Тренировочный вариант №335 с ответами профильного ЕГЭ по математике в 2026 году

\(\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\)

3. Связываем углы через заданную разность:
Угол между медианой и биссектрисой равен разности угла, который образует медиана с катетом, и угла биссектрисы с этим же катетом:

\(\alpha — 45^\circ = 14^\circ\)

\(\alpha = 45^\circ + 14^\circ = 59^\circ\)

4. Находим второй (меньший) острый угол треугольника:
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому меньший угол равен:

\(90^\circ — 59^\circ = 31^\circ\)

Ответ: 31

• • \(\vec{a} = \{1; 3\}\)
• • \(\vec{b} = \{4; -2\}\)
• • \(\vec{c} = \{2; 0\}\)

2. Находим координаты вектора разности \(\vec{c} — \vec{b}\):
Вычитаем из координат вектора \(\vec{c}\) соответствующие координаты вектора \(\vec{b}\):

\(\vec{c} — \vec{b} = \{2 — 4; 0 — (-2)\} = \{-2; 2\}\)

3. Вычисляем скалярное произведение с вектором \(\vec{a}\):
Перемножаем одноимённые координаты и складываем полученные произведения:

\((\vec{c} — \vec{b}) \cdot \vec{a} = (-2) \cdot 1 + 2 \cdot 3\)

\((-2) \cdot 1 + 2 \cdot 3 = -2 + 6 = 4\)

Ответ: 4

1. Записываем формулу площади боковой поверхности конуса:

\(S = \pi \cdot R \cdot L\), где \(R\) — радиус основания, а \(L\) — образующая конуса

2. Анализируем изменение величин:
По условию задачи радиус \(R\) не меняется, а новая образующая \(L_2 = 3L\).
3. Находим отношение площадей:

\(S_2 = \pi \cdot R \cdot (3L) = 3 \cdot (\pi \cdot R \cdot L) = 3S\)

Ответ: Площадь увеличится в 3 раза

Ш-Н-Д, Н-Ш-Д, Д-Ш-Н, Д-Н-Ш, Ш-Д-Н, Н-Д-Ш

2. Определяем количество благоприятных исходов:
Условие «Дания выступает после Швеции и после Норвегии» означает, что среди этой тройки Дания должна занимать строго последнее (третье) место. Таких вариантов всего 2:

Ш-Н-Д и Н-Ш-Д

3. Вычисляем вероятность события:

\(P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,333…\)

4. Округляем результат до сотых:

\(P \approx 0,33\)

Ответ: 0,33

1. Находим общее количество фломастеров в коробке:

\(6 + 10 + 9 = 25\) шт.

2. Вычисляем общее количество способов выбрать 2 фломастера из 25:
Используем формулу сочетаний:

\(n = C_{25}^2 = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300\)

3. Вычисляем количество благоприятных исходов:
Нам нужно выбрать один синий фломастер (6 способов) и один красный (10 способов):

\(m = C_6^1 \cdot C_{10}^1 = 6 \cdot 10 = 60\)

4. Находим вероятность события:

\(P = \frac{m}{n} = \frac{60}{300} = \frac{1}{5} = 0,2\)

\(P = 0,2\)

Ответ: 0,2

\((x — 1)^3 = 2^3\)

2. Извлекаем кубический корень из обеих частей:
Так как степень нечётная, уравнение имеет единственный действительный корень:

\(x — 1 = 2\)

3. Находим \(x\):

\(x = 2 + 1\)

\(x = 3\)

Ответ: 3

\(2\sqrt{3} \cos^2 \frac{5\pi}{12} — \sqrt{3}\)

2. Вынесем общий множитель за скобки:

\(\sqrt{3} \cdot \left(2\cos^2 \frac{5\pi}{12} — 1\right)\)

3. Применим формулу косинуса двойного угла:
Вспомним тригонометрическое тождество \(2\cos^2 \alpha — 1 = \cos 2\alpha\). В нашем случае \(\alpha = \frac{5\pi}{12}\):

\(2\cos^2 \frac{5\pi}{12} — 1 = \cos\left(2 \cdot \frac{5\pi}{12}\right) = \cos \frac{5\pi}{6}\)

4. Находим табличное значение косинуса:

\(\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

5. Вычисляем итоговый результат:

\(\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2} = -1,5\)

Ответ: -1,5

• • Если функция в точке возрастает, то производная положительна (\(f'(x) > 0\))
• • Если функция в точке убывает, то производная отрицательна (\(f'(x) < 0\))

2. Анализируем поведение функции в отмеченных точках:

• • В точке \(-2\) функция возрастает, значит, производная в ней положительна
• • В точке \(4\) функция находится в окрестности локального минимума, касательная практически горизонтальна, значение близко к нулю
• • В точках \(-1\) и \(1\) график функции идёт вниз (убывает), следовательно, производные в них отрицательные

3. Выбираем точку с наименьшим значением:
Сравнивая точки убывания \(-1\) и \(1\), смотрим на крутизну спада графика. В точке \(-1\) график убывает значительно круче (наклон касательной более резкий вниз), а значит, угловой коэффициент принимает наиболее глубокое отрицательное значение.

Наименьшее значение производной в точке -1

Ответ: -1

1. Подставим известные значения в формулу:

\(84 = 0,7 \cdot \frac{4200 \cdot 0,3}{21} \cdot \log_2 \frac{60 — 20}{T — 20}\)

2. Упростим коэффициент перед логарифмом:

\(\frac{4200}{21} = 200\)

\(0,7 \cdot 200 \cdot 0,3 = 140 \cdot 0,3 = 42\)

Получаем уравнение:

\(84 = 42 \cdot \log_2 \frac{40}{T — 20}\)

3. Выразим логарифм:

\(\log_2 \frac{40}{T — 20} = \frac{84}{42} = 2\)

4. Перейдём к подлогарифмическому выражению:

\(\frac{40}{T — 20} = 2^2\)

\(\frac{40}{T — 20} = 4\)

\(4 \cdot (T — 20) = 40 \Rightarrow T — 20 = 10 \Rightarrow T = 30^\circ\text{C}\)

Ответ: 30

\(t_{\text{плота}} = \frac{24}{2} = 12\) часов

2. Определим общее время движения яхты:
Яхта вышла на 1 час позже плота, значит, она находилась в пути:

\(t_{\text{яхты}} = 12 — 1 = 11\) часов

3. Составим уравнение движения для яхты:
Пусть собственная скорость яхты равна \(v\) км/ч. Тогда её скорость по течению равна \(v + 2\) км/ч, а против течения — \(v — 2\) км/ч. Расстояние в одну сторону равно 120 км:

\(\frac{120}{v + 2} + \frac{120}{v — 2} = 11\)

4. Решим полученное уравнение:

\(\frac{120(v — 2) + 120(v + 2)}{(v + 2)(v — 2)} = 11\)

\(\frac{240v}{v^2 — 4} = 11 \Rightarrow 11v^2 — 44 = 240v\)

\(11v^2 — 240v — 44 = 0\)

Найдем дискриминант:

\(D = (-240)^2 — 4 \cdot 11 \cdot (-44) = 57600 + 1936 = 59536 = 244^2\)

Находим положительный корень:

\(v = \frac{240 + 244}{22} = \frac{484}{22} = 22\) км/ч

Ответ: 22

\(4 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 8 \Rightarrow f(x) = \frac{8}{x}\)

2. Определим коэффициенты \(a\) и \(b\) прямой:
Прямая проходит через точку \(A(2; 4)\) и ещё одну целочисленную точку, например \((-2; 1)\). Составим систему уравнений:

• • \(2a + b = 4\)
• • \(-2a + b = 1\)

Складывая уравнения, получаем: \(2b = 5 \Rightarrow b = 2,5\). Тогда \(2a = 4 — 2,5 = 1,5 \Rightarrow a = 0,75\). Уравнение прямой:

\(g(x) = 0,75x + 2,5 = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2}\)

3. Найдем точки пересечения графиков:
Приравняем правые части функций:

\(\frac{8}{x} = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2}\)

Умножим обе части уравнения на \(4x\) (при условии \(x \neq 0\)):

\(32 = 3x^2 + 10x \Rightarrow 3x^2 + 10x — 32 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 100 + 384 = 484 = 22^2\)

\(x_1 = \frac{-10 + 22}{6} = 2 \quad (\text{абсцисса точки } A)\)

\(x_2 = \frac{-10 — 22}{6} = -5,33…\)

Уточним координаты по рисунку: точка пересечения имеет целую координату. Пересчитаем по точкам: прямая пересекает ось ординат в точке \((0; 3)\), значит, \(b=3\). Из точки \((2;4)\) угловой коэффициент \(a = \frac{4-3}{2-0} = 0,5\). Уравнение прямой: \(g(x) = 0,5x + 3\).
Приравниваем заново:

\(\frac{8}{x} = 0,5x + 3 \Rightarrow 8 = 0,5x^2 + 3x \Rightarrow x^2 + 6x — 16 = 0\)

По теореме Виета:

\(x_1 = 2, \quad x_2 = -8\)

Абсцисса второй точки пересечения (точки B) равна \(-8\).

Ответ: -8

\((x — 2)^2 e^{x — 2} = 0 \Rightarrow x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)

3. Проверим принадлежность точки отрезку:
Точка \(x = 2\) принадлежит заданному отрезку \([1; 4]\). Так как в этой точке функция достигает своего минимально возможного значения (нуля), вычислять производную нет необходимости.

\(y(2) = (2 — 2)^2 e^{2 — 2} = 0 \cdot 1 = 0\)

\(y_{\text{наим}} = 0\)

Ответ: 0

\(5^{4\sin^2 x — 1} \cdot 7^{2\sin x — 1} = 1\)

Разложим показатель степени у пятерки как разность квадратов: \(4\sin^2 x — 1 = (2\sin x — 1)(2\sin x + 1)\). Тогда уравнение примет вид:

\(5^{(2\sin x — 1)(2\sin x + 1)} \cdot 7^{2\sin x — 1} = 1\)

Прологарифмируем обе части по основанию 5 или заметим, что равенство единице при положительных основаниях степеней возможно, если общий множитель в показателях равен нулю. Вынесем общую часть:

\((2\sin x — 1) \cdot \log_5(5^{2\sin x + 1} \cdot 7) = 0\)

Отсюда получаем два случая. Первый случай:

\(2\sin x — 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}\)

\(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Второй случай: \(5^{2\sin x + 1} \cdot 7 = 1 \Rightarrow 5^{2\sin x + 1} = \frac{1}{7} \Rightarrow 2\sin x + 1 = \log_5 \frac{1}{7} = -\log_5 7\).
Отсюда \(\sin x = \frac{-1 — \log_5 7}{2}\). Поскольку \(\log_5 7 > 1\), то \(\frac{-1 — \log_5 7}{2} < -1\), что не имеет решений, так как синус ограничен пределами от -1 до 1.
2. Произведём отбор корней (пункт б):
Нам нужно найти корни на отрезке \([-\pi; \frac{5\pi}{2}]\) для серий \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\):

• • При \(k = -1\): \(x = \frac{\pi}{6} — 2\pi = -\frac{11\pi}{6}\) (вне отрезка); \(x = \frac{5\pi}{6} — 2\pi = -\frac{7\pi}{6}\) (вне отрезка)
• • При \(k = 0\): \(x = \frac{\pi}{6}\) (внутри отрезка); \(x = \frac{5\pi}{6}\) (внутри отрезка)
• • При \(k = 1\): \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}\) (внутри отрезка); \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}\) (вне отрезка, так как \(\frac{17\pi}{6} > \frac{15\pi}{6}\))

Ответ:
а) \(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \,\, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \,\, k \in \mathbb{Z}\)
б) \(\frac{\pi}{6}, \,\, \frac{5\pi}{6}, \,\, \frac{13\pi}{6}\)

• • Для большего конуса: \(H_1 = R \cdot \tan 60^\circ = R\sqrt{3}\)
• • Для меньшего конуса: \(H_2 = R \cdot \tan 30^\circ = \frac{R}{\sqrt{3}}\)

Найдем отношение высот:

\(\frac{H_1}{H_2} = \frac{R\sqrt{3}}{\frac{R}{\sqrt{3}}} = 3 \Rightarrow H_1 = 3H_2\)

Вершина меньшего конуса лежит на высоте большего. Расстояние от вершины большего конуса до вершины меньшего конуса равно:

\(H_1 — H_2 = 3H_2 — H_2 = 2H_2\)

Таким образом, вершина меньшего конуса делит высоту большего на отрезки длиной \(2H_2\) и \(H_2\), что дает отношение \(\frac{2H_2}{H_2} = \frac{2}{1}\). Пункт а доказан.
2. Найдем объем тела в пункте б:
Из условия известна сумма высот: \(H_1 + H_2 = 4\). Подставим \(H_1 = 3H_2\):

\(3H_2 + H_2 = 4 \Rightarrow 4H_2 = 4 \Rightarrow H_2 = 1, \quad H_1 = 3\)

Найдем радиус основания \(R\): \(H_2 = \frac{R}{\sqrt{3}} \Rightarrow 1 = \frac{R}{\sqrt{3}} \Rightarrow R = \sqrt{3}\).
Объем тела, заключенного между боковыми поверхностями, равен разности объемов большего и меньшего конусов:

\(V = V_1 — V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 H_1 — \frac{1}{3}\pi R^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (H_1 — H_2)\)

Подставим значения \(R = \sqrt{3}\), \(H_1 = 3\) и \(H_2 = 1\):

\(V = \frac{1}{3}\pi (\sqrt{3})^2 (3 — 1) = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot 2 = 2\pi\)

Ответ: 2\(\pi\)

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

\(x > 0, \quad 2x \neq 1, \quad 4x \neq 1 \Rightarrow x \in (0; 0,25) \cup (0,25; 0,5) \cup (0,5; +\infty)\)

2. Приведем все логарифмы к основанию 2:

\(\log_{2x} 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2(2x)} = \frac{2}{1 + \log_2 x}\)

\(\log_{4x} 2 = \frac{1}{\log_2(4x)} = \frac{1}{2 + \log_2 x}\)

3. Выполним замену переменной:
Пусть \(\log_2 x = t\). Неравенство принимает вид:

\(\frac{2}{1 + t} + 3t — \frac{6}{2 + t} \leq 0\)

Приведем дроби к общему знаменателю \((1 + t)(2 + t)\):

\(\frac{2(2 + t) + 3t(1 + t)(2 + t) — 6(1 + t)}{(1 + t)(2 + t)} \leq 0\)

Раскроем скобки в числителе: \(4 + 2t + 3t(t^2 + 3t + 2) — 6 — 6t = 3t^3 + 9t^2 + 2t — 2\).
Разложим числитель на множители: \(3t^3 + 3t^2 + 6t^2 + 6t — 4t — 4 = 3t^2(t + 1) + 6t(t + 1) — 4(t + 1) = (t + 1)(3t^2 + 6t — 4)\).
Неравенство примет вид:

\(\frac{(t + 1)(3t^2 + 6t — 4)}{(1 + t)(2 + t)} \leq 0\)

Сократим на \((t + 1)\) при условии \(t \neq -1\):

\(\frac{3t^2 + 6t — 4}{t + 2} \leq 0\)

4. Решим методом интервалов:
Корни числителя: \(3t^2 + 6t — 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{3} = -1 \pm \frac{\sqrt{21}}{3}\). Корень знаменателя: \(t = -2\).
С учетом знаков интервалов получаем: \(t \in (-\infty; -2) \cup [-1 — \frac{\sqrt{21}}{3}; -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}]\).
Исключая точку \(t = -1\), производим обратную замену для \(x = 2^t\).

Ответ: \((0; 0,25) \cup [2^{-1-\frac{\sqrt{21}}{3}}; 0,5) \cup (0,5; 2^{-1+\frac{\sqrt{21}}{3}}]\)

\(P = 0,3 \cdot \left(S + (S — \frac{S}{n}) + … + \frac{S}{n}\right) = 0,3 \cdot \frac{S + \frac{S}{n}}{2} \cdot n = 0,3 \cdot \frac{S(n + 1)}{2}\)

3. Составим уравнение для общей суммы выплат:
Общая сумма выплат состоит из тела кредита \(S\) и всех начисленных процентов \(P\):

\(S + 0,3 \cdot \frac{S(n + 1)}{2} = 47\)

Подставим \(S = 20\):

\(20 + 0,3 \cdot \frac{20(n + 1)}{2} = 47\)

\(20 + 3(n + 1) = 47\)

\(3(n + 1) = 27 \Rightarrow n + 1 = 9 \Rightarrow n = 8\) лет

Ответ: 8

\(15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 = 17^2\)

Следовательно, \(\angle B = 90^\circ\). Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(B(0;0)\). Тогда координаты вершин: \(B(0;0)\), \(A(0;15)\), \(C(8;0)\).
Так как \(BC_1 = BC = 8\), а точка \(C_1\) лежит на отрезке \(AB\), её координаты \(C_1(0;8)\).
Точка \(B_1\) лежит на \(AC\). Используя векторный метод или деление отрезка в отношении, находим координаты \(B_1\). Длина \(AC = 17\), \(CB_1 = BC = 8\), значит, \(AB_1 = 17 — 8 = 9\). Точка \(B_1\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(9:8\). Координаты \(B_1\):

\(x = \frac{9 \cdot 8 + 8 \cdot 0}{17} = \frac{72}{17}, \quad y = \frac{9 \cdot 0 + 8 \cdot 15}{17} = \frac{120}{17}\)

Найдём направляющие векторы прямых \(\vec{CC_1} = \{-8; 8\}\) и \(\vec{BB_1} = \{\frac{72}{17}; \frac{120}{17}\}\). Для упрощения вычислений возьмем коллинеарные им векторы \(\vec{u} = \{-1; 1\}\) и \(\vec{v} = \{3; 5\}\).
Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами:

\(\cos \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{|-1 \cdot 3 + 1 \cdot 5|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{3^2 + 5^2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{34}} = \frac{2}{\sqrt{68}} = \frac{2}{2\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{17}}{17}\)

\(t^2 — 7t + 4a^2 + 4 = 0\)

2. Исследуем свойства функции \(t(x)\):
По свойству модуля (неравенство треугольника) минимальное значение выражения \(t = |x — a^2| + |x + 1|\) равно расстоянию между точками \(-1\) и \(a^2\) на числовой прямой:

\(t_{\text{min}} = a^2 — (-1) = a^2 + 1\)

При этом график функции \(t(x)\) («корыто») имеет горизонтальное дно при \(t = a^2 + 1\). Следовательно:

• • Если \(t < a^2 + 1\), уравнение решений не имеет
• • Если \(t = a^2 + 1\), уравнение имеет бесконечно много решений (весь отрезок между корнями)
• • Если \(t > a^2 + 1\), уравнение \(t(x) = \text{const}\) имеет ровно 2 различных решения (на боковых «ветвях»)

3. Перейдём к условию для параметра:
Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, квадратное уравнение относительно \(t\) должно иметь ровно один корень, строго больший чем \(a^2 + 1\), а второй корень должен быть строго меньше \(a^2 + 1\) (либо отсутствовать).
Пусть \(f(t) = t^2 — 7t + 4a^2 + 4\). Граничное значение \(t_0 = a^2 + 1\). Заметим, что выразив параметр, можно переписать уравнение как:

\(4a^2 = -t^2 + 7t — 4\)

Корни исходного уравнения будут определяться условием взаимного расположения \(t_1, t_2\) и границы \(a^2 + 1\). Проведя подстановку \(t = a^2 + 1\) в уравнение:

\((a^2 + 1)^2 — 7(a^2 + 1) + 4a^2 + 4 = 0\)

\(a^4 + 2a^2 + 1 — 7a^2 — 7 + 4a^2 + 4 = 0 \Rightarrow a^4 — a^2 — 2 = 0\)

Решая как биквадратное, получаем \(a^2 = 2\) или \(a^2 = -1\) (нет корней). Значит, при \(a = \pm\sqrt{2}\) один из корней равен нижней границе, что дает бесконечно много решений.
Для ровно двух решений необходимо, чтобы выполнялось условие расположения корней \(t_1 < a^2 + 1 < t_2\), что равносильно условию \(f(a^2 + 1) < 0\):

\(a^4 — a^2 — 2 < 0 \Rightarrow (a^2 — 2)(a^2 + 1) < 0 \Rightarrow a^2 < 2\)

Учитывая, что дискриминант квадратного уравнения должен быть положителен \(D = 49 — 4(4a^2 + 4) = 33 — 16a^2 > 0 \Rightarrow a^2 < \frac{33}{16}\). Так как \(2 < \frac{33}{16}\) (\(2 < 2,0625\)), то условие \(a^2 < 2\) полностью обеспечивает наличие двух корней \(t\). Таким образом, нам подходит интервал \(a^2 < 2\), то есть \(-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}\).

Ответ: \((-\sqrt{2}; \sqrt{2})\)

• • Вариант 1: Одно число 2, одно число 41 и четыре единицы. Набор: 1, 1, 1, 1, 2, 41
• • Вариант 2: Одно число 82 и пять единиц. Набор: 1, 1, 1, 1, 1, 82

Других делителей у числа 82 нет, поэтому иные комбинации натуральных чисел составить невозможно.

Ответ:
а) 2, 3, 3, 5
б) нет
в) 1, 1, 1, 1, 2, 41 или 1, 1, 1, 1, 1, 82