Задания ВПР по математике за 10 класс с ответами за 2026 год (вариант 4)

1. Пусть \(x\) — доля роллеров среди всех постоянных покупателей.

2. По условию, \(50\%\) от этих роллеров (\(0,5x\)) составляют \(10\%\) от всех покупателей (\(0,1\)).

3. Составим уравнение:

\(0,5x = 0,1\)

4. Найдем \(x\):

\(x = \frac{0,1}{0,5} = 0,2\)

5. Переведем в проценты: \(0,2 \cdot 100\% = 20\%\).

Ответ: 20

1. Упростим выражение, используя свойства степеней:

\(\frac{a^4 \cdot a^{3/4}}{a^5} = a^{4 + 0,75 — 5} = a^{-0,25} = a^{-1/4}\)

2. Подставим значение \(a = 0,0256\). Заметим, что \(0,0256 = 0,4^4\):

\((0,4^4)^{-1/4} = 0,4^{-1} = \frac{1}{0,4} = 2,5\)

Ответ: 2,5

1. Используем свойство чётности косинуса: \(\cos(-\alpha) = \cos \alpha\).
Значит, \(\cos(-65^\circ) = \cos 65^\circ\).

2. Применим формулу приведения: \(\cos 65^\circ = \cos(90^\circ — 25^\circ) = \sin 25^\circ\).

3. Подставим в исходную дробь:

\(\frac{29 \sin 25^\circ}{\sin 25^\circ} = 29\)

Ответ: 29

1. Согласно свойству арифметической прогрессии, любой её член (кроме первого) равен среднему арифметическому двух соседних:

\(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\)

2. Для седьмого члена (\(a_7\)) соседями являются шестой (\(a_6\)) и восьмой (\(a_8\)):

\(a_7 = \frac{9 + 33}{2} = \frac{42}{2} = 21\)

Ответ: 21

1. Вспомним свойство внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

\(\angle B_{внеш} = \angle A + \angle C\)

2. Подставим известные значения, чтобы найти угол \(C\):

\(56^\circ = 28^\circ + \angle C \Rightarrow \angle C = 56^\circ — 28^\circ = 28^\circ\)

3. Так как \(\angle A = 28^\circ\) и \(\angle C = 28^\circ\), то треугольник \(ABC\) — равнобедренный с основанием \(AC\).

4. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит:

\(BC = AB = 7\)

Ответ: 7

1. Найдем общее количество винтов в ящике:

\(n = 46 + 54 = 100\)

2. Количество благоприятных исходов (винты с левой резьбой):

\(m = 46\)

3. Вычислим вероятность по классической формуле:

\(P = \frac{m}{n} = \frac{46}{100} = 0,46\)

Ответ: 0,46

Применим формулу для нахождения количества элементов пересечения двух множеств:

\(N(A \cap B) = N(A) + N(B) — N(A \cup B)\)

• • \(N(A) = 13\) (антибликовое);
• • \(N(B) = 9\) (фотохромное);
• • \(N(A \cup B) = 16\) (всего моделей в витрине).

Подставим значения:

\(13 + 9 — 16 = 22 — 16 = 6\)

Ответ: 6

1. Определим коэффициенты \(b\) и \(c\) по графику. Вершина параболы находится в точке \((3; -1)\).

Используем формулу вершины: \(f(x) = a(x — x_0)^2 + y_0\). Так как \(a = -1\):

\(f(x) = -(x — 3)^2 — 1 = -(x^2 — 6x + 9) — 1 = -x^2 + 6x — 10\)

2. Составим уравнение для \(f(x) = -50\):

\(-x^2 + 6x — 10 = -50\)

\(x^2 — 6x — 40 = 0\)

3. Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

• • \(x_1 + x_2 = 6\)
• • \(x_1 \cdot x_2 = -40\)

Подходящие корни: \(x_1 = 10\), \(x_2 = -4\).

Ответ: -4; 10

1. Найдем общее количество исходов, где \(x_1 \geq x_2\):

Это пары: (1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6).

Всего таких исходов: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\).

2. Среди них выберем те, где сумма очков равна 4:

• • (2, 2) — \(2+2=4\), \(2 \geq 2\) (подходит)
• • (3, 1) — \(3+1=4\), \(3 \geq 1\) (подходит)

Других вариантов нет (пара (1,3) не подходит, так как \(1 < 3\)). Итого: 2 исхода.

3. Вероятность:

\(P = \frac{2}{21}\)

Ответ: \(\frac{2}{21}\)

1. Для нахождения \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\) нам необходимо знать значение \(\cos \alpha\).

2. Используем основное тригонометрическое тождество:

\(\cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \left(-\frac{7}{25}\right)^2 = 1 — \frac{49}{625} = \frac{576}{625}\)

3. Определим знак косинуса. Угол \(\alpha\) находится в IV четверти (\(270^\circ < \alpha < 360^\circ\)), где косинус положителен:

\(\cos \alpha = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}\)

4. Вычислим искомое значение:

\(\sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{7}{25}\right) \cdot \frac{24}{25} = -\frac{336}{625}\)

5. Переведем в десятичную дробь: \(-336 : 625 = -0,5376\).

Ответ: -0,5376

1. Расстояние от центра описанной окружности до стороны правильного треугольника равно радиусу вписанной окружности (\(r\)).

\(r = \sqrt{3}\)

2. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности связан со стороной \(a\) формулой:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = \frac{6r}{\sqrt{3}}\)

3. Найдем сторону треугольника:

\(a = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\)

4. Вычислим периметр треугольника (\(P = 3a\)):

\(P = 3 \cdot 6 = 18\)

Ответ: 18

Разбор утверждений:

• • 1) Верно. Высота \(SO\) перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, значит \(SO \perp AB\).
• • 2) Неверно. В квадрате противоположные стороны \(BA\) и \(DC\) параллельны.
• • 3) Верно. \(\triangle SCD\) — равнобедренный (\(SC=SD\)), \(SM\) — медиана к основанию, следовательно, и высота.
• • 4) Неверно. Точки \(A, O, C\) лежат на одной прямой (диагонали), угол между ними \(180^\circ\).
• • 5) Неверно. Угол между диагональю \(DB\) и стороной \(CD\) квадрата равен \(45^\circ\).

Ответ: 13

1. Решение уравнения:

Пусть \(\sin x = t\), где \(|t| \leq 1\). Получаем уравнение: \(2t^2 + \sqrt{2}t — 2 = 0\).

\(D = (\sqrt{2})^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 = (3\sqrt{2})^2\).

\(t_1 = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(t_2 = \frac{-\sqrt{2} — 3\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}\) (не подходит, так как \(-\sqrt{2} < -1\)).

Вернемся к замене: \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\) и \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\).

2. Отбор корней на отрезке \([3\pi; 4,5\pi]\):

На промежутке от \(3\pi\) до \(4,5\pi\) синус положителен только в первой четверти нового круга (после \(4\pi\)):

• • При \(k = 2\): \(x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} = 4,25\pi\) — входит в отрезок.
• • При \(k = 2\): \(x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = 4,75\pi\) — не входит (больше \(4,5\pi\)).

Ответ:
1) \(\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)
2) \(\frac{17\pi}{4}\)

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

• • Числитель: \(x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2\) (полный квадрат).
• • Знаменатель: \(x^2 + 4x — 5 = (x + 5)(x — 1)\) (по теореме Виета корни \(-5\) и \(1\)).

2. Перепишем неравенство:

\(\frac{(x + 5)^2}{(x + 5)(x — 1)} \geq 0\)

3. Определим ОДЗ: \(x \neq -5\) и \(x \neq 1\). При этих условиях сократим дробь на \((x + 5)\):

\(\frac{x + 5}{x — 1} \geq 0\)

4. Решим методом интервалов для точек \(x = -5\) и \(x = 1\):

• • На интервале \((-\infty; -5)\): возьмем \(x = -6 \Rightarrow \frac{-1}{-7} > 0\) (плюс).
• • На интервале \((-5; 1)\): возьмем \(x = 0 \Rightarrow \frac{5}{-1} < 0\) (минус).
• • На интервале \((1; +\infty)\): возьмем \(x = 2 \Rightarrow \frac{7}{1} > 0\) (плюс).

5. Учитывая, что точка \(-5\) выколота из-за знаменателя исходной дроби, а в точке \(1\) также происходит разрыв:

Ответ: \((-\infty; -5) \cup (1; +\infty)\)

1. Описание графика:

• Это гипербола с вертикальной асимптотой \(x = -2\) и горизонтальной асимптотой \(y = 5\).
• Часть графика, которая находилась ниже оси \(Ox\), отражается зеркально вверх из-за модуля.
• Точка пересечения с осью \(Ox\) (нуль функции): \(5 + \frac{10}{x+2} = 0 \Rightarrow x = -4\).

2. Поиск параметра \(c\):

Уравнение \(f(x) = c\) имеет одно решение в двух случаях:

• • \(c = 0\): прямая касается «вершины» отраженного графика в точке \((-4; 0)\).
• • \(c = 5\): прямая совпадает с горизонтальной асимптотой. Она никогда не пересечет правую ветвь гиперболы, но пересечет отраженную левую ветвь в одной точке (решение \(x = -3\)).

Ответ: \(c = 0\); \(c = 5\)

1. Искомый угол — это двугранный угол между основанием и плоскостью сечения. Линейный угол этого двугранного угла образуется высотой основания \(AH\), проведённой к гипотенузе \(BC\), и отрезком \(A_1H\).

2. Найдем гипотенузу \(BC\) по теореме Пифагора:

\(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34\)

3. Найдем высоту \(AH\) прямоугольного треугольника \(ABC\):

\(AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{30 \cdot 16}{34} = \frac{480}{34} = \frac{240}{17}\)

4. В прямоугольном треугольнике \(A_1AH\) искомый угол \(\phi\) — это угол при вершине \(H\). Найдем его тангенс:

\(\text{tg } \phi = \frac{AA_1}{AH} = \frac{48}{240/17} = \frac{48 \cdot 17}{240} = \frac{17}{5} = 3,4\)

Ответ: \(\text{arctg } 3,4\)

1. Событие «А. выиграл обе партии» означает, что он выиграл и ту партию, где играл белыми, и ту, где играл чёрными.

2. Эти события являются независимыми, поэтому общая вероятность находится как произведение вероятностей каждого выигрыша:

\(P = P_{белые} \cdot P_{чёрные}\)

3. Подставим значения:

\(P = 0,8 \cdot 0,6 = 0,48\)

Ответ: 0,48