Задания ВПР по математике за 10 класс с ответами за 2026 год (вариант 2)

1. Пусть \(x\) — доля роллеров среди всех покупателей магазина.

2. По условию, \(70\%\) от этих роллеров (\(0,7x\)) составляют \(42\%\) от всех покупателей (\(0,42\)).

3. Составим уравнение:

\(0,7x = 0,42\)

4. Найдем \(x\):

\(x = \frac{0,42}{0,7} = 0,6\)

5. Переведем в проценты: \(0,6 \cdot 100\% = 60\%\).

Ответ: 60

1. Упростим выражение, используя свойства степеней:

\(\frac{a^8 \cdot a^{7/4}}{a^{10}} = a^{8 + 1,75 — 10} = a^{-0,25} = a^{-1/4}\)

2. Подставим \(a = 0,0016 = 16 \cdot 10^{-4} = (2 \cdot 10^{-1})^4 = 0,2^4\):

\((0,2^4)^{-1/4} = 0,2^{-1} = \frac{1}{0,2} = 5\)

Ответ: 5

1. Заметим, что \(43^\circ = 90^\circ — 47^\circ\).

2. Используем формулу приведения: \(\text{tg}(90^\circ — \alpha) = \text{ctg } \alpha\):

\(\text{tg } 43^\circ = \text{ctg } 47^\circ\)

3. Подставим в выражение:

\(-67 \cdot \text{tg } 47^\circ \cdot \text{ctg } 47^\circ\)

4. Так как \(\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1\), получаем:

\(-67 \cdot 1 = -67\)

Ответ: -67

1. В арифметической прогрессии каждый член (начиная со второго) равен среднему арифметическому соседних членов:

\(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\)

2. Для четвёртого члена (\(a_4\)) соседями являются третий (\(a_3\)) и пятый (\(a_5\)):

\(a_4 = \frac{a_3 + a_5}{2}\)

3. Подставим значения из условия:

\(a_4 = \frac{4 + 32}{2} = \frac{36}{2} = 18\)

Ответ: 18

1. В равнобедренном треугольнике высота \(CH\), проведённая к основанию (гипотенузе \(AB\)), также является медианой.

2. Свойство прямоугольного треугольника: медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы:

\(CH = \frac{AB}{2}\)

3. Вычислим длину высоты:

\(CH = \frac{16}{2} = 8\)

Ответ: 8

1. Найдем общее количество винтов в ящике:

\(n = 35 + 65 = 100\)

2. Количество благоприятных исходов (винты с левой резьбой):

\(m = 35\)

3. Вычислим вероятность по формуле \(P = \frac{m}{n}\):

\(P = \frac{35}{100} = 0,35\)

Ответ: 0,35

Воспользуемся формулой для объединения двух множеств:

\(N(A \cup B) = N(A) + N(B) — N(A \cap B)\)

Где:

• • \(N(A \cup B) = 17\) (всего моделей, так как очков без покрытия нет);
• • \(N(A) = 12\) (антибликовые);
• • \(N(B) = 10\) (фотохромные);
• • \(N(A \cap B)\) — искомое количество моделей с обоими покрытиями.

Подставим значения:

\(17 = 12 + 10 — x\)

\(17 = 22 — x \Rightarrow x = 22 — 17 = 5\)

Ответ: 5

1. Определим коэффициенты \(a\) и \(b\) по графику. Начальная точка функции (вершина) находится в координатах \((-3; 2)\).

• • Сдвиг по оси \(Ox\) на 3 единицы влево означает, что \(a = 3\).
• • Сдвиг по оси \(Oy\) на 2 единицы вверх означает, что \(b = 2\).

Функция имеет вид: \(f(x) = \sqrt{x + 3} + 2\).

2. Составим и решим уравнение для \(f(x) = 17\):

\(\sqrt{x + 3} + 2 = 17\)

\(\sqrt{x + 3} = 15\)

\(x + 3 = 15^2 \Rightarrow x + 3 = 225\)

\(x = 222\)

Ответ: 222

1. Важное свойство: броски монеты являются независимыми событиями. Результат любого конкретного броска (в данном случае шестого) не зависит от того, сколько раз выпал орёл в других бросках или какова была общая статистика.

2. При каждом отдельном броске идеальной монеты существует только два равновероятных исхода: «орёл» или «решка».

3. Вероятность выпадения решки в любом конкретном броске равна:

\(P = \frac{1}{2} = 0,5\)

Примечание: Данные о том, что из 50 раз орёл выпал 26 раз, являются избыточными и приведены для того, чтобы запутать.

Ответ: 0,5

1. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла через синус:

\(\cos 2\alpha = 1 — 2\sin^2 \alpha\)

2. Подставим значение \(\sin \alpha = -0,2\):

\(\cos 2\alpha = 1 — 2 \cdot (-0,2)^2\)

\(\cos 2\alpha = 1 — 2 \cdot 0,04 = 1 — 0,08 = 0,92\)

Ответ: 0,92

1. В правильном (равностороннем) треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной. Расстояние от этого центра до стороны — это радиус вписанной окружности \(r\):

\(r = 10\sqrt{3}\)

2. Радиус вписанной окружности в правильном треугольнике связан с его стороной \(a\) формулой:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = \frac{6r}{\sqrt{3}}\)

3. Найдем сторону треугольника:

\(a = \frac{6 \cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \cdot 10 = 60\)

4. Вычислим периметр \(P = 3a\):

\(P = 3 \cdot 60 = 180\)

Ответ: 180

Анализ утверждений:

• 1) Нет. Угол между боковым ребром и диагональю основания в правильной пирамиде не прямой.
• 2) Да. В основании квадрат \(ABCD\), следовательно, смежные стороны \(BC \perp DC\).
• 3) Да. Диагональ \(AC \perp BD\). Прямая \(AO\) лежит на \(AC\). По теореме о трех перпендикулярах, так как \(AC \perp BD\) и \(SO\) — высота, то \(AC\) перпендикулярна всей плоскости \(SBD\), но здесь важна перпендикулярность \(AO \perp SC\)? Нет. На самом деле в правильной пирамиде \(AC \perp (SBD)\), значит \(AO \perp SC\), так как \(SC\) лежит в плоскости, проходящей через \(SO\) и \(BD\).
• 4) Да. \(SM\) — апофема, \(SM \perp CD\). Так как \(AB \parallel CD\), то \(SM \perp AB\).
• 5) Нет. \(SO\) — высота, \(SM\) — наклонная. Угол \(OSM\) острый.

Ответ: 234

1. Решение уравнения:

Пусть \(\sin x = t\), где \(|t| \leq 1\). Уравнение: \(2t^2 — 3t — 2 = 0\).

\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\).

\(t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2\) (не подходит, \(2 > 1\)).

\(t_2 = \frac{3 — 5}{4} = -0,5\).

Обратная замена: \(\sin x = -0,5 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\).

2. Отбор корней на отрезке \([-2,5\pi; -\pi]\):

• • При \(k = -1\): \(x = -\frac{\pi}{6} — 2\pi = -\frac{13\pi}{6} = -2\frac{1}{6}\pi\) — входит.
• • При \(k = -1\): \(x = -\frac{5\pi}{6} — 2\pi = -\frac{17\pi}{6} \approx -2,8\pi\) — не входит.
• • При \(k = 0\): \(x = -\frac{5\pi}{6} \approx -0,83\pi\) — не входит.
• • Проверим вторую точку: при \(k = 0\) точка \(-\frac{13\pi}{6}\) уже найдена. Рассмотрим точку \(- \frac{5\pi}{6}\) при разных \(k\).
  Для \(x = -\frac{5\pi}{6}\) ближайший корень слева это \(-\frac{5\pi}{6} — 2\pi = -\frac{17\pi}{6}\) (вне), а справа \(-\frac{5\pi}{6}\) (вне). Но есть еще форма записи \(\frac{7\pi}{6} + 2\pi k\).
  При \(k = -2\): \(x = \frac{7\pi}{6} — 4\pi = -\frac{17\pi}{6}\). При \(k = -1\): \(x = \frac{7\pi}{6} — 2\pi = -\frac{5\pi}{6}\).
  Итоговый корень на отрезке: \(-\frac{13\pi}{6}\) и \(-\frac{17\pi}{6}\) (проверяем границы: \(-2,5\pi = -15\pi/6\). Значит \(-\frac{17\pi}{6}\) всё же вне).

Единственный верный корень: \(-\frac{13\pi}{6}\) (это \(-2,16\pi\)). Стоп, проверим \(-\frac{5\pi}{6}\) еще раз. \(-2,5\pi \leq x \leq -\pi\).
\(x = -\frac{13\pi}{6} \approx -2,16\pi\) (Да).
\(x = -\frac{17\pi}{6} \approx -2,83\pi\) (Нет).
\(x = -\frac{5\pi}{6} \approx -0,83\pi\) (Нет).

Ответ:
1) \((-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\)
2) \(-\frac{13\pi}{6}\)

1. Разложим знаменатель \(x^2 + 7x — 8\) на множители. Корни по теореме Виета: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -8\).

\(x^2 + 7x — 8 = (x — 1)(x + 8)\)

2. Перепишем неравенство:

\(\frac{(x + 8)^2(x — 1)}{(x — 1)(x + 8)} \geq 0\)

3. Определим область допустимых значений (ОДЗ):

\(x \neq 1, \quad x \neq -8\)

4. Сократим дробь на \((x + 8)(x — 1)\) с учётом ОДЗ:

\(x + 8 \geq 0\) при \(x \neq 1, x \neq -8\)

5. Решим полученное линейное неравенство:

\(x \geq -8\)

6. Исключим точки, не входящие в ОДЗ (\(-8\) и \(1\)), из полученного луча \([-8; +\infty)\):

• • Точка \(-8\) исключается (граница становится круглой скобкой).
• • Точка \(1\) выкалывается внутри интервала.

Ответ: \((-8; 1) \cup (1; +\infty)\)

1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке \(A(0;0;0)\):

• • Ось \(Ox\) направим вдоль \(AB\), \(Oy\) — вдоль \(AD\), \(Oz\) — вдоль \(AA_1\).
• • Координаты вершин: \(A(0;0;0)\), \(B(\sqrt{6}; 0; 0)\), \(C(\sqrt{6}; \sqrt{6}; 0)\), \(D(0; \sqrt{6}; 0)\).
• • Высота \(AA_1 = BB_1 = 2\sqrt{3}\). Тогда \(B_1(\sqrt{6}; 0; 2\sqrt{3})\).
• • Точка \(K\) — середина \(AA_1\), её координаты: \(K(0; 0; \sqrt{3})\).

2. Найдем координаты направляющих векторов прямых:

• • Вектор \(\vec{B_1C} = (\sqrt{6} — \sqrt{6}; \sqrt{6} — 0; 0 — 2\sqrt{3}) = (0; \sqrt{6}; -2\sqrt{3})\).
• • Вектор \(\vec{KD} = (0 — 0; \sqrt{6} — 0; 0 — \sqrt{3}) = (0; \sqrt{6}; -\sqrt{3})\).

3. Вычислим косинус угла \(\phi\) между прямыми:

\(\cos \phi = \frac{|\vec{B_1C} \cdot \vec{KD}|}{|\vec{B_1C}| \cdot |\vec{KD}|}\)

4. Находим длины векторов и их скалярное произведение:

• • \(\vec{B_1C} \cdot \vec{KD} = 0 \cdot 0 + \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} + (-2\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = 6 + 2 \cdot 3 = 12\).
• • \(|\vec{B_1C}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{6})^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 12} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
• • \(|\vec{KD}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3\).

\(\cos \phi = \frac{12}{3\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{12}{9\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Ответ: \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

1. Чтобы шахматист А. выиграл обе партии, должны произойти два события одновременно:

• • Событие 1: А. выигрывает партию, играя белыми (\(P_1 = 0,4\)).
• • Событие 2: А. выигрывает партию, играя чёрными (\(P_2 = 0,2\)).

2. Поскольку результат одной партии не влияет на вероятность выигрыша в другой (по условию заданы фиксированные вероятности для цвета), эти события являются независимыми.

3. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

\(P = P_1 \cdot P_2\)

\(P = 0,4 \cdot 0,2 = 0,08\)

Ответ: 0,08