Задания ВПР по математике за 10 класс с ответами за 2026 год (вариант 3)

1. Пусть \(N\) — общее количество зрителей онлайн-кинотеатра.

2. Количество любителей мультиков: \(0,2N\).

3. Количество зрителей, посмотревших новый мультик: \(0,1N\).

4. Чтобы найти, какой процент второе число составляет от первого, разделим их и умножим на \(100\%\):

\(P = \frac{0,1N}{0,2N} \cdot 100\% = \frac{1}{2} \cdot 100\% = 50\%\)

Ответ: 50

1. Представим корень в виде степени и упростим выражение:

\(\frac{a^6 \cdot a^{5/3}}{a^8} = a^{6 + \frac{5}{3} — 8} = a^{\frac{5}{3} — 2} = a^{-1/3}\)

2. Подставим \(a = 0,008 = 8 \cdot 10^{-3} = (2 \cdot 10^{-1})^3 = 0,2^3\):

\((0,2^3)^{-1/3} = 0,2^{-1} = \frac{1}{0,2} = 5\)

Ответ: 5

1. Заметим, что \(28^\circ = 90^\circ — 62^\circ\).

2. По формуле приведения: \(\text{ tg }(90^\circ — \alpha) = \text{ ctg } \alpha\). Значит, \(\text{ tg } 28^\circ = \text{ ctg } 62^\circ\).

3. Используем основное тождество \(\text{ tg } \alpha \cdot \text{ ctg } \alpha = 1\):

\(-38 \cdot \text{ tg } 62^\circ \cdot \text{ ctg } 62^\circ = -38 \cdot 1 = -38\)

Ответ: -38

1. В арифметической прогрессии каждый член равен среднему арифметическому соседних с ним членов:

\(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\)

2. Для нахождения \(a_4\) подставим значения \(a_3\) и \(a_5\):

\(a_4 = \frac{3 + 25}{2} = \frac{28}{2} = 14\)

Ответ: 14

1. Рассмотрим треугольник \(AKC\). По условию \(AK = CK\), значит, треугольник равнобедренный.

2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \(\angle KAC = \angle C = 21^\circ\).

3. Так как \(AK\) — биссектриса угла \(A\), то весь угол \(A\) в два раза больше угла \(KAC\):

\(\angle A = 2 \cdot 21^\circ = 42^\circ\).

4. Сумма углов в треугольнике \(ABC\) равна \(180^\circ\). Найдем угол \(B\):

\(\angle B = 180^\circ — (\angle A + \angle C) = 180^\circ — (42^\circ + 21^\circ) = 180^\circ — 63^\circ = 117^\circ\).

Ответ: 117

1. Найдем общее количество винтов в ящике:

\(n = 72 + 28 = 100\)

2. Количество благоприятных исходов (винты с левой резьбой):

\(m = 72\)

3. Вычислим вероятность:

\(P = \frac{m}{n} = \frac{72}{100} = 0,72\)

Ответ: 0,72

Воспользуемся формулой суммы мощностей множеств:

\(N(A \cup B) = N(A) + N(B) — N(A \cap B)\)

Где:

• • \(N(A \cup B) = 18\) (общее количество учеников);
• • \(N(A) = 14\) (решили задачу на проценты);
• • \(N(B) = 12\) (решили задачу на движение);
• • \(N(A \cap B)\) — искомое количество учеников, решивших обе задачи.

Подставим числа:

\(18 = 14 + 12 — x\)

\(18 = 26 — x \Rightarrow x = 26 — 18 = 8\)

Ответ: 8

1. Определим параметры \(a\) и \(b\) по графику. Центр симметрии кубической параболы (точка перегиба) находится в координатах \((1; 0)\).

• • Сдвиг вправо на 1 единицу означает, что \(b = -1\).
• • Возьмем контрольную точку, например \((0; 1)\). Подставим в формулу: \(1 = a(0 — 1)^3 \Rightarrow 1 = -a \Rightarrow a = -1\).

Функция имеет вид: \(f(x) = -(x — 1)^3\).

2. Составим и решим уравнение для \(f(x) = 216\):

\(-(x — 1)^3 = 216\)

\((x — 1)^3 = -216\)

\(x — 1 = \sqrt[3]{-216} \Rightarrow x — 1 = -6\)

\(x = -5\)

Ответ: -5

1. Как и в предыдущих вариантах, мы опираемся на теорию вероятностей: броски монеты — это независимые испытания.

2. Информация о том, что в сумме выпало 19 орлов, никак не влияет на вероятность выпадения сторон в конкретном (четвёртом) броске. Это апостериорные данные, которые не меняют классическую вероятность события.

3. Для любого отдельно взятого броска существует 2 равновозможных исхода. Вероятность выпадения решки составляет:

\(P = \frac{1}{2} = 0,5\)

Ответ: 0,5

1. Найдем \(\sin \alpha\) через основное тригонометрическое тождество:

\(\sin^2 \alpha = 1 — \cos^2 \alpha = 1 — \frac{5}{14} = \frac{9}{14}\)

2. Так как угол \(\alpha\) находится во II четверти, синус там положителен:

\(\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}\)

3. Вычислим синус двойного угла по формуле \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\):

\(\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{14}} \cdot \left(-\sqrt{\frac{5}{14}}\right) = -\frac{6 \cdot \sqrt{5}}{14} = -\frac{3\sqrt{5}}{7}\)

Ответ: \(-\frac{3\sqrt{5}}{7}\)

1. В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения \(O\) делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BOC\):

• • \(OC = AC / 2 = 48 / 2 = 24\);
• • \(\text{tg } \angle BCA = \frac{BO}{OC} \Rightarrow BO = OC \cdot \text{tg } \angle BCA = 24 \cdot 0,75 = 18\).

2. Найдем сторону ромба \(BC\) по теореме Пифагора:

\(BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30\).

3. Радиус \(r\) вписанной окружности — это высота треугольника \(BOC\), проведенная из вершины \(O\) к гипотенузе \(BC\):

\(r = \frac{BO \cdot OC}{BC} = \frac{18 \cdot 24}{30} = \frac{18 \cdot 4}{5} = \frac{72}{5} = 14,4\).

Ответ: 14,4

Анализ утверждений:

• 1) Верно. В правильном треугольнике медиана \(BN\) является высотой (\(BN \perp AC\)). Прямая \(OB\) лежит на \(BN\), значит \(OB \perp AC\).
• 2) Неверно. В правильном треугольнике угол между медианами составляет \(60^\circ\) или \(120^\circ\).
• 3) Верно. В правильном треугольнике медиана \(CP\) является высотой (\(CP \perp AB\)).
• 4) Неверно. \(SA \perp AB\) (так как \(SA\) перпендикулярна плоскости основания), значит в прямоугольном \(\triangle SAB\) угол \(ASB\) — острый.
• 5) Верно. По теореме о трех перпендикулярах: \(AN \perp NC\) (медиана правильного треугольника) и проекция \(AN\) прямой \(SN\) перпендикулярна \(NC\), следовательно \(SN \perp NC\).

Ответ: 135

1. Решение уравнения:

Пусть \(\cos x = t\), где \(|t| \leq 1\). Тогда уравнение: \(2t^2 — 5t + 2 = 0\).

\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9\).

\(t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2\) (не подходит, так как \(2 > 1\)).

\(t_2 = \frac{5 — 3}{4} = 0,5\).

Обратная замена: \(\cos x = 0,5 \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\).

2. Отбор корней на отрезке \([-3,5\pi; -2\pi]\):

• • При \(k = -1\): \(x = \frac{\pi}{3} — 2\pi = -\frac{5\pi}{3} = -1,66\pi\) (вне отрезка).
• • При \(k = -1\): \(x = -\frac{\pi}{3} — 2\pi = -\frac{7\pi}{3} = -2,33\pi\) — входит.
• • При \(k = -2\): \(x = \frac{\pi}{3} — 4\pi = -\frac{11\pi}{3} = -3,66\pi\) (вне отрезка).
• • При \(k = -2\): \(x = -\frac{\pi}{3} — 4\pi = -\frac{13\pi}{3}\) (вне отрезка).
• Нужно проверить точку \(-3,5\pi \leq x \leq -2\pi\). Проверим \(k = -2\) для \(\frac{\pi}{3}\): это \(\approx -3,66\pi\), чуть левее границы. Проверим соседнюю точку: \(-\frac{7\pi}{3}\) и \(-\frac{11\pi}{3}\). Между ними может быть еще одна.
• Для \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) при \(k = -2\): \(x = -3\frac{2}{3}\pi\) (вне). Для \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\) при \(k = -1\): \(x = -2\frac{1}{3}\pi\) (внутри). При \(k = -2\): \(x = -4\frac{1}{3}\pi\) (вне).

Ответ:
1) \(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)
2) \(-\frac{7\pi}{3}\)

1. Разложим знаменатель на множители. Корни уравнения \(x^2 — 3x — 18 = 0\) по теореме Виета: \(6\) и \(-3\).

\(x^2 — 3x — 18 = (x — 6)(x + 3)\)

2. Перепишем неравенство с учетом разложения и ОДЗ (\(x \neq 6, x \neq -3\)):

\(\frac{(x + 3)^3(x — 2)}{(x — 6)(x + 3)} \leq 0\)

3. Сократим на \((x + 3)\) при условии \(x \neq -3\):

\(\frac{(x + 3)^2(x — 2)}{x — 6} \leq 0\)

4. Применим метод интервалов:

• • Критические точки: \(-3\) (кратности 2), \(2\) и \(6\).
• • На интервале \((6; +\infty)\): выражение \(> 0\).
• • На интервале \((2; 6)\): выражение \(< 0\) (подходит).
• • На интервале \((-3; 2)\): выражение \(> 0\).
• • На интервале \((-\infty; -3)\): выражение \(> 0\) (так как \((x+3)^2\) не меняет знак).
• • В точке \(x = 2\) выражение равно \(0\) (подходит).
• • В точке \(x = -3\) выражение равно \(0\), но она выколота по ОДЗ.

Ответ: \([2; 6)\)

1. Анализ графика:

Функция получается из гиперболы \(y = \frac{12}{x-3} — 6\). Часть графика, лежащая ниже оси \(Ox\), отражается вверх.

• Вертикальная асимптота: \(x = 3\).
• Горизонтальная асимптота (исходная): \(y = -6\). После взятия модуля она превращается в \(y = 6\).
• Точка излома (нуль): \(\frac{12}{x-3} = 6 \Rightarrow x-3 = 2 \Rightarrow x = 5\).

2. Решения уравнения f(x) = c:

• • При \(c = 0\): Прямая пересекает график в единственной точке \((5; 0)\).
• • При \(0 < c < 6\): Прямая пересекает ветви в двух точках.
• • При \(c = 6\): Прямая совпадает с горизонтальной асимптотой. Она никогда не пересечет правую ветвь (уходящую к \(y=6\) снизу), но пересечет левую «высокую» ветвь в одной точке.
• • При \(c > 6\): Прямая пересекает две ветви, уходящие в бесконечность.

Ответ: \(c = 0\); \(c = 6\)

1. Введем систему координат с началом в точке \(A(0;0;0)\):

• • \(A(0; 0; 0)\), \(B(\sqrt{3}; 0; 0)\), \(C(\sqrt{3}; \sqrt{5}; 0)\).
• • \(A_1(0; 0; 2\sqrt{3})\), \(B_1(\sqrt{3}; 0; 2\sqrt{3})\), \(C_1(\sqrt{3}; \sqrt{5}; 2\sqrt{3})\).
• • Точка \(M\) (середина \(AA_1\)): \(M(0; 0; \sqrt{3})\).

2. Найдем направляющие векторы:

• • \(\vec{B_1M} = (0 — \sqrt{3}; 0 — 0; \sqrt{3} — 2\sqrt{3}) = (-\sqrt{3}; 0; -\sqrt{3})\).
• • \(\vec{C_1A} = (0 — \sqrt{3}; 0 — \sqrt{5}; 0 — 2\sqrt{3}) = (-\sqrt{3}; -\sqrt{5}; -2\sqrt{3})\).

3. Вычислим косинус угла \(\phi\):

\(\cos \phi = \frac{|\vec{B_1M} \cdot \vec{C_1A}|}{|\vec{B_1M}| \cdot |\vec{C_1A}|}\)

• Скалярное произведение: \((-\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + 0 + (-\sqrt{3})(-2\sqrt{3}) = 3 + 6 = 9\).

• \(|\vec{B_1M}| = \sqrt{3 + 0 + 3} = \sqrt{6}\).

• \(|\vec{C_1A}| = \sqrt{3 + 5 + 12} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).

\(\cos \phi = \frac{9}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{9}{2\sqrt{30}} = \frac{9\sqrt{30}}{60} = \frac{3\sqrt{30}}{20}\)

Ответ: \(\frac{3\sqrt{30}}{20}\)

Рассмотрим два несовместных события:

1. Выиграл первую (0,8) И проиграл вторую. Если первая выиграна, вероятность выигрыша во второй 0,8, значит вероятность проигрыша: \(1 — 0,8 = 0,2\).
   \(P_1 = 0,8 \cdot 0,2 = 0,16\).
2. Проиграл первую И выиграл вторую. Вероятность проигрыша в первой: \(1 — 0,8 = 0,2\). Если первая проиграна, вероятность выигрыша во второй 0,7.
   \(P_2 = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14\).

Искомая вероятность — сумма этих вероятностей:

\(P = 0,16 + 0,14 = 0,3\)

Ответ: 0,3