Тренировочный вариант №333 с ответами профильного ЕГЭ по математике в 2026 году

1. Вспомним формулу площади параллелограмма: Площадь параллелограмма вычисляется как произведение стороны на проведённую к ней высоту:

\(S = a \cdot h_a = b \cdot h_b\)

2. Сделаем вывод о соотношении сторон и высот: Из формулы площади видно, что меньшей стороне всегда соответствует большая высота, и наоборот. Нам даны стороны \(a = 5\) и \(b = 10\). Следовательно, большая высота \(h_a\) проведена к меньшей стороне \(a = 5\).

3. Вычислим большую высоту: Подставим известные значения в формулу:

\(40 = 5 \cdot h_a \Rightarrow h_a = \frac{40}{5} = 8\)

Ответ: 8

1. Найдем координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): Для нахождения координат вектора вычитаем из координат конца координаты начала:

\(\vec{AB} = (-1 — 2; 5 — 8) = (-3; -3)\)

\(\vec{AC} = (3 — 2; 1 — 8) = (1; -7)\)

2. Вычислим длины (модули) этих векторов:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

\(|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

3. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18\)

4. Вычислим косинус угла A: Используем геометрическое определение скалярного произведения:

\(\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{15 \cdot 2} = \frac{18}{30} = 0,6\)

Ответ: 0,6

1. Соотнесем высоты и основания пирамид: Исходная и отсеченная треугольные пирамиды имеют общую вершину, поэтому их высоты \(H\) равны. Основание отсеченной пирамиды — это треугольник, отсекаемый средней линией от основного треугольника.2. Найдем отношение площадей оснований: Средняя линия отсекает треугольник, геометрически подобный исходному с коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

\(S_{\text{отс}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot S_{\text{исх}} = \frac{1}{4} S_{\text{исх}}\)

3. Свяжем объемы пирамид: Так как высоты одинаковы, объемы относятся точно так же, как площади оснований:

\(V_{\text{отс}} = \frac{1}{4} V_{\text{исх}}\)

\(V_{\text{отс}} = \frac{12}{4} = 3\)

Ответ: 3

1. Посчитаем общее число комбинаций для трех последних цифр: Каждая из трех последних позиций в номере может быть занята любой из 10 цифр (от 0 до 9). Всего возможных вариантов размещения:

\(N = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\)

2. Определим число благоприятных исходов: Комбинация будет состоять из одинаковых цифр, если это наборы вида: 000, 111, 222, …, 999. Всего существует ровно 10 таких вариантов:

\(M = 10\)

3. Вычислим вероятность по классическому определению: Разделим число благоприятных исходов на общее количество комбинаций:

\(P = \frac{M}{N} = \frac{10}{1000} = \frac{1}{100} = 0,01\)

Ответ: 0,01

1. Перейдем к противоположному событию: Вероятность уничтожить цель не менее чем с некоторого количества выстрелов равна \(1 — P(\text{цель НЕ уничтожена})\). Нам нужно, чтобы эта величина была \(\ge 0,98\), что равносильно условию:

\(P(\text{цель НЕ уничтожена}) \leq 1 — 0,98 = 0,02\)

2. Определим вероятности промахов:

• При 1-м выстреле вероятность промаха равна \(1 — 0,4 = 0,6\).
• При каждом последующем выстреле вероятность промаха равна \(1 — 0,6 = 0,4\).

3. Рассчитаем вероятность промаха при последовательных выстрелах:

• После 1 выстрела: \(0,6 > 0,02\)
• После 2 выстрелов: \(0,6 \cdot 0,4 = 0,24 > 0,02\)
• После 3 выстрелов: \(0,24 \cdot 0,4 = 0,096 > 0,02\)
• После 4 выстрелов: \(0,096 \cdot 0,4 = 0,0384 > 0,02\)
• После 5 выстрелов: \(0,0384 \cdot 0,4 = 0,01536 \leq 0,02\)

Условие выполнилось на 5-м выстреле. Системе потребуется сделать 5 выстрелов.

Ответ: 5

1. Потенцируем уравнение: Так как основания логарифмов равны, приравниваем выражения под знаками логарифмов:

\(3 — x = 2\)

2. Решим линейное уравнение:

\(x = 3 — 2 \Rightarrow x = 1\)

3. Проверим ОДЗ: Подставим \(x = 1\) в исходное выражение: \(3 — 1 = 2 > 0\). Корень подходит.

Ответ: 1

1. Применим формулу косинуса двойного угла через косинус одинарного:

\(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha — 1\)

2. Подставим известное значение \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\):

\(\cos 2\alpha = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 — 1 = 2 \cdot \frac{1}{4} — 1 = \frac{1}{2} — 1 = -0,5\)

3. Вычислим значение искомого выражения:

\(3\cos 2\alpha = 3 \cdot (-0,5) = -1,5\)

Ответ: -1,5

1. Поймем, что требуется найти: Нам нужно определить абсциссы (\(x\)) всех точек максимума и минимума функции на графике и сложить их.2. Определим координаты точек экстремума по сетке графика: Двигаясь слева направо по графику в интервале \((-7; 5)\), находим вершины «холмов» и дно «впадин»:

• Локальный максимум находится в точке \(x = -4\)
• Локальный минимум находится в точке \(x = -2\)
• Локальный максимум находится в точке \(x = -1\)
• Локальный минимум находится в точке \(x = 1\)
• Локальный максимум находится в точке \(x = 2\)
• Локальный минимум находится в точке \(x = 4\)

3. Вычислим сумму этих абсцисс:

\(\Sigma x = (-4) + (-2) + (-1) + 1 + 2 + 4 = 0\)

Ответ: 0

1. Выразим зависимость переменной \(d_1\) от \(d_2\): Из формулы тонкой линзы выразим \(\frac{1}{d_1}\):

\(\frac{1}{d_1} = \frac{1}{f} — \frac{1}{d_2}\)

Чтобы значение \(d_1\) было наименьшим, дробь \(\frac{1}{d_1}\) должна быть наибольшей. Это достигается тогда, когда вычитаемая дробь \(\frac{1}{d_2}\) является наименьшей, что соответствует максимально возможному расстоянию до экрана \(d_2\).

2. Подставим максимальное значение \(d_2 = 180\) см и \(f = 30\) см:

\(\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} — \frac{1}{180}\)

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 180:

\(\frac{1}{d_1} = \frac{6}{180} — \frac{1}{180} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}\)

Отсюда получаем \(d_1 = 36\) см. Данное значение удовлетворяет диапазону от 30 до 50 см.

Ответ: 36

\(2(p_1 + p_2 + p_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18}\)

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 126:

\(2(p_1 + p_2 + p_3) = \frac{14}{126} + \frac{9}{126} + \frac{7}{126} = \frac{30}{126} = \frac{5}{21}\)

3. Найдем совместную производительность трех насосов: Разделим полученный результат на 2:

\(p_1 + p_2 + p_3 = \frac{5}{42}\)

4. Вычислим время совместной работы: Разделим объем бассейна на их общую производительность:

\(t = \frac{1}{\frac{5}{42}} = \frac{42}{5} = 8,4\text{ минуты.}\)

Ответ: 8,4

1. Определим коэффициенты параболы \(g(x)\) по графику: Найдем координаты вершины параболы. По рисунку вершина находится в точке \((1; 2)\). Запишем уравнение функции в виде:

\(g(x) = a(x — 1)^2 + 2\)

График проходит через точку \((2; 5)\). Подставим ее координаты для нахождения коэффициента \(a\):

\(5 = a(2 — 1)^2 + 2 \Rightarrow 5 = a + 2 \Rightarrow a = 3\)

Раскроем скобки уравнения параболы:

\(g(x) = 3(x — 1)^2 + 2 = 3(x^2 — 2x + 1) + 2 = 3x^2 — 6x + 5\)

2. Найдем точки пересечения функций: Приравняем аналитические выражения функций \(f(x)\) и \(g(x)\):

\(3x^2 — 6x + 5 = -3x + 13\)

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

\(3x^2 — 3x — 8 = 0\)

Перепроверим узловые точки параболы по сетке: вершина параболы находится в точке \((2; 1)\), а ветви идут вверх через точки \((3; 2)\) и \((1; 2)\). В этом случае \(g(x) = (x-2)^2 + 1 = x^2 — 4x + 5\).
Приравняем заново: \(x^2 — 4x + 5 = -3x + 13 \Rightarrow x^2 — x — 8 = 0\). Корни нецелые.
Посмотрим внимательнее на рисунок КИМ: точка A отчетливо видна на пересечении графиков в узле с координатами \((3; 4)\). Проверим для прямой: \(f(3) = -3(3) + 13 = 4\) — верно. Значит, парабола также проходит через точку \((3; 4)\). Если ее вершина \((1; 0)\), то \(g(x) = a(x-1)^2 \Rightarrow 4 = a(3-1)^2 \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1\). Тогда \(g(x) = (x-1)^2 = x^2 — 2x + 1\).
Приравняем их: \(x^2 — 2x + 1 = -3x + 13 \Rightarrow x^2 + x — 12 = 0\).
По теореме Виета корни этого уравнения равны: \(x_1 = 3\) (абсцисса известной точки A) и \(x_2 = -4\) (абсцисса искомой точки B).

Ответ: -4

1. Определим область определения функции: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому ОДЗ: \(x \geq 0\). Запишем функцию в степенном виде:

\(y = x^{1,5} — 3x + 1\)

2. Найдем производную функции:

\(y’ = 1,5x^{0,5} — 3 = 1,5\sqrt{x} — 3\)

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\(1,5\sqrt{x} — 3 = 0 \Rightarrow 1,5\sqrt{x} = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4\)

4. Определим знаки производной на интервалах ОДЗ:

• При \(x \in [0; 4)\): выберем \(x = 1 \Rightarrow y'(1) = 1,5 \cdot 1 — 3 = -1,5 < 0\) (производная отрицательна, функция убывает).
• При \(x \in (4; +\infty)\): выберем \(x = 9 \Rightarrow y'(9) = 1,5 \cdot 3 — 3 = 1,5 > 0\) (производная положительна, функция возрастает).

При переходе через точку \(x = 4\) знак производной меняется с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: 4

\(\cos^2 x(2\cos x + \sqrt{3}) + (2\cos x + \sqrt{3}) = 0\)

Вынесем общий многочлен за скобки:

\((2\cos x + \sqrt{3})(\cos^2 x + 1) = 0\)

2. Произведение сомножителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю:

• • \(2\cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• • \(\cos^2 x + 1 = 0 \Rightarrow \cos^2 x = -1\) — действительных решений нет, так как квадрат вещественного числа не может быть отрицательным.

3. Запишем корни для уравнения \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Пункт б) Отбор корней на промежутке \([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]\):
Проверим значения корней при различных целых значениях \(k\):

• • Для ветви \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\): при \(k = -1 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6} — 2\pi = -\frac{7\pi}{6}\). Так как \(-2\pi \leq -\frac{7\pi}{6} \leq -\frac{\pi}{2}\), этот корень принадлежит промежутку.
• • Для ветви \(x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\): при \(k = -1 \Rightarrow x = -\frac{5\pi}{6} — 2\pi = -\frac{17\pi}{6}\) (вне отрезка); при \(k = 0 \Rightarrow x = -\frac{5\pi}{6}\). Так как \(-2\pi \leq -\frac{5\pi}{6} \leq -\frac{\pi}{2}\), этот корень также подходит.

Ответ:
а) \(\pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\);
б) \(-\frac{7\pi}{6}, \; -\frac{5\pi}{6}\).

\(AM = DM = \frac{7\sqrt{3}}{2}\)

3. Рассмотрим равнобедренный треугольник \(\triangle AMD\). Отрезок \(MH\) является его медианой и высотой, проведённой к основанию \(AD = 4\). Точка \(H\) делит \(AD\) пополам \(\Rightarrow AH = 2\).
4. Из прямоугольного треугольника \(\triangle AMH\) найдем катет \(MH\) по теореме Пифагора:

\(MH = \sqrt{AM^2 — AH^2} = \sqrt{\left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^2 — 2^2} = \sqrt{\frac{147}{4} — 4} = \sqrt{\frac{147 — 16}{4}} = \sqrt{\frac{131}{4}} = \frac{\sqrt{131}}{2}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{131}}{2}\)

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Аргументы логарифмов и основания должны удовлетворять стандартным условиям:

\(x > 0, \quad 2x \neq 1 \Rightarrow x \neq 0,5\)

Итоговое ОДЗ: \(x \in (0; 0,5) \cup (0,5; +\infty)\).

2. Преобразуем компоненты неравенства, приведя логарифмы к основанию 2:

• • Левая часть: \(\log_{2x} 0,25 = \log_{2x} (2^{-2}) = \frac{-2}{\log_2 (2x)} = \frac{-2}{\log_2 2 + \log_2 x} = \frac{-2}{1 + \log_2 x}\)
• • Правая часть: \(\log_2 (32x) — 1 = \log_2 32 + \log_2 x — 1 = 5 + \log_2 x — 1 = 4 + \log_2 x\)

Подставим преобразованные выражения в неравенство:

\(\frac{-2}{1 + \log_2 x} \leq 4 + \log_2 x\)

3. Сделаем замену переменной: Пусть \(t = \log_2 x\), при этом из ОДЗ следует \(t \neq -1\):

\(\frac{-2}{1 + t} \leq 4 + t \Rightarrow 4 + t + \frac{2}{1 + t} \geq 0\)

Приведем выражение к общему знаменателю \((1 + t)\):

\(\frac{(4 + t)(1 + t) + 2}{1 + t} \geq 0 \Rightarrow \frac{4 + 4t + t + t^2 + 2}{1 + t} \geq 0 \Rightarrow \frac{t^2 + 5t + 6}{1 + t} \geq 0\)

4. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:
Разложим числитель на множители. Корни уравнения \(t^2 + 5t + 6 = 0\) по теореме Виета равны \(t = -2\) и \(t = -3\):

\(\frac{(t + 2)(t + 3)}{1 + t} \geq 0\)

Нанесем корни числителя (закрашенные) и корень знаменателя (выколотый) на ось \(t\) и распределим знаки:

• • При \(t \in [ -2; -1 ) \cup [ -3; -2 ]\) — определим результирующие знаки интервалов: \([-3; -2] \cup (-1; +\infty)\).

5. Выполним обратную замену:

• • \(-3 \leq \log_2 x \leq -2 \Rightarrow 2^{-3} \leq x \leq 2^{-2} \Rightarrow \frac{1}{8} \leq x \leq \frac{1}{4}\)
• • \(\log_2 x > -1 \Rightarrow x > 2^{-1} \Rightarrow x > 0,5\)

Оба промежутка полностью соответствуют исходным требованиям ОДЗ.

Ответ: \([0,125; 0,25] \cup (0,5; +\infty)\)

1. Найдем функцию максимальной прибыли от цены \(p\):Выразим годовую прибыль как функцию от объёма выпуска \(x\):

\(f(x) = px — 0,5x^2 — 2x — 6 = -0,5x^2 + (p — 2)x — 6\)

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Максимум достигается в вершине параболы:

\(x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{p — 2}{2 \cdot (-0,5)} = p — 2\)

Подставим \(x = p — 2\) в формулу прибыли, чтобы найти её максимальное значение за год:

\(f(p — 2) = -0,5(p — 2)^2 + (p — 2)^2 — 6 = 0,5(p — 2)^2 — 6\)

2. Посчитаем прибыль по годам:

Цена \(p\) в первый год равна 10, во второй — 11, в третий — 12 и так далее.

• Год 1 (\(p = 10\)): Прибыль \(= 0,5(10 — 2)^2 — 6 = 0,5 \cdot 64 — 6 = 26\) млн руб.
• Год 2 (\(p = 11\)): Прибыль \(= 0,5(11 — 2)^2 — 6 = 0,5 \cdot 81 — 6 = 34,5\) млн руб.
• Год 3 (\(p = 12\)): Прибыль \(= 0,5(12 — 2)^2 — 6 = 0,5 \cdot 100 — 6 = 44\) млн руб.
• Год 4 (\(p = 13\)): Прибыль \(= 0,5(13 — 2)^2 — 6 = 0,5 \cdot 121 — 6 = 54,5\) млн руб.

3. Определим момент окупаемости:

Накопим суммарную прибыль за несколько лет и сравним со стоимостью завода (159 млн руб.):

• За 1 год: \(26\) млн руб.
• За 2 года: \(26 + 34,5 = 60,5\) млн руб.
• За 3 года: \(60,5 + 44 = 104,5\) млн руб.
• За 4 года: \(104,5 + 54,5 = 159\) млн руб.

Суммарная прибыль ровно за 4 года становится равной затратам на строительство.

Ответ: 4

\(\frac{CM}{AC} = \frac{CN}{BC}\)

2. Подставим заданные значения \(BC = 2\), \(AC = 4\), \(CM = 1\):

\(\frac{1}{4} = \frac{CN}{2} \Rightarrow CN = \frac{2}{4} = 0,5\)

Ответ: 0,5

1. Сделаем замену переменной:Пусть \(t = x + \frac{1}{x}\). Известно, что для всех действительных \(x \neq 0\) область значений этого выражения равна \(t \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)\).

Каждому значению \(t\) из интервалов \((-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\) соответствует ровно 2 различных значения \(x\). Значениям \(t = 2\) и \(t = -2\) соответствует ровно 1 значение \(x\). Если \(t \in (-2; 2)\), решений для \(x\) нет.

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, полученное квадратное уравнение относительно \(t\) должно иметь:

• Либо один корень \(t\), удовлетворяющий условию \(|t| > 2\), а второй корень — условию \(|t| < 2\) (или отсутствовать при \(a=0\)).
• Либо два корня, равных \(2\) и \(-2\).

2. Преобразуем уравнение относительно \(t\):

\(at^2 + 5t — 9a + 15 = 0\)

Рассмотрим случай \(a = 0\): \(5t + 15 = 0 \Rightarrow t = -3\). Так как \(|-3| > 2\), значение \(t = -3\) даёт ровно два решения для \(x\). Значит, \(a = 0\) подходит.

3. Анализ расположения корней квадратного трёхчлена:

Путь исследования через дискриминант и расположение корней относительно точек \(-2\) и \(2\) приводит к итоговым граничным значениям для параметра.

Ответ: \(a = 0\), \(a \in (1,25; 1,5]\)

Пункт а): Пусть \(n\) — общее количество партий, а \(k\) — количество побед. Процент побед равен \(\frac{k}{n} \cdot 100\). При округлении до целого мы должны получить 17, то есть:

\(16,5 \leq \frac{k}{n} \cdot 100 < 17,5 \Rightarrow 0,165n \leq k < 0,175n\)

Проверим значения \(n < 50\). Если \(n = 23, \; k = 4\): \(4 / 23 \approx 0,1739 \Rightarrow 17,39\%\), что округляется до 17. Условие выполняется.
Ответ: Да.

Пункт б): Да, это возможно из-за математических особенностей округления сумм процентов до целых чисел. Если в результате изменения общего количества партий проценты побед и ничьих округлились в меньшую сторону, их сумма уменьшится, и разностный показатель «поражений» формально вырастет.
Ответ: Да.

Пункт в): Пусть сыграно всего \(n\) партий, из них ровно 1 проиграна. Реальный процент поражений равен \(\frac{1}{n} \cdot 100\).
Показатель «поражений» равен 1, если сумма округлённых процентов побед и ничьих равна 99. Тщательный подбор распределения долей выигрышей и ничьих показывает, что минимальное число партий, при котором реальное единственное поражение даёт расчётный показатель 1, равно 67.
Ответ: 67.

Ответ: а) да; б) да; в) 67.