Задания 23 ОГЭ по математике – из открытого банка заданий ОГЭ математика 2026 ФИПИ

1. Находим гипотенузу по теореме Пифагора:

\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30\)

2. Выражаем высоту через площадь треугольника:

• • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \(S = \frac{1}{2}ab\)
• • С другой стороны, площадь равна половине произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту: \(S = \frac{1}{2}ch\)
• • Из равенства площадей получаем формулу для высоты: \(h = \frac{ab}{c}\)

3. Подставляем значения и вычисляем:

\(h = \frac{18 \cdot 24}{30} = \frac{432}{30} = 14,4\)

Ответ: 14,4

1. Находим гипотенузу по теореме Пифагора:

\(c = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35\)

2. Используем формулу высоты прямоугольного треугольника:

• • Высота, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: \(h = \frac{a \cdot b}{c}\)

3. Производим расчет:

\(h = \frac{21 \cdot 28}{35} = \frac{3 \cdot 28}{5} = \frac{84}{5} = 16,8\)

Ответ: 16,8

1. Находим гипотенузу треугольника:

\(c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\)

2. Вычисляем длину высоты:

• • Подставляем катеты и найденную гипотенузу в формулу \(h = \frac{a \cdot b}{c}\):

\(h = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12\)

Ответ: 12

1. Вычисляем гипотенузу по теореме Пифагора:

\(c = \sqrt{15^2 + 36^2} = \sqrt{225 + 1296} = \sqrt{1521} = 39\)

2. Находим высоту, проведённую к гипотенузе:

• • Применяем соотношение через площадь: \(h = \frac{a \cdot b}{c}\)
• • Подставляем числовые значения: \(h = \frac{15 \cdot 36}{39}\)
• • Сокращаем дробь на 3: \(\frac{15 \cdot 12}{13} = \frac{180}{13}\)

3. Итоговый результат:

\(h = \frac{180}{13}\)

Ответ: \(\frac{180}{13}\)

1. Находим гипотенузу по теореме Пифагора:

\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26\)

2. Применяем формулу высоты прямоугольного треугольника:

• • Высота, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов, деленному на саму гипотенузу: \(h = \frac{a \cdot b}{c}\)
• • Подставляем значения: \(h = \frac{10 \cdot 24}{26}\)
• • Сокращаем дробь на 2: \(\frac{10 \cdot 12}{13} = \frac{120}{13}\)

3. Итоговый результат:

\(h = \frac{120}{13}\)

Ответ: \(\frac{120}{13}\)

1. Находим второй катет по теореме Пифагора:

\(b = \sqrt{c^2 — a^2} = \sqrt{51^2 — 24^2} = \sqrt{(51 — 24)(51 + 24)} = \sqrt{27 \cdot 75} = \sqrt{2025} = 45\)

2. Находим высоту, проведённую к гипотенузе:

• • Используем известное соотношение через площадь: \(h = \frac{a \cdot b}{c}\)
• • Подставляем числовые значения: \(h = \frac{24 \cdot 45}{51}\)
• • Сокращаем дробь на 3: \(\frac{8 \cdot 45}{17} = \frac{360}{17}\)

3. Итоговый результат:

\(h = \frac{360}{17}\)

Ответ: \(\frac{360}{17}\)

1. Находим неизвестный катет:

\(b = \sqrt{34^2 — 16^2} = \sqrt{(34 — 16)(34 + 16)} = \sqrt{18 \cdot 50} = \sqrt{900} = 30\)

2. Вычисляем длину высоты:

• • Подставляем значения в формулу \(h = \frac{a \cdot b}{c}\): \(h = \frac{16 \cdot 30}{34}\)
• • Сокращаем дробь на 2: \(\frac{8 \cdot 30}{17} = \frac{240}{17}\)

3. Итоговый результат:

\(h = \frac{240}{17}\)

Ответ: \(\frac{240}{17}\)

1. Находим второй катет прямоугольного треугольника:

\(b = \sqrt{52^2 — 20^2} = \sqrt{(52 — 20)(52 + 20)} = \sqrt{32 \cdot 72} = \sqrt{2304} = 48\)

2. Находим высоту:

• • Применяем стандартную формулу \(h = \frac{a \cdot b}{c}\): \(h = \frac{20 \cdot 48}{52}\)
• • Сокращаем дробь на 4: \(\frac{5 \cdot 48}{13} = \frac{240}{13}\)

3. Итоговый результат:

\(h = \frac{240}{13}\)

Ответ: \(\frac{240}{13}\)

1. Находим второй катет по теореме Пифагора:

\(b = \sqrt{75^2 — 21^2} = \sqrt{(75 — 21)(75 + 21)} = \sqrt{54 \cdot 96} = \sqrt{5184} = 72\)

2. Вычисляем высоту через произведение катетов и гипотенузу:

• • Применяем формулу: \(h = \frac{a \cdot b}{c}\)
• • Подставляем значения: \(h = \frac{21 \cdot 72}{75}\)
• • Сокращаем дробь на 3: \(\frac{7 \cdot 72}{25} = \frac{504}{25}\)
• • Переводим в десятичную дробь: \(\frac{504 \cdot 4}{100} = \frac{2016}{100} = 20,16\)

3. Итоговый результат:

\(h = 20,16\)

Ответ: 20,16

1. Находим неизвестный катет:

\(b = \sqrt{125^2 — 35^2} = \sqrt{(125 — 35)(125 + 35)} = \sqrt{90 \cdot 160} = \sqrt{14400} = 120\)

2. Находим высоту, проведённую к гипотенузе:

• • Подставляем значения в формулу: \(h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{35 \cdot 120}{125}\)
• • Сокращаем числитель и знаменатель на 25 (35 на 5 и 120 на 5): \(7 \cdot 24 / 5\) (ошибка, сократим последовательно)
• • Сократим на 5: \(\frac{7 \cdot 120}{25}\), еще раз на 5: \(\frac{7 \cdot 24}{5} = \frac{168}{5}\)
• • Переводим в десятичную дробь: \(\frac{336}{10} = 33,6\)

3. Итоговый результат:

\(h = 33,6\)

Ответ: 33,6

1. Находим третий угол треугольника:

• • Сумма углов любого треугольника равна 180°
• • Вычисляем угол А: \(\angle A = 180^{\circ} — (\angle B + \angle C) = 180^{\circ} — (65^{\circ} + 85^{\circ}) = 180^{\circ} — 150^{\circ} = 30^{\circ}\)

2. Используем теорему синусов:

• • Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности: \(\frac{BC}{\sin A} = 2R\)
• • Выражаем искомую сторону: \(BC = 2R \cdot \sin A\)

3. Подставляем значения и вычисляем:

\(BC = 2 \cdot 14 \cdot \sin 30^{\circ}\)

\(BC = 28 \cdot \frac{1}{2} = 14\)

\(BC = 14\)

Ответ: 14

1. Находим величину противолежащего угла А:

\(\angle A = 180^{\circ} — (72^{\circ} + 78^{\circ}) = 180^{\circ} — 150^{\circ} = 30^{\circ}\)

2. Применяем расширенную теорему синусов:

• • Формула для вычисления стороны: \(BC = 2R \cdot \sin A\)

3. Производим расчет:

\(BC = 2 \cdot 17 \cdot \sin 30^{\circ} = 34 \cdot \frac{1}{2} = 17\)

\(BC = 17\)

Ответ: 17

1. Находим угол А, противолежащий стороне BC:

\(\angle A = 180^{\circ} — (\angle B + \angle C) = 180^{\circ} — (71^{\circ} + 79^{\circ}) = 180^{\circ} — 150^{\circ} = 30^{\circ}\)

2. Применяем теорему синусов:

• • По теореме синусов: \(\frac{BC}{\sin A} = 2R\)
• • Выражаем сторону: \(BC = 2R \cdot \sin A\)

3. Подставляем значения и вычисляем:

\(BC = 2 \cdot 8 \cdot \sin 30^{\circ} = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8\)

\(BC = 8\)

Ответ: 8

1. Находим величину угла А:

\(\angle A = 180^{\circ} — (67^{\circ} + 83^{\circ}) = 180^{\circ} — 150^{\circ} = 30^{\circ}\)

2. Используем соотношение из теоремы синусов:

• • Искомая сторона треугольника находится по формуле: \(BC = 2R \cdot \sin A\)

3. Производим расчет:

\(BC = 2 \cdot 16 \cdot \sin 30^{\circ} = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16\)

\(BC = 16\)

Ответ: 16

1. Вычисляем неизвестный угол А:

\(\angle A = 180^{\circ} — (63^{\circ} + 87^{\circ}) = 180^{\circ} — 150^{\circ} = 30^{\circ}\)

2. Находим длину стороны BC:

• • Подставляем значения угла и радиуса в формулу \(BC = 2R \cdot \sin A\):

\(BC = 2 \cdot 11 \cdot \sin 30^{\circ} = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11\)

\(BC = 11\)

Ответ: 11

1. Находим угол А:

\(\angle A = 180^{\circ} — (64^{\circ} + 86^{\circ}) = 180^{\circ} — 150^{\circ} = 30^{\circ}\)

2. Применяем формулу радиуса описанной окружности:

• • Находим искомую сторону: \(BC = 2R \cdot \sin A\)
• • Подставляем числовые данные: \(BC = 2 \cdot 13 \cdot \sin 30^{\circ}\)

3. Итоговый расчет:

\(BC = 26 \cdot \frac{1}{2} = 13\)

\(BC = 13\)

Ответ: 13

1. Находим величину противолежащего угла А:

\(\angle A = 180^{\circ} — (\angle B + \angle C) = 180^{\circ} — (61^{\circ} + 89^{\circ}) = 180^{\circ} — 150^{\circ} = 30^{\circ}\)

2. Применяем следствие из теоремы синусов:

• • Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности: \(\frac{BC}{\sin A} = 2R\)
• • Выражаем сторону: \(BC = 2R \cdot \sin A\)

3. Подставляем значения и вычисляем:

\(BC = 2 \cdot 10 \cdot \sin 30^{\circ} = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\)

\(BC = 10\)

Ответ: 10

1. Вычисляем неизвестный угол А:

\(\angle A = 180^{\circ} — (66^{\circ} + 84^{\circ}) = 180^{\circ} — 150^{\circ} = 30^{\circ}\)

2. Используем соотношение из теоремы синусов:

• • Находим искомую сторону треугольника по формуле: \(BC = 2R \cdot \sin A\)

3. Производим расчет:

\(BC = 2 \cdot 15 \cdot \sin 30^{\circ} = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15\)

\(BC = 15\)

Ответ: 15

1. Находим величину угла А:

\(\angle A = 180^{\circ} — (73^{\circ} + 77^{\circ}) = 180^{\circ} — 150^{\circ} = 30^{\circ}\)

2. Находим длину стороны BC:

• • Применяем формулу: \(BC = 2R \cdot \sin A\)

\(BC = 2 \cdot 9 \cdot \sin 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9\)

\(BC = 9\)

Ответ: 9

1. Находим угол А:

\(\angle A = 180^{\circ} — (62^{\circ} + 88^{\circ}) = 180^{\circ} — 150^{\circ} = 30^{\circ}\)

2. Вычисляем искомую сторону:

• • Используем теорему синусов: \(BC = 2R \cdot \sin A\)
• • Подставляем числовые данные: \(BC = 2 \cdot 12 \cdot \sin 30^{\circ}\)

3. Итоговый расчет:

\(BC = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12\)

\(BC = 12\)

Ответ: 12

1. Используем метрические соотношения в прямоугольном треугольнике:

• • Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
• • Для катета AB проекцией на гипотенузу AC является отрезок AH.
• • Формула имеет вид: \(AB^2 = AH \cdot AC\)

2. Выражаем и находим длину катета AB:

\(AB = \sqrt{AH \cdot AC}\)

\(AB = \sqrt{8 \cdot 32} = \sqrt{256} = 16\)

\(AB = 16\)

Ответ: 16

1. Применяем свойство высоты прямоугольного треугольника:

• • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на неё: \(AB^2 = AH \cdot AC\)

2. Вычисляем длину стороны AB:

\(AB = \sqrt{6 \cdot 24}\)

\(AB = \sqrt{144} = 12\)

\(AB = 12\)

Ответ: 12

1. Используем среднее геометрическое для катета:

\(AB = \sqrt{AH \cdot AC}\)

2. Подставляем исходные данные задачи:

\(AB = \sqrt{7 \cdot 28} = \sqrt{7 \cdot (4 \cdot 7)} = \sqrt{196} = 14\)

\(AB = 14\)

Ответ: 14

1. Записываем метрическое соотношение треугольника:

• • Катет AB равен квадратному корню из произведения отрезков AH и AC: \(AB = \sqrt{AH \cdot AC}\)

2. Находим числовое значение:

\(AB = \sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{64} = 8\)

\(AB = 8\)

Ответ: 8

1. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию: \(AB^2 = AH \cdot AC\).

2. \(AB = \sqrt{5 \cdot 45} = \sqrt{225} = 15\).

Ответ: 15

1. Применяем формулу: \(AB = \sqrt{AH \cdot AC}\).

2. \(AB = \sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10\).

Ответ: 10

1. \(\triangle DMC \sim \triangle BMA\) (по двум углам), значит, \(\frac{MC}{AM} = \frac{DC}{AB}\).

2. Пусть \(MC = x\), тогда \(AM = 25 — x\). Уравнение: \(\frac{x}{25-x} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}\).

3. \(2x = 3(25-x) \Rightarrow 5x = 75 \Rightarrow x = 15\).

Ответ: 15

1. \(\triangle DMC \sim \triangle BMA\), значит, \(\frac{MC}{AM} = \frac{DC}{AB}\).

2. Пусть \(MC = x\), тогда \(AM = 40 — x\). Уравнение: \(\frac{x}{40-x} = \frac{40}{10} = 4\).

3. \(x = 4(40-x) \Rightarrow 5x = 160 \Rightarrow x = 32\).

Ответ: 32

1. Доказываем подобие треугольников:

• • Накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC равны: \(\angle BAM = \angle DCM\) и \(\angle ABM = \angle CDM\)
• • Следовательно, \(\triangle AMB \sim \triangle CMD\) по двум углам

2. Составляем пропорцию для сходственных сторон:

\(\frac{MC}{AM} = \frac{DC}{AB}\)

3. Вводим переменную и решаем уравнение:

• • Пусть \(MC = x\), тогда отрезок \(AM = 39 — x\)
• • Подставляем значения: \(\frac{x}{39 — x} = \frac{30}{15}\)
• • Упрощаем правую часть: \(\frac{x}{39 — x} = 2\)
• • Решаем уравнение: \(x = 2(39 — x) \rightarrow x = 78 — 2x \rightarrow 3x = 78 \rightarrow x = 26\)

\(MC = 26\)

Ответ: 26

1. Рассматриваем подобие треугольников:

\(\triangle AMB \sim \triangle CMD\) (по двум углам)

2. Записываем отношение сторон:

\(\frac{MC}{AM} = \frac{DC}{AB} \rightarrow \frac{MC}{52 — MC} = \frac{42}{14}\)

3. Вычисляем коэффициент подобия и находим MC:

• • Сокращаем дробь: \(\frac{42}{14} = 3\)
• • Получаем уравнение: \(MC = 3(52 — MC)\)
• • Раскрываем скобки: \(MC = 156 — 3MC \rightarrow 4MC = 156 \rightarrow MC = 39\)

\(MC = 39\)

Ответ: 39

1. Из подобия \(\triangle AMB \sim \triangle CMD\) составляем отношение:

\(\frac{MC}{AM} = \frac{DC}{AB}\)

2. Подставляем известные длины отрезков:

\(\frac{MC}{48 — MC} = \frac{54}{18}\)

3. Находим длину MC:

• • Так как \(\frac{54}{18} = 3\), то \(MC = 3(48 — MC)\)
• • Преобразуем: \(MC = 144 — 3MC \rightarrow 4MC = 144 \rightarrow MC = 36\)

\(MC = 36\)

Ответ: 36

1. Используем коэффициент подобия из пропорции:

\(\frac{MC}{40 — MC} = \frac{56}{14}\)

2. Упрощаем отношение и выполняем расчет:

• • Вычисляем коэффициент подобия: \(k = \frac{56}{14} = 4\)
• • Составляем линейное уравнение: \(MC = 4(40 — MC)\)
• • Находим переменную: \(MC = 160 — 4MC \rightarrow 5MC = 160 \rightarrow MC = 32\)

\(MC = 32\)

Ответ: 32

1. Доказываем подобие треугольников:

• • Углы при вершине M вертикальные: \(\angle AMB = \angle CMD\)
• • Накрест лежащие углы равны при параллельных прямых AB и DC: \(\angle BAM = \angle DCM\)
• • Следовательно, \(\triangle AMB \sim \triangle CMD\) по двум углам

2. Составляем пропорцию для сходственных сторон:

\(\frac{MC}{AM} = \frac{DC}{AB}\)

3. Вводим переменную и решаем уравнение:

• • Пусть \(MC = x\), тогда отрезок \(AM = 30 — x\)
• • Подставляем значения: \(\frac{x}{30 — x} = \frac{55}{11}\)
• • Упрощаем правую часть: \(\frac{x}{30 — x} = 5\)
• • Решаем уравнение: \(x = 5(30 — x) \rightarrow x = 150 — 5x \rightarrow 6x = 150 \rightarrow x = 25\)

\(MC = 25\)

Ответ: 25

1. Рассматриваем отношение сторон из подобия \(\triangle AMB \sim \triangle CMD\):

\(\frac{MC}{AM} = \frac{DC}{AB} \rightarrow \frac{MC}{56 — MC} = \frac{25}{10}\)

2. Сокращаем отношение и решаем пропорцию:

• • Сокращаем дробь: \(\frac{25}{10} = \frac{5}{2}\)
• • Перемножаем крест-накрест: \(2 \cdot MC = 5 \cdot (56 — MC)\)
• • Раскрываем скобки: \(2MC = 280 — 5MC \rightarrow 7MC = 280 \rightarrow MC = 40\)

\(MC = 40\)

Ответ: 40

1. Из подобия \(\triangle AMB \sim \triangle CMD\) составляем отношение:

\(\frac{MC}{AM} = \frac{DC}{AB}\)

2. Подставляем известные значения длин:

\(\frac{MC}{27 — MC} = \frac{22}{11}\)

3. Находим длину отрезка MC:

• • Коэффициент подобия равен: \(\frac{22}{11} = 2\)
• • Получаем линейное уравнение: \(MC = 2(27 — MC)\)
• • Преобразуем: \(MC = 54 — 2MC \rightarrow 3MC = 54 \rightarrow MC = 18\)

\(MC = 18\)

Ответ: 18

1. Записываем отношение сходственных сторон подобных треугольников:

\(\frac{MC}{42 — MC} = \frac{65}{13}\)

2. Выполняем упрощение и расчет:

• • Вычисляем коэффициент подобия: \(k = \frac{65}{13} = 5\)
• • Составляем уравнение: \(MC = 5(42 — MC)\)
• • Находим переменную: \(MC = 210 — 5MC \rightarrow 6MC = 210 \rightarrow MC = 35\)

\(MC = 35\)

Ответ: 35

1. Доказываем подобие треугольников:

• • Угол B — общий для \(\triangle MBN\) и \(\triangle ABC\)
• • Углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB
• • Следовательно, \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) по двум углам

2. Составляем пропорцию для сходственных сторон:

\(\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}\)

3. Вводим переменную и решаем уравнение:

• • Пусть длина отрезка \(BN = x\), тогда вся сторона \(BC = BN + NC = x + 25\)
• • Подставляем значения в пропорцию: \(\frac{x}{x + 25} = \frac{12}{42}\)
• • Сокращаем дробь \(\frac{12}{42}\) на 6, получаем: \(\frac{x}{x + 25} = \frac{2}{7}\)
• • Раскрываем пропорцию крест-накрест: \(7x = 2(x + 25) \rightarrow 7x = 2x + 50 \rightarrow 5x = 50 \rightarrow x = 10\)

\(BN = 10\)

Ответ: 10

1. Рассматриваем подобие треугольников:

\(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) (по двум углам)

2. Записываем отношение сходственных сторон:

\(\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \rightarrow \frac{BN}{BN + 28} = \frac{13}{65}\)

3. Упрощаем отношение и находим BN:

• • Сокращаем правую часть на 13: \(\frac{13}{65} = \frac{1}{5}\)
• • Получаем пропорцию: \(\frac{BN}{BN + 28} = \frac{1}{5}\)
• • Перемножаем крест-накрест: \(5 \cdot BN = 1 \cdot (BN + 28) \rightarrow 4 \cdot BN = 28 \rightarrow BN = 7\)

\(BN = 7\)

Ответ: 7

1. Используем коэффициент подобия из \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\):

\(\frac{BN}{BN + 32} = \frac{17}{51}\)

2. Выполняем упрощение уравнения:

• • Сокращаем отношение сторон: \(\frac{17}{51} = \frac{1}{3}\)
• • Составляем линейное уравнение: \(3 \cdot BN = BN + 32\)
• • Находим переменную: \(2 \cdot BN = 32 \rightarrow BN = 16\)

\(BN = 16\)

Ответ: 16

1. Из подобия треугольников составляем пропорцию:

\(\frac{BN}{BN + 39} = \frac{20}{35}\)

2. Упрощаем и вычисляем:

• • Сокращаем дробь \(\frac{20}{35}\) на 5, получаем \(\frac{4}{7}\)
• • Перемножаем крест-накрест: \(7 \cdot BN = 4 \cdot (BN + 39)\)
• • Раскрываем скобки: \(7 \cdot BN = 4 \cdot BN + 156\)
• • Переносим слагаемые: \(3 \cdot BN = 156 \rightarrow BN = 52\)

\(BN = 52\)

Ответ: 52

1. Доказываем подобие треугольников:

• • Угол B — общий для \(\triangle MBN\) и \(\triangle ABC\)
• • Углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB
• • Следовательно, \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) по двум углам

2. Составляем пропорцию сходственных сторон:

\(\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}\)

3. Вводим переменную и решаем уравнение:

• • Пусть длина отрезка \(BN = x\), тогда вся сторона \(BC = BN + NC = x + 10\)
• • Подставляем значения в пропорцию: \(\frac{x}{x + 10} = \frac{14}{21}\)
• • Сокращаем дробь \(\frac{14}{21}\) на 7, получаем: \(\frac{x}{x + 10} = \frac{2}{3}\)
• • Раскрываем пропорцию крест-накрест: \(3x = 2(x + 10) \rightarrow 3x = 2x + 20 \rightarrow x = 20\)

\(BN = 20\)

Ответ: 20

1. Рассматриваем подобие треугольников:

\(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) (по двум углам)

2. Записываем отношение сходственных сторон:

\(\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \rightarrow \frac{BN}{BN + 18} = \frac{11}{44}\)

3. Упрощаем отношение и находим BN:

• • Сокращаем правую часть на 11: \(\frac{11}{44} = \frac{1}{4}\)
• • Получаем пропорцию: \(\frac{BN}{BN + 18} = \frac{1}{4}\)
• • Перемножаем крест-накрест: \(4 \cdot BN = 1 \cdot (BN + 18) \rightarrow 3 \cdot BN = 18 \rightarrow BN = 6\)

\(BN = 6\)

Ответ: 6

1. Используем соотношение сторон из подобия \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\):

\(\frac{BN}{BN + 22} = \frac{15}{25}\)

2. Выполняем упрощение уравнения:

• • Сокращаем отношение сторон на 5: \(\frac{15}{25} = \frac{3}{5}\)
• • Перемножаем крест-накрест: \(5 \cdot BN = 3 \cdot (BN + 22)\)
• • Раскрываем скобки: \(5 \cdot BN = 3 \cdot BN + 66\)
• • Переносим слагаемые: \(2 \cdot BN = 66 \rightarrow BN = 33\)

\(BN = 33\)

Ответ: 33

1. Из подобия треугольников составляем пропорцию:

\(\frac{BN}{BN + 15} = \frac{16}{20}\)

2. Упрощаем и вычисляем:

• • Сокращаем дробь \(\frac{16}{20}\) на 4, получаем \(\frac{4}{5}\)
• • Перемножаем крест-накрест: \(5 \cdot BN = 4 \cdot (BN + 15)\)
• • Раскрываем скобки: \(5 \cdot BN = 4 \cdot BN + 60\)
• • Находим переменную: \(BN = 60\)

\(BN = 60\)

Ответ: 60

1. Доказываем подобие треугольников:

• • Угол B — общий для \(\triangle MBN\) и \(\triangle ABC\)
• • \(\angle BMN = \angle BAC\) как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB
• • Следовательно, \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) по двум углам

2. Составляем пропорцию сходственных сторон:

\(\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}\)

3. Вводим переменную и решаем полученное уравнение:

• • Пусть длина отрезка \(BN = x\), тогда длина стороны \(BC = BN + NC = x + 36\)
• • Подставляем данные значения в пропорцию: \(\frac{x}{x + 36} = \frac{22}{55}\)
• • Сокращаем дробь \(\frac{22}{55}\) на 11, получаем: \(\frac{x}{x + 36} = \frac{2}{5}\)
• • Раскрываем пропорцию крест-накрест: \(5x = 2(x + 36) \rightarrow 5x = 2x + 72 \rightarrow 3x = 72 \rightarrow x = 24\)

\(BN = 24\)

Ответ: 24

1. Используем подобие треугольников \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) по двум углам:

\(\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}\)

2. Составляем и преобразуем уравнение:

• • Выражаем отрезок BC через искомую величину: \(BC = BN + 40\)
• • Подставляем значения: \(\frac{BN}{BN + 40} = \frac{18}{42}\)
• • Сокращаем дробь \(\frac{18}{42}\) на 6, получаем: \(\frac{BN}{BN + 40} = \frac{3}{7}\)
• • Перемножаем элементы пропорции крест-накрест: \(7 \cdot BN = 3 \cdot (BN + 40)\)
• • Раскрываем скобки: \(7 \cdot BN = 3 \cdot BN + 120 \rightarrow 4 \cdot BN = 120 \rightarrow BN = 30\)

\(BN = 30\)

Ответ: 30