Математика · 4 класс · Задание 12 ВПР (комплект 1)
Условие задачи (ВПР, математика, 4 класс). Полоску бумаги разрезали на 9 частей. После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на 9 частей. Затем снова самую большую из полученных частей разрезали на 9 частей. Так поступили много раз: на каждом шаге самую большую часть разрезали на 9 частей. Могло ли в итоге получиться 997 частей?
Эта задача — типовое задание № 12 ВПР по математике за 4 класс комплект 1. На первый взгляд кажется, что нужно долго перебирать варианты. На самом деле она решается в три коротких шага через анализ остатка от деления. Разберём подробно.
Шаг 1. Следим за тем, как меняется количество частей
В самом начале у нас 1 полоска. Когда мы разрезаем её на 9 частей, одна исходная часть исчезает и на её месте появляется 9 новых. Итого количество частей увеличивается на 9 − 1 = 8.
Это правило не меняется ни на одном шаге: берём одну часть, режем её на 9 — общее число частей растёт на 8.
| Шаг | Что делаем | Итого частей |
|---|---|---|
| Начало | Целая полоска | 1 |
| 1-й разрез | 1 часть → 9 частей (+8) | 9 |
| 2-й разрез | Самую большую из 9 → ещё 9 (+8) | 17 |
| 3-й разрез | Самую большую из 17 → ещё 9 (+8) | 25 |
| 4-й разрез | +8 | 33 |
| n-й разрез | +8 | 1 + 8n |
Последовательность: 1 → 9 → 17 → 25 → 33 → 41 → … Каждый раз прибавляется 8.
Шаг 2. Выводим общую формулу
После n разрезаний количество частей равно:
Количество частей = 1 + 8 × n
(где n — целое положительное число)Это арифметическая прогрессия с первым членом 1 и шагом 8. Все числа в этой прогрессии при делении на 8 дают остаток 1 (потому что само число 1 делится на 8 с остатком 1, и каждый раз мы прибавляем кратное 8).
Ключевое наблюдение: сколько бы раз мы ни разрезали, количество частей при делении на 8 всегда даёт остаток 1.
Шаг 3. Проверяем число 997
Делим 997 на 8:
997 ÷ 8 = 124 (остаток 5)
Проверка: 8 × 124 = 992, и 997 − 992 = 5Остаток равен 5, а не 1. Значит, 997 не входит в нашу последовательность и получить такое число частей невозможно.
Можно убедиться иначе — через уравнение. Предположим, что 997 частей всё же можно получить. Тогда должно существовать целое натуральное n такое, что:
1 + 8n = 997
8n = 996
n = 996 ÷ 8 = 124,5Число 124,5 — не целое, а количество разрезаний обязано быть целым. Противоречие.
Ответ
Нет, 997 частей получиться не могло.
Образец записи решения для тетради (ВПР)
В ВПР нужно написать решение и ответ. Вот готовый образец:
При каждом разрезании одной части на 9 общее количество частей увеличивается на 8 (одна часть заменяется девятью: +9 − 1 = +8).
Следовательно, количество частей всегда имеет вид 1 + 8n, то есть при делении на 8 даёт остаток 1.
Проверяем число 997: 997 = 8 × 124 + 5. Остаток равен 5, а не 1.
Ответ: нет, 997 частей получиться не могло.
Наглядное объяснение: почему именно остаток?
Представьте числовую прямую, на которой закрашены только числа 1, 9, 17, 25, 33 — то есть каждое 8-е число начиная с единицы. Число 997 на этой прямой просто не попадает в закрашенные клетки: оно стоит между 993 (= 1 + 8 × 124) и 1001 (= 1 + 8 × 125).
Именно 993 или 1001 можно получить при таком способе разрезания — но не 997.
Этот приём называется методом инварианта: мы ищем свойство (в данном случае — остаток при делении на 8), которое не меняется ни на каком шаге, и проверяем, обладает ли им нужное нам число.
Аналогичные задачи ВПР для тренировки
Тот же метод применяется во всех похожих задачах про разрезание. Попробуйте решить самостоятельно:
- Полоску разрезали на 3 части. Могло ли получиться 100 частей?
Подсказка: каждый раз +2, проверьте остаток от деления на 2. - Полоску разрезали на 5 частей. Могло ли получиться 399 частей?
Подсказка: каждый раз +4, формула 1 + 4n. - Полоску разрезали на 9 частей. Могло ли получиться 1001 часть?
Проверьте: (1001 − 1) ÷ 8 = 125 — целое число. Да, могло!
Универсальный алгоритм для задач «разрезание на k частей»
Любая задача такого типа из ВПР решается по одной схеме:
- При каждом разрезании одной части на k кусков общее число частей увеличивается на k − 1.
- Общая формула: количество частей = 1 + (k − 1) × n.
- Вычитаем 1 из нужного числа и проверяем, делится ли результат на (k − 1) без остатка.
- Если делится — получиться могло, если нет — не могло.
В нашей задаче: k = 9, k − 1 = 8. Проверяем: (997 − 1) = 996. Делим: 996 ÷ 8 = 124,5. Не целое — ответ «нет».