

1. Решение уравнения:

Пусть \(\cos x = t\), где \(|t| \leq 1\). Тогда уравнение принимает вид:

\(2t^2 + 5t + 2 = 0\)

\(D = 25 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9\)

\(t_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -0,5\)

\(t_2 = \frac{-5 — 3}{4} = -2\) (не подходит, так как \(|t| \leq 1\))

Обратная замена:

\(\cos x = -0,5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)

2. Отбор корней на отрезке \([\pi; 2,5\pi]\):

• • При \(k = 1\): \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} = 1\frac{1}{3}\pi\) — входит в отрезок.
• • При \(k = 1\): \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} = 2\frac{2}{3}\pi\) — не входит (больше \(2,5\pi\)).

Ответ:
1) \(\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\); 2) \(\frac{4\pi}{3}\)

1. Разложим знаменатель на множители. Корни уравнения \(x^2 — 5x — 6 = 0\) по теореме Виета: \(6\) и \(-1\).

\(x^2 — 5x — 6 = (x — 6)(x + 1)\)

2. Перепишем неравенство с учётом ОДЗ (\(x \neq 6, x \neq -1\)):

\(\frac{(x + 1)^2(x — 6)}{(x — 6)(x + 1)} \geq 0\)

3. Сократим дробь на \((x — 6)(x + 1)\) при \(x \neq 6, x \neq -1\):

\(x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\)

4. Учитывая ограничения ОДЗ, исключим точки \(-1\) и \(6\) из промежутка \([-1; +\infty)\):

• • Точка \(-1\) становится выколотой (круглая скобка).
• • Точка \(6\) разрывает интервал.

Ответ: \((-1; 6) \cup (6; +\infty)\)

1. Описание графика:

График функции \(y = \left| 2 + \frac{12}{x — 2} \right|\) получается из гиперболы \(y = 2 + \frac{12}{x-2}\) путём зеркального отражения её отрицательной части относительно оси \(Ox\).

• Вертикальная асимптота: \(x = 2\).
• Горизонтальная асимптота: \(y = 2\).
• Точка пересечения с осью \(Ox\): \(2 + \frac{12}{x-2} = 0 \Rightarrow x = -4\).

2. Анализ количества решений:

Одно решение (\(f(x) = c\)) наблюдается, когда горизонтальная прямая \(y = c\) касается графика или проходит через асимптоту:

• • При \(c = 0\): Прямая касается графика в точке излома \((-4; 0)\). 1 решение.
• • При \(c = 2\): Прямая совпадает с горизонтальной асимптотой. Она никогда не пересечёт правую ветвь гиперболы (\(x \to +\infty\)), но пересечёт отражённую левую ветвь в одной точке. 1 решение.
• • В остальных случаях (\(0 < c < 2\) или \(c > 2\)) прямая пересекает график в двух точках.

Ответ: \(c = 0\); \(c = 2\)

1. Введем систему координат с началом в точке \(A(0;0;0)\):

• • \(A(0; 0; 0)\), \(B(\sqrt{2}; 0; 0)\), \(C(\sqrt{2}; \sqrt{2}; 0)\), \(D(0; \sqrt{2}; 0)\).
• • \(B_1(\sqrt{2}; 0; 4)\), \(K(0; 0; 2)\) (так как \(K\) — середина \(AA_1 = 4\)).

2. Найдем координаты направляющих векторов:

• • \(\vec{B_1C} = (\sqrt{2} — \sqrt{2}; \sqrt{2} — 0; 0 — 4) = (0; \sqrt{2}; -4)\).
• • \(\vec{KD} = (0 — 0; \sqrt{2} — 0; 0 — 2) = (0; \sqrt{2}; -2)\).

3. Вычислим косинус угла \(\phi\):

\(\cos \phi = \frac{|\vec{B_1C} \cdot \vec{KD}|}{|\vec{B_1C}| \cdot |\vec{KD}|}\)

• Скалярное произведение: \(0 \cdot 0 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + (-4) \cdot (-2) = 2 + 8 = 10\).

• \(|\vec{B_1C}| = \sqrt{0 + 2 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).

• \(|\vec{KD}| = \sqrt{0 + 2 + 4} = \sqrt{6}\).

\(\cos \phi = \frac{10}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{10}{3\sqrt{12}} = \frac{10}{6\sqrt{3}} = \frac{5}{3\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{9}\)

Ответ: \(\frac{5\sqrt{3}}{9}\)

Событие «М. выиграл ровно одну партию» включает два случая:

1. Выиграл 1-ю И проиграл 2-ю:
   \(P(1) = 0,9\). Вероятность выигрыша во второй при условии победы в первой \(0,9\), значит проигрыша — \(1 — 0,9 = 0,1\).
   \(P_A = 0,9 \cdot 0,1 = 0,09\).
2. Проиграл 1-ю И выиграл 2-ю:
   \(P(\text{проигрыш } 1) = 1 — 0,9 = 0,1\). Вероятность выигрыша во второй при условии поражения в первой — \(0,6\).
   \(P_B = 0,1 \cdot 0,6 = 0,06\).

Итоговая вероятность:

\(P = P_A + P_B = 0,09 + 0,06 = 0,15\)

Ответ: 0,15