Здесь представлены решения задач тренировочного варианта №84 базового ЕГЭ по математике в 2027 году. Далее приведены подробные решения, ответы и пояснения к каждому заданию варианта. Ознакомиться с решениями задач других вариантов ЕГЭ можно здесь ➔
Тренировочный вариант ЕГЭ по математике №84 (база)
Задача №1: Расчёт количества банок краски
Условие: Для покраски 1 кв. м потолка требуется 170 г краски. Краска продаётся в банках по 3 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 58 кв. м.?
Показать решение
1. Находим общую массу краски, необходимую для покраски всего потолка:
\(170 \cdot 58 = 9860\) г
2. Переводим граммы в килограммы:
\(\frac{9860}{1000} = 9,86\) кг
3. Определяем необходимое количество банок:
\(\frac{9,86}{3} \approx 3,29\)
Округляем полученное значение в большую сторону, чтобы краски хватило на весь потолок:
\(3,29 \rightarrow 4\)
Ответ: 4
Задача №2: Соответствие величин и их значений
Условие: Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ:
А) объём комнаты
Б) объём воды в Каспийском море
В) объём ящика для овощей
Г) объём банки сметаны
ЗНАЧЕНИЯ:
1) 78 200 км³
2) 75 м³
3) 50 л
4) 0,5 л
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Показать решение
1. Сопоставляем каждую величину с подходящим порядком значения:
- • Объём комнаты обычно измеряется десятками кубометров — подходит значение 75 м³ (2)
- • Объём воды в Каспийском море — огромная величина, которую логично измерять в кубических километрах — 78 200 км³ (1)
- • Объём ящика для овощей — сравнительно небольшая бытовая величина, измеряемая в литрах — 50 л (3)
- • Объём банки сметаны — самая маленькая из представленных величин — 0,5 л (4)
2. Сопоставляем буквы и цифры:
Получаем последовательность 2, 1, 3, 4.
Ответ: 2134
Задача №3: Чтение столбчатой диаграммы
Условие: На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру во второй половине 1973 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Показать решение
Это период с июля по декабрь включительно.
2. Считываем по диаграмме среднемесячную температуру для этих месяцев:
- • июль — около 14 °C
- • август — около 16 °C
- • сентябрь — около 5 °C
- • октябрь — около 1 °C
- • ноябрь — около −4 °C
- • декабрь — около −6 °C
3. Сравниваем полученные значения и выбираем наибольшее:
Наибольшая среднемесячная температура во второй половине года наблюдается в августе.
Ответ: 16
Задача №4: Расчёты по формуле (потенциальная энергия)
Условие: Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи поверхности вычисляется по формуле \(E = mgh\), где \(m\) – масса тела (в килограммах), \(g\) – гравитационная постоянная, а \(h\) – высота (в метрах), на которой находится это тело, относительно условного нуля. Пользуясь этой формулой, найдите \(m\) (в килограммах), если \(g = 9,8\) м/с², \(h = 2\) м, а \(E = 98\) Дж.
Показать решение
1. Выразим массу \(m\) из формулы:
\(m = \frac{E}{gh}\)
2. Подставим известные значения:
\(m = \frac{98}{9,8 \cdot 2} = \frac{98}{19,6}\)
3. Выполним деление:
\(m = 5\)
Ответ: 5
Задача №5: Классическая вероятность
Условие: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Показать решение
При двух бросках монеты возможны исходы: ОО, ОР, РО, РР — всего 4 исхода.
2. Находим число благоприятных исходов:
Условию «орёл выпадет ровно два раза» соответствует только один исход — ОО.
3. Вычисляем вероятность по классическому определению:
\(P = \frac{1}{4} = 0,25\)
Ответ: 0,25
Задача №6: Выбор наиболее дешёвого варианта покупки
Условие: Для группы иностранных гостей требуется купить 10 путеводителей. Нужные путеводители нашлись в трёх интернет-магазинах. Цена путеводителя и условия доставки всей покупки приведены в таблице.
| Интернет-магазин | Цена путеводителя (руб. за шт.) | Стоимость доставки (руб.) | Дополнительные условия |
|---|---|---|---|
| А | 290 | 200 | Нет |
| Б | 260 | 400 | Доставка бесплатная, если сумма заказа превышает 3800 руб. |
| В | 300 | 200 | Доставка бесплатная, если сумма заказа превышает 3400 руб. |
Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?
Показать решение
1. Вычисляем итоговую стоимость покупки в каждом магазине:
- • Магазин А: \(290 \cdot 10 + 200 = 2900 + 200 = 3100\) руб.
- • Магазин Б: стоимость путеводителей \(260 \cdot 10 = 2600\) руб., это меньше 3800 руб., значит доставка платная: \(2600 + 400 = 3000\) руб.
- • Магазин В: стоимость путеводителей \(300 \cdot 10 = 3000\) руб., это меньше 3400 руб., значит доставка платная: \(3000 + 200 = 3200\) руб.
2. Сравниваем полученные суммы и выбираем наименьшую:
Получены суммы 3100, 3000 и 3200 руб. Наименьшая из них — 3000 руб. (магазин Б).
Ответ: 3000
Задача №7: Чтение графика (атмосферное давление)
Условие: На рисунке точками показано атмосферное давление в городе N на протяжении трёх суток с 4 по 6 апреля 2013 года. В течение суток, давление измеряется 4 раза: в 0:00, в 6:00, в 12:00 и в 18:00. По горизонтали указывается время суток и дата, по вертикали – давление в миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями. Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов характеристику атмосферного давления в городе N в течение этого периода.
ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ:
А) вечер 4 апреля (с 18 до 0 ч)
Б) день 5 апреля (с 12 до 18 ч)
В) ночь 6 апреля (с 0 до 6 ч)
Г) утро 6 апреля (с 6 до 12 ч)
ХАРАКТЕРИСТИКИ:
1) давление не изменилось
2) наибольший рост давления
3) давление росло, но не превышало 760 мм рт. ст.
4) давление падало
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Показать решение
1. Выписываем значения давления по графику в каждой контрольной точке:
- • 4 апреля: 0:00 — 755, 6:00 — 758, 12:00 — 758, 18:00 — 757
- • 5 апреля: 0:00 — 754, 6:00 — 756, 12:00 — 759, 18:00 — 760
- • 6 апреля: 0:00 — 759, 6:00 — 765, 12:00 — 765, 18:00 — 762, 0:00 (7 апреля) — 760
2. Период А (вечер 4 апреля, 18:00–0:00):
Давление изменилось с 757 до 754, то есть падало. Это характеристика 4.
3. Период Б (день 5 апреля, 12:00–18:00):
Давление выросло с 759 до 760, при этом ни разу не превысило 760 мм рт. ст. Это характеристика 3.
4. Период В (ночь 6 апреля, 0:00–6:00):
Давление выросло с 759 до 765, то есть на 6 мм рт. ст. Сравнивая этот рост с изменениями давления в остальные периоды суток, видим, что это наибольший рост давления за всё время наблюдения. Это характеристика 2.
5. Период Г (утро 6 апреля, 6:00–12:00):
Давление сохранило значение 765, то есть не изменилось. Это характеристика 1.
6. Записываем итоговую последовательность:
Для А, Б, В, Г получаем 4, 3, 2, 1.
Ответ: 4321
Задача №8: Логика и анализ утверждений
Условие: Перед волейбольным турниром измерили рост игроков волейбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из волейболистов этой команды больше 190 см и меньше 210 см. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
1) В волейбольной команде города N обязательно есть игрок, рост которого равен 220 см.
2) В волейбольной команде города N нет игроков с ростом 189 см.
3) Рост любого волейболиста этой команды меньше 210 см.
4) Разница в росте любых двух игроков волейбольной команды города N составляет более 20 см.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Показать решение
1. Проверяем каждое утверждение по очереди:
- • Утверждение 1: Неверно. По условию рост каждого игрока меньше 210 см, поэтому игрока ростом 220 см в команде быть не может
- • Утверждение 2: Верно. Рост каждого игрока больше 190 см, значит рост 189 см (меньше 190) невозможен ни у одного игрока команды
- • Утверждение 3: Верно. Это прямо следует из условия задачи — рост каждого волейболиста меньше 210 см
- • Утверждение 4: Неверно. Разница в росте не обязана быть большой — например, все игроки могут иметь рост около 200 см, тогда разница между ними будет намного меньше 20 см
2. Составляем итоговый ответ из номеров верных утверждений:
Это утверждения под номерами 2 и 3.
Ответ: 23
Задача №9: Площадь фигуры на клетчатой бумаге
Условие: План местности разбит на клетки. Каждая клетка является квадратом размером 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
Показать решение
Изображённая фигура является треугольником.
2. Находим по клеткам основание и высоту треугольника:
- • Один из катетов (вертикальная сторона слева) равен \(a = 3\) м — это можно считать высотой треугольника
- • Расстояние от этой стороны до противоположной вершины (по горизонтали) равно \(h = 8\) м — это основание треугольника
3. Применяем формулу площади треугольника:
\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\)
\(S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 = 12\) кв. м
Ответ: 12
Задача №10: Прикладная геометрия (длина забора)
Условие: Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 900 м и 400 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.
Показать решение
Вдоль моря идёт одна из больших сторон (900 м), её огораживать не нужно. Забором нужно огородить вторую большую сторону (900 м) и две меньшие стороны (по 400 м каждая).
2. Вычисляем суммарную длину забора:
\(L = 900 + 400 + 400\)
\(L = 1700\) м
Ответ: 1700
Задача №11: Переливание воды между сосудами (призмы)
Условие: Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне \(h = 20\) см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания вдвое меньше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.
Показать решение
1. Записываем условие сохранения объёма воды при переливании:
\(V = S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2\)
2. Находим отношение площадей оснований:
Сторона основания нового сосуда вдвое меньше, значит его площадь основания меньше в 4 раза (площадь квадрата пропорциональна квадрату стороны):
\(S_2 = \frac{S_1}{4}\)
3. Находим новый уровень воды \(h_2\):
\(h_2 = \frac{S_1 \cdot h_1}{S_2} = \frac{S_1 \cdot 20}{\frac{S_1}{4}} = 20 \cdot 4\)
\(h_2 = 80\) см
Ответ: 80
Задача №12: Внешний угол прямоугольного треугольника
Условие: В прямоугольном треугольнике \(ABC\) внешний угол при вершине \(A\) равен \(150^{\circ}\). Катет \(BC = 19\). Найдите гипотенузу \(AB\).
Показать решение
Внешний и внутренний углы при одной вершине в сумме составляют \(180^{\circ}\):
\(\angle A = 180^{\circ} — 150^{\circ} = 30^{\circ}\)
2. Рассматриваем прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\):
Катет \(BC\) лежит против угла \(A\), а \(AB\) — гипотенуза. По определению синуса острого угла:
\(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
3. Выражаем и находим гипотенузу \(AB\):
\(AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{19}{\sin 30^{\circ}} = \frac{19}{0,5}\)
\(AB = 38\)
Ответ: 38
Задача №13: Объём прямой призмы
Условие: В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна \(\sqrt{58}\). Найдите объём призмы, если её высота равна 2.
Показать решение
1. Находим второй катет основания по теореме Пифагора:
\(b = \sqrt{58 — 3^2} = \sqrt{58 — 9} = \sqrt{49} = 7\)
2. Находим площадь основания призмы (прямоугольного треугольника):
\(S = \frac{3 \cdot 7}{2} = \frac{21}{2} = 10,5\)
3. Вычисляем объём призмы:
\(V = S \cdot H = 10,5 \cdot 2\)
\(V = 21\)
Ответ: 21
Задача №14: Вычисление арифметического выражения
Условие: Найдите значение выражения \(1,2 : 0,6 \cdot 1,5\)
Показать решение
1. Выполняем деление (действие выполняется по порядку слева направо):
\(1,2 : 0,6 = 2\)
2. Выполняем умножение:
\(2 \cdot 1,5 = 3\)
Ответ: 3
Задача №15: Текстовая задача на проценты
Условие: Число больных гриппом в школе уменьшилось за месяц в четыре раза. На сколько процентов уменьшилось число больных гриппом?
Показать решение
Если число уменьшилось в 4 раза, то новое значение составляет:
\(\frac{1}{4} = 25\%\)
от первоначального.
2. Находим, на сколько процентов уменьшилось число больных:
\(100\% — 25\% = 75\%\)
Ответ: 75
Задача №16: Свойства арифметического квадратного корня
Условие: Найдите значение выражения \(\sqrt{44} \cdot \sqrt{11}\)
Показать решение
1. Используем свойство произведения корней:
\(\sqrt{44} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{44 \cdot 11}\)
2. Вычисляем произведение под корнем:
\(44 \cdot 11 = 484\)
3. Извлекаем квадратный корень:
\(\sqrt{484} = 22\)
Ответ: 22
Задача №17: Иррациональные уравнения
Условие: Найдите корень уравнения \(\sqrt{14 — 5x} = 3\)
Показать решение
1. Возводим обе части уравнения в квадрат:
\(14 — 5x = 3^2\)
\(14 — 5x = 9\)
2. Переносим слагаемые и находим \(x\):
\(-5x = 9 — 14\)
\(-5x = -5\)
\(x = 1\)
3. Проверка ОДЗ:
Подставим полученный корень под знак радикала: \(14 — 5 \cdot 1 = 9 \geq 0\). Корень верный.
Ответ: 1
Задача №18: Числа и точки на координатной прямой
Условие: На координатной прямой отмечено число \(m\) и точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\).
Установите соответствие между указанными точками и числами в правом столбце, которые им соответствуют.
ТОЧКИ:
\(A\)
\(B\)
\(C\)
\(D\)
ЧИСЛА:
1) \(6 — m\)
2) \(m^2\)
3) \(m — 1\)
4) \(-\frac{2}{m}\)
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.
Показать решение
По координатной прямой точка \(m\) находится между 1 и 2, примерно на уровне \(m \approx 1,4\). Точки на прямой имеют приблизительные координаты: \(A \approx -1\), \(B \approx 0,4\), \(C = 2\), \(D \approx 4,6\).
2. Оцениваем каждое из предложенных чисел при \(m \approx 1,4\):
- • Число 4) \(-\frac{2}{m}\): \(-\frac{2}{1,4} \approx -1,4\). Это значение соответствует точке \(A\)
- • Число 3) \(m — 1\): \(1,4 — 1 = 0,4\). Это значение соответствует точке \(B\)
- • Число 2) \(m^2\): \(1,4^2 = 1,96 \approx 2\). Это значение соответствует точке \(C\)
- • Число 1) \(6 — m\): \(6 — 1,4 = 4,6\). Это значение соответствует точке \(D\)
3. Сопоставляем буквы и цифры:
Для точек \(A, B, C, D\) получаем цифры 4, 3, 2, 1.
Ответ: 4321
Задача №19: Свойства чисел и делимость
Условие: Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 30. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Показать решение
Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно на 2, 3 и 5, то есть должно оканчиваться на 0, а сумма его цифр должна делиться на 3.
2. Учитываем ограничение на используемые цифры:
Число состоит только из цифр 2 и 0. Сумма цифр равна \(2 \cdot k\), где \(k\) — количество двоек в записи числа. Так как числа 2 и 3 взаимно просты, для делимости суммы на 3 нужно, чтобы \(k\) делилось на 3.
3. Строим подходящее число:
Возьмём \(k = 3\) двойки и 3 нуля (всего 6 знаков), при этом первая цифра должна быть не равна нулю, а последняя цифра должна быть равна 0 (для делимости на 10). Например:
\(222000\)
4. Проверяем полученное число:
Число оканчивается на 0 (делится на 10), а сумма цифр \(2+2+2+0+0+0=6\) делится на 3, значит число 222000 делится на 30.
Ответ: 222000
Задача №20: Средняя скорость движения
Условие: Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 140 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Показать решение
1. Находим общее пройденное расстояние:
\(S = 120 + 140 + 150 = 410\) км
2. Находим время, затраченное на каждом участке пути:
\(t_1 = \frac{120}{60} = 2\) ч, \(\quad t_2 = \frac{140}{80} = 1,75\) ч, \(\quad t_3 = \frac{150}{120} = 1,25\) ч
3. Находим общее время в пути:
\(t = 2 + 1,75 + 1,25 = 5\) ч
4. Вычисляем среднюю скорость как отношение всего пути ко всему времени:
\(v_{\text{ср}} = \frac{S}{t} = \frac{410}{5}\)
\(v_{\text{ср}} = 82\) км/ч
Ответ: 82
Задача №21: Логическая задача (улитка и дерево)
Условие: Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 9 м. За сколько дней улитка доползёт от основания до вершины дерева?
Показать решение
За день улитка поднимается на 2 м, а за ночь спускается на 1 м, поэтому за каждые полные сутки (день и ночь) она в итоге продвигается вверх на:
\(2 — 1 = 1\) м
2. Учитываем, что в последний день улитка достигает вершины и уже не сползает вниз:
После \(n-1\) полных суток улитка находится на высоте \(n-1\) м. В \(n\)-й день она поднимается ещё на 2 м, и если этого хватает, чтобы достичь или превысить высоту дерева, подъём на этом заканчивается.
3. Составляем неравенство и находим номер дня:
\((n — 1) + 2 \geq 9 \Rightarrow n \geq 8\)
Проверим: после 7 полных суток улитка находится на высоте 7 м (это ещё меньше высоты дерева, значит подъём продолжается). На 8-й день она поднимается с высоты 7 м на 2 м вверх и достигает высоты \(7 + 2 = 9\) м — вершины дерева.
Ответ: 8