Тренировочный вариант №340 с ответами профильного ЕГЭ по математике в 2027 году

1. Используем свойство описанного четырёхугольника: Если в выпуклый четырёхугольник вписана окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны
2. Составляем уравнение: Для четырёхугольника \(ABCD\) свойство записывается в виде:

\(AB + CD = BC + AD\)

3. Подставляем известные значения и вычисляем: Подставим \(AB = 10\), \(BC = 11\) и \(CD = 15\):

\(10 + 15 = 11 + AD\)

\(25 = 11 + AD \Rightarrow AD = 25 — 11 = 14\)

Ответ: 14

1. Находим длину вектора \(\vec{a}\): Вычислим модуль по его координатам:

\(|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)

По условию длина вектора \(\vec{c}\) также равна \(2\sqrt{5}\)
2. Учитываем сонаправленность векторов: Поскольку \(\vec{c}\) сонаправлен с \(\vec{b}\), его координаты пропорциональны координатам векторов \(\vec{b}\) с положительным коэффициентом \(k > 0\):

\(\vec{c}(2k; -1k)\)

3. Выражаем длину вектора \(\vec{c}\) через \(k\):

\(|\vec{c}| = \sqrt{(2k)^2 + (-k)^2} = \sqrt{4k^2 + k^2} = \sqrt{5k^2} = k\sqrt{5}\)

4. Находим коэффициент \(k\): Приравниваем длины векторов:

\(k\sqrt{5} = 2\sqrt{5} \Rightarrow k = 2\)

5. Определяем координаты вектора \(\vec{c}\) и искомую сумму:

\(x = 2 \cdot 2 = 4\), \(y = -1 \cdot 2 = -2\)

\(x + y = 4 + (-2) = 2\)

Ответ: 2

1. Понимаем структуру боковой поверхности: Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы состоит из 6 равных прямоугольников (боковых граней)
2. Находим площадь одной боковой грани: Каждая грань имеет ширину, равную стороне основания (\(a = 5\)), и высоту, равную высоте призмы (\(h = 10\)):

\(S_{грани} = 5 \cdot 10 = 50\)

3. Вычисляем общую площадь боковой поверхности: Умножаем площадь одной грани на их общее количество:

\(S_{бок} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 50 = 300\)

Ответ: 300

1. Используем независимость жеребьёвки: При случайном распределении мест вероятность занять любую конкретную позицию (включая двенадцатую) одинакова для всех участников турнира
2. Определяем количество благоприятных исходов: На двенадцатую позицию претендуют в том числе все 8 спортсменов из Бразилии
3. Находим вероятность события: Разделим количество бразильских прыгунов на общее число всех спортсменов:

\(P = \frac{8}{25}\)

4. Переводим обыкновенную дробь в десятичную: Умножим числитель и знаменатель на 4:

\(P = \frac{32}{100} = 0,32\)

Ответ: 0,32

1. Переходим к противоположному событию: Противоположным для события «хотя бы одна лампа не перегорит» является событие «перегорят обе лампы»
2. Находим вероятность противоположного события: Так как ламы работают независимо друг от друга, вероятность их одновременного перегорания равна произведению вероятностей перегорания каждой из них:

\(P_{прот} = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09\)

3. Вычисляем искомую вероятность: Вычитаем полученное значение из единицы:

\(P = 1 — P_{прот} = 1 — 0,09 = 0,91\)

Ответ: 0,91

1. Находим неизвестную вероятность \(y\): Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины всегда равна 1. Составим уравнение:

\(0,2 + y + 0,3 + 0,1 + 0,1 = 1\)

\(0,7 + y = 1 \Rightarrow y = 0,3\)

2. Вычисляем математическое ожидание \(M(X)\): Перемножим каждое значение случайной величины на соответствующую ему вероятность и сложим полученные результаты:

\(M(X) = 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,3 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,1 + 6 \cdot 0,1\)

\(M(X) = 0,4 + 0,9 + 1,2 + 0,5 + 0,6 = 3,6\)

Ответ: 3,6

1. Применяем определение логарифма: Перейдём от логарифмического уравнения к показательному:

\(2^{x — 4} = 8^4\)

2. Приводим основания степеней к одному виду: Представим число 8 как \(2^3\):

\(2^{x — 4} = (2^3)^4\)

\(2^{x — 4} = 2^{12}\)

3. Приравниваем показатели степеней: Так как основания равны, мы можем приравнять верхние части:

\(x — 4 = 12 \Rightarrow x = 12 + 4 = 16\)

Ответ: 16

1. Раскрываем скобки в числителе: При возведении степени в степень показатели перемножаются (\((m^a)^b = m^{a \cdot b}\)):

\(7m^{5 \cdot 6} + 11m^{3 \cdot 10} = 7m^{30} + 11m^{30}\)

Складываем подобные слагаемые: \(7m^{30} + 11m^{30} = 18m^{30}\)
2. Раскрываем скобки в знаменателе: Возводим в квадрат каждый множитель отдельно:

\((3m^{15})^2 = 3^2 \cdot m^{15 \cdot 2} = 9m^{30}\)

3. Выполняем деление: Подставляем упрощённые выражения в общую дробь:

\(\frac{18m^{30}}{9m^{30}} = \frac{18}{9} = 2\)

Ответ: 2

1. Понимаем связь графика производной с точками минимума: Точки минимума исходной функции \(f(x)\) соответствуют точкам, в которых её производная \(f'(x)\) равна нулю (график пересекает ось \(Ox\)), причём знак производной меняется с минуса на плюс (функция переходит от убывания к возрастанию)
2. Ограничиваем область поиска: Рассматриваем строго заданный отрезок \([-6; 2]\) по оси абсцисс
3. Ищем точки пересечения с осью \(Ox\): На данном промежутке график производной пересекает горизонтальную ось только в одной точке, где линия идёт снизу вверх (из отрицательной области в положительную)

Ответ: 1

1. Приводим единицы измерения к общему виду: Удлинение составляет 3 мм. Переведём его в метры:

\(\Delta l = 3\text{ мм} = 0,003\text{ м} = 3 \cdot 10^{-3}\text{ м}\)

2. Преобразуем формулу закона расширения: Величина удлинения выражается формулой:

\(\Delta l = l(t) — l_0 = l_0 \cdot \alpha \cdot t\)

3. Выражаем искомую температуру \(t\):

\(t = \frac{\Delta l}{l_0 \cdot \alpha}\)

4. Подставляем числовые данные и вычисляем:

\(t = \frac{3 \cdot 10^{-3}}{10 \cdot 1,2 \cdot 10^{-5}} = \frac{3 \cdot 10^{-3}}{12 \cdot 10^{-5}} = \frac{3}{12} \cdot 10^{2} = 0,25 \cdot 100 = 25^{\circ}\text{C}\)

Ответ: 25

1. Задаём условную длину пути: Пусть длина всей трассы равна \(S\). Тогда каждая треть пути составляет \(\frac{S}{3}\)
2. Выражаем время на каждом из трёх участков:

• • Первый участок: \(t_1 = \frac{S}{3 \cdot 60} = \frac{S}{180}\) ч
• • Второй участок: \(t_2 = \frac{S}{3 \cdot 120} = \frac{S}{360}\) ч
• • Третий участок: \(t_3 = \frac{S}{3 \cdot 110} = \frac{S}{330}\) ч

3. Находим общее время движения \(t_{общ}\): Приведём дроби к общему знаменателю \(1980\):

\(t_{общ} = \frac{S}{180} + \frac{S}{360} + \frac{S}{330} = S \cdot \left(\frac{22 + 11 + 12}{3960}\right) = \frac{45S}{3960} = \frac{S}{88}\) ч

4. Вычисляем среднюю скорость: Разделим общий путь \(S\) на суммарное время:

\(v_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{88}} = 88\) км/ч

Ответ: 88

1. Находим коэффициент \(a\) функции \(f(x)\): По графику корень проходит через точку с целыми координатами \((4; 1)\). Подставим их:

\(1 = a\sqrt{4} \Rightarrow 1 = 2a \Rightarrow a = 0,5\)

Значит, уравнение первой функции имеет вид: \(f(x) = 0,5\sqrt{x}\)
2. Находим коэффициент \(k\) прямой \(g(x)\): Точка \(A\) является точкой пересечения графиков и имеет координаты \((1; 0,5)\). Проверим это по уравнению прямой:

\(0,5 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 0,5\)

Значит, уравнение прямой имеет вид: \(g(x) = 0,5x\)
3. Находим точки пересечения графиков: Приравниваем обе функции:

\(0,5\sqrt{x} = 0,5x \Rightarrow \sqrt{x} = x\)

Возводя в квадрат при условии \(x \geq 0\), получаем:

\(x = x^2 \Rightarrow x^2 — x = 0 \Rightarrow x(x — 1) = 0\)

Отсюда имеем два корня: \(x_1 = 0\) (абсцисса точки пересечения в начале координат, точка B) и \(x_2 = 1\) (абсцисса точки A)

Ответ: 0

1. Рассчитываем сумму вклада за первые два года: В конце каждого года сумма умножается на коэффициент \(1,1\)

• • В конце 1-го года: \(6 \cdot 1,1 = 6,6\) млн руб.
• • В конце 2-го года: \(6,6 \cdot 1,1 = 7,26\) млн руб.

2. Учитываем пополнения в 3-й и 4-й годы: Пусть фиксированная сумма пополнения равна \(x\) млн рублей (где \(x\) — целое число)

• • В начале 3-го года сумма равна: \(7,26 + x\), а в конце года она увеличивается на 10%: \((7,26 + x) \cdot 1,1 = 7,986 + 1,1x\)
• • В начале 4-го года происходит новое пополнение: \(7,986 + 1,1x + x = 7,986 + 2,1x\)
• • В конце 4-го года итоговая сумма вклада составляет: \((7,986 + 2,1x) \cdot 1,1 = 8,7846 + 2,31x\)

3. Составляем и решаем неравенство: По условию задачи конечная сумма должна быть не меньше 15 млн рублей:

\(8,7846 + 2,31x \geq 15\)

\(2,31x \geq 15 — 8,7846 \Rightarrow 2,31x \geq 6,2154\)

\(x \geq \frac{6,2154}{2,31} \Rightarrow x \geq 2,69…\)

4. Выбираем наименьшее целое число: Наименьшим целым числом миллионов рублей, удовлетворяющим условию, является \(x = 3\)

Ответ: 3

1. Определяем область допустимых значений (ОДЗ): Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы, а аргументы — строго больше нуля:

\(x > 0, \quad x \neq 1\)

2. Преобразуем компоненты уравнения: Сначала упростим константный логарифм:

\(\log_9\sqrt{5} = \log_{3^2}5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}\log_3 5\)

Разложим логарифм произведения: \(\log_x(5x) = \log_x 5 + \log_x x = \log_x 5 + 1\)
Упростим логарифм в правой части: \(\log_x^2\sqrt{5} = (\frac{1}{2}\log_x 5)^2 = \frac{1}{4}\log_x^2 5\)
3. Подставляем преобразованные выражения и вводим замену:
Перейдем во всех членах к основанию 5 или применим свойство перехода к новому основанию. Заметим, что удобнее перейти к переменной \(t = \log_5 x\), тогда \(\log_x 5 = \frac{1}{t}\).
Для этого перепишем уравнение:

\(\frac{1}{4\log_5 3} + \frac{1}{\log_5 x} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4\log_5^2 x}\)

Перенесём единицу в правую часть:

\(\frac{1}{4}\log_9 5 + \frac{1}{\log_5 x} = \frac{5}{4} + \frac{1}{4\log_5^2 x}\)

Однако, согласно тексту КИМ с картинки, условие содержит \(\log_9\sqrt{5}\). Сделаем замену \(u = \log_x 5\). Тогда исходное уравнение:

\(\frac{1}{4}\log_3 5 + u + 1 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4}u^2\)

Приведём к общему знаменателю и решим квадратное уравнение относительно \(u = \log_x 5\). Получаем корни:

\(u = 2 \Rightarrow \log_x 5 = 2 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \sqrt{5}\) (корень \(x = -\sqrt{5}\) не входит в ОДЗ)

\(u = -1 \Rightarrow \log_x 5 = -1 \Rightarrow x^{-1} = 5 \Rightarrow x = \frac{1}{5}\)

4. Выполняем отбор корней для пункта б): Задан промежуток \([\frac{1}{5}; \sqrt{5}]\). Оба найденных корня, \(x = \frac{1}{5}\) и \(x = \sqrt{5}\), являются границами этого промежутка и включаются в него.

Ответ: а) \(\frac{1}{5}\); \(\sqrt{5}\); б) \(\frac{1}{5}\); \(\sqrt{5}\)

1. Доказываем пункт а): Так как \(M\) и \(N\) — середины боковых ребер \(SA\) и \(SB\), отрезок \(MN\) является средней линией треугольника \(SAB\), следовательно, \(MN \parallel AB\). Проекция прямой \(MN\) на плоскость основания параллельна \(AB\). Пусть \(SO\) — высота пирамиды. Точка \(O\) делит медиану основания \(CE\) в отношении 2 : 1, считая от вершины \(C\). Плоскость \(\alpha\) проходит через среднюю линию, значит её проекция на основание пересекает медиану \(CE\) в точке \(K\), делящей отрезок \(OE\) пополам.

\(CO = \frac{2}{3}CE, \quad OE = \frac{1}{3}CE \Rightarrow OK = KE = \frac{1}{6}CE\)

Тогда длина отрезка \(CK = CO + OK = \frac{2}{3}CE + \frac{1}{6}CE = \frac{5}{6}CE\). Оставшаяся часть \(KE = \frac{1}{6}CE\). Отношение отрезков равно:

\(CK : KE = \frac{5}{6} : \frac{1}{6} = 5 : 1\)

Что и требовалось доказать
2. Находим расстояние в пункте б): Расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно расстоянию от её проекции на основание до линии пересечения плоскости \(\alpha\) с основанием. Так как линия пересечения параллельна \(AB\), то искомое расстояние равно длине отрезка \(KE\) медианы \(CE\).
3. Вычисляем длину медианы правильного треугольника:

\(CE = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \frac{30\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\)

4. Находим финальное расстояние:

\(KE = \frac{1}{6} \cdot CE = \frac{15\sqrt{3}}{6} = 2,5\sqrt{3}\)

Ответ: б) \(2,5\sqrt{3}\)

1. Преобразуем основания степеней: Заметим, что все основания выражаются через простые числа 3 и 5:

• • \(45^x = (9 \cdot 5)^x = 9^x \cdot 5^x = 3^{2x} \cdot 5^x\)
• • \(27^{x + 1} = 27 \cdot 27^x = 27 \cdot 3^{3x}\)
• • \(15^x = 3^x \cdot 5^x\)
• • \(9^x = 3^{2x}\)

2. Перепишем неравенство и сгруппируем слагаемые:

\(27 \cdot 9^x \cdot 5^x — 27 \cdot 9^x \cdot 3^x — 12 \cdot 3^x \cdot 5^x + 12 \cdot 3^x \cdot 3^x + 5^x — 3^x \leq 0\)

Вынесем общие множители в парах:

\(27 \cdot 9^x (5^x — 3^x) — 12 \cdot 3^x (5^x — 3^x) + 1(5^x — 3^x) \leq 0\)

3. Выносим общий многочлен за скобки:

\((5^x — 3^x)(27 \cdot 9^x — 12 \cdot 3^x + 1) \leq 0\)

4. Решаем вторую скобку через замену переменной: Пусть \(t = 3^x\), где \(t > 0\). Тогда вторая скобка примет вид квадратного трёхчлена:

\(27t^2 — 12t + 1 = 0\)

Найдём корни через дискриминант:

\(D = (-12)^2 — 4 \cdot 27 \cdot 1 = 144 — 108 = 36\)

\(t_1 = \frac{12 — 6 = 6}{54} = \frac{1}{9}, \quad t_2 = \frac{12 + 6 = 18}{54} = \frac{1}{3}\)

Разложим вторую скобку на множители: \(27 \cdot (3^x — \frac{1}{9})(3^x — \frac{1}{3})\)
5. Применяем метод интервалов (или метод рационализации): Вынесем \(3^x\) из первой скобки: \(3^x((\frac{5}{3})^x — 1)\). Полное неравенство запишется как:

\(3^x \cdot ((\frac{5}{3})^x — 1) \cdot 27 \cdot (3^x — 3^{-2}) \cdot (3^x — 3^{-1}) \leq 0\)

Так как \(3^x > 0\) и \(27 > 0\), знаки зависят от множителей:

• • По знаку оснований выражения \((a^x — a^y)\) совпадают по знаку с \((x — y)\) при \(a > 1\):
• • \((\frac{5}{3})^x — (\frac{5}{3})^0 \rightarrow x — 0\)
• • \(3^x — 3^{-2} \rightarrow x — (-2) = x + 2\)
• • \(3^x — 3^{-1} \rightarrow x — (-1) = x + 1\)

Получаем эквивалентное алгебраическое неравенство:

\(x(x + 2)(x + 1) \leq 0\)

6. Находим промежутки: На числовой прямой отмечаем точки \(-2\), \(-1\) и \(0\). Расставляя знаки методом интервалов, получаем области со знаком «минус»:

\(x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 0]\)

Ответ: \((-\infty; -2] \cup [-1; 0]\)

1. Преобразуем выражение для поиска максимума: Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\tau^2\), предварительно внеся \(\tau^2\) в знаменателе под знак квадратного корня как \(\tau^4\):

\(A = \frac{k\theta_0}{\sqrt{\frac{(T^2 — \tau^2)^2}{\tau^4} + \frac{n^2\tau^2T^2}{\tau^4}}} = \frac{k\theta_0}{\sqrt{(\frac{T^2}{\tau^2} — 1)^2 + n^2 \cdot \frac{T^2}{\tau^2}}}\)

2. Вводим замену переменной: Чтобы амплитуда \(A\) была максимальной, подкоренное выражение в знаменателе должно быть минимальным. Пусть \(x = \frac{T^2}{\tau^2}\). Тогда исследуем на минимум функцию:

\(f(x) = (x — 1)^2 + n^2x = x^2 — 2x + 1 + n^2x = x^2 + (n^2 — 2)x + 1\)

3. Находим вершину параболы: Графиком функции \(f(x)\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Своё минимальное значение она принимает в вершине:

\(x_{в} = -\frac{b}{2a} = -\frac{n^2 — 2}{2 \cdot 1} = 1 — \frac{n^2}{2}\)

4. Возвращаемся к исходной переменной \(\tau\): Подставим \(x = \frac{T^2}{\tau^2}\):

\(\frac{T^2}{\tau^2} = 1 — \frac{n^2}{2} \Rightarrow \tau^2 = \frac{T^2}{1 — \frac{n^2}{2}} \Rightarrow \tau = \frac{T}{\sqrt{1 — \frac{n^2}{2}}}\)

5. Учитываем особенности коэффициентов: Для реальных судов коэффициент сопротивления воды \(n\) крайне мал (\(n = 0,195 \Rightarrow n^2 \approx 0,038\)). В рамках задач школьного курса физики и математики, а также физического смысла резонанса без сильного затухания, подкоренное выражение \(1 — \frac{n^2}{2}\) стремится к 1. Таким образом, наибольшая амплитуда колебаний (резонанс) достигается тогда, когда период вынужденных колебаний волны \(\tau\) практически совпадает с периодом свободных колебаний корабля \(T\):

\(\tau = T = 15,2\) с

Ответ: 15,2

1. Доказываем пункт а): Пусть \(K\) — точка пересечения биссектрисы \(AD\) и медианы \(BM\). По условию \(BK = KM\). В треугольнике \(ABM\) отрезок \(AK\) является биссектрисой и одновременно медианой, так как делит сторону \(BM\) пополам. Следовательно, треугольник \(ABM\) является равнобедренным с равными сторонами \(AB = AM\). Поскольку \(M\) — середина \(AC\), имеем \(AM = \frac{1}{2}AC\), откуда \(AC = 2 \cdot AB\).
По свойству биссектрисы треугольника \(ABC\) отношение отрезков стороны, на которые её делит биссектриса, равно отношению прилежащих сторон:

\(\frac{CD}{BD} = \frac{AC}{AB} = \frac{2 \cdot AB}{AB} = 2 \Rightarrow CD = 2 \cdot BD\)

Треугольники \(ACD\) и \(ABD\) имеют общую высоту, проведённую из вершины \(C\), поэтому их площади относятся как длины их оснований:

\(\frac{S_{ACD}}{S_{ABD}} = \frac{CD}{BD} = 2 \Rightarrow S_{ACD} = 2 \cdot S_{ABD}\)

Что и требовалось доказать
2. Решаем пункт б): Рассмотрим треугольник \(MBC\) и прямую \(AD\), пересекающую его стороны. По теореме Менелая для треугольника \(BMC\) и секущей прямой \(AD\) (пересекающей продолжение \(BC\) в точке \(D\), сторону \(BM\) в точке \(K\) и сторону \(MC\) в точке \(A\)) выполняется соотношение:

\(\frac{BK}{KM} \cdot \frac{MA}{AC} \cdot \frac{CD}{DB} = 1\)

Подставим известные отношения \(\frac{BK}{KM} = 1\) и \(\frac{MA}{AC} = \frac{1}{2}\):

\(1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CD}{DB} = 1 \Rightarrow \frac{CD}{DB} = 2\)

Теперь применим теорему Менелая для треугольника \(AMD\) и секущей \(BM\):

\(\frac{AK}{KD} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1\)

Учитывая, что \(CD = 2 \cdot BD\), длина \(BC = CD — BD = BD\), то есть \(D\) — внешняя точка, а отношение \(\frac{DB}{BC} = 1\). Также \(\frac{CM}{MA} = 1\). Отсюда:

\(\frac{AK}{KD} \cdot 1 \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{AK}{KD} = 1\)

Таким образом, медиана \(BM\) пересекает биссектрису в точке \(K\), делящей её в отношении 1 : 1

Ответ: б) 1 : 1

1. Группируем и преобразуем уравнение: Перенесём слагаемые так, чтобы выделить похожие математические структуры в левой и правой частях уравнения:

\(27x^6 + 3x^2 = (4x — 3a)^3 + (4x — 3a)\)

Заметим, что \(27x^6 = (3x^2)^3\). Перепишем уравнение в виде:

\((3x^2)^3 + 3x^2 = (4x — 3a)^3 + (4x — 3a)\)

2. Используем свойство монотонности функции: Рассмотрим функцию функции \(f(t) = t^3 + t\). Данная функция является строго возрастающей на всей числовой прямой, так как её производная \(f'(t) = 3t^2 + 1 > 0\) всегда положительна
3. Переходим к эквивалентному уравнению: Поскольку функция \(f(t)\) строго монотонна, равенство \(f(t_1) = f(t_2)\) возможно тогда и только тогда, когда аргументы равны (\(t_1 = t_2\)):

\(3x^2 = 4x — 3a\)

4. Исследуем квадратное уравнение: Перенесём все члены в одну сторону:

\(3x^2 — 4x + 3a = 0\)

Чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень, полученное квадратное уравнение должно иметь действительные корни. Для этого его дискриминант \((D)\) или чётный дискриминант \((D/4)\) должен быть неотрицательным:

\(\frac{D}{4} = (-2)^2 — 3 \cdot 3a = 4 — 9a \geq 0\)

\(4 \geq 9a \Rightarrow a \leq \frac{4}{9}\)

Ответ: \(a \in (-\infty; \frac{4}{9}]\)

1. Вводим математические обозначения: Пусть оценки экспертов, упорядоченные по возрастанию, равны \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 < x_7\). Сумму пяти средних оценок обозначим за \(S = x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6\).
Тогда старый рейтинг равен \(R_{ст} = \frac{x_1 + S + x_7}{7}\), а новый равен \(R_{нов} = \frac{S}{5}\)
2. Преобразуем разность рейтингов:

\(\Delta R = R_{ст} — R_{нов} = \frac{x_1 + S + x_7}{7} — \frac{S}{5} = \frac{5x_1 + 5x_7 — 2S}{35}\)

3. Проверяем пункт а): Приравняем разность к \(\frac{1}{30}\):

\(\frac{5x_1 + 5x_7 — 2S}{35} = \frac{1}{30} \Rightarrow 5x_1 + 5x_7 — 2S = \frac{35}{30} = \frac{7}{6}\)

Так как все оценки целые числа, выражение в левой части должно быть строго целым числом. Однако \(\frac{7}{6}\) — дробное число, поэтому равенство невозможно. Ответ: нет
4. Проверяем пункт б): Приравняем разность к \(\frac{1}{35}\):

\(\frac{5x_1 + 5x_7 — 2S}{35} = \frac{1}{35} \Rightarrow 5x_1 + 5x_7 — 2S = 1\)

Попробуем подобрать целые различные оценки от 0 до 10. Пусть \(x_1 = 0\), \(x_7 = 9\). Тогда \(5 \cdot 0 + 5 \cdot 9 — 2S = 1 \Rightarrow 45 — 2S = 1 \Rightarrow 2S = 44 \Rightarrow S = 22\).
Нам нужно выбрать 5 различных целых чисел строго между 0 и 9, сумма которых равна 22. Подходит набор: 2, 3, 4, 6, 7 (сумма \(2+3+4+6+7 = 22\)). Полный набор различных оценок [0, 2, 3, 4, 6, 7, 9] удовлетворяет условию. Ответ: да
5. Находим максимум в пункте в): Чтобы максимизировать выражение \(\frac{5x_1 + 5x_7 — 2S}{35}\), необходимо сделать \(x_1\) и \(x_7\) как можно больше, а сумму \(S\) — как можно меньше.
Максимальное значение для \(x_7 = 10\). Так как все числа различны, минимально возможные значения для средних оценок при фиксированном \(x_1\) должны быть последовательными целыми числами: \(x_1 + 1, x_1 + 2, x_1 + 3, x_1 + 4, x_1 + 5\).
Тогда минимальная сумма \(S = 5x_1 + 15\). Подставим её в числитель разности:

\(5x_1 + 5 \cdot 10 — 2(5x_1 + 15) = 50 — 5x_1 — 30 = 20 — 5x_1\)

Чтобы значение было максимальным, выберем минимально возможное \(x_1 = 0\). Тогда числитель равен \(20 — 0 = 20\). При этом средние оценки будут равны 1, 2, 3, 4, 5, а \(x_7 = 10\). Все числа различны. Максимальная разность равна \(\frac{20}{35} = \frac{4}{7}\).

Ответ: а) нет; б) да; в) \(\frac{4}{7}\)