Условие задачи
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм ABCD. Во сколько раз сторона AD меньше высоты параллелограмма, проведённой к этой стороне?
Решение задачи
Нам необходимо найти, во сколько раз высота параллелограмма \(h\), проведённая к стороне \(AD\), больше самой этой стороны.
1. Нахождение длины стороны \(AD\):
По клеточкам видно, что для перемещения из \(A\) в \(D\) нужно пройти 2 единицы вправо и 3 единицы вниз. По теореме Пифагора:
\[AD = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]
По клеточкам видно, что для перемещения из \(A\) в \(D\) нужно пройти 2 единицы вправо и 3 единицы вниз. По теореме Пифагора:
\[AD = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]
2. Нахождение площади параллелограмма \(S\):
Используем векторы \(\vec{AD}(2; -3)\) и \(\vec{AB}(8; 1)\). Площадь равна модулю их определителя:
\[S = |2 \cdot 1 — 8 \cdot (-3)| = |2 + 24| = 26\]
Используем векторы \(\vec{AD}(2; -3)\) и \(\vec{AB}(8; 1)\). Площадь равна модулю их определителя:
\[S = |2 \cdot 1 — 8 \cdot (-3)| = |2 + 24| = 26\]
3. Нахождение высоты \(h\):
Из формулы площади \(S = AD \cdot h\) выразим высоту:
\[h = \frac{S}{AD} = \frac{26}{\sqrt{13}}\]
Из формулы площади \(S = AD \cdot h\) выразим высоту:
\[h = \frac{S}{AD} = \frac{26}{\sqrt{13}}\]
4. Отношение высоты к стороне:
Вычислим, во сколько раз высота больше стороны:
\[\frac{h}{AD} = \frac{26 / \sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{26}{13} = 2\]
Вычислим, во сколько раз высота больше стороны:
\[\frac{h}{AD} = \frac{26 / \sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{26}{13} = 2\]
Ответ: в 2 раза.