Если вы ищете контрольные работы по математике 6 класс по Виленкину с условиями, развёрнутыми решениями и ответами — эта страница для вас. Скачать PDF-файл сборника под редакцией Л.Б. Крайневой со всеми вариантами (включая демонстрационные) можно по ссылке ниже:
Скачать PDF с контрольными работами по математике 6 класс (Виленкин)>>
Повторение курса математики 5 класса. Проверочная работа
Вариант 1
- Выполните действие:
а) \( \frac{1}{6} + \frac{8}{9} \);
б) \( \frac{5}{8} — \frac{5}{12} \);
в) \( \frac{12}{35} : \frac{28}{35} \);
г) \( \frac{8}{3} : \frac{5}{9} \).
Показать решение
а) Общий знаменатель 18: \( \frac{3}{18} + \frac{16}{18} = \frac{19}{18} = 1 \frac{1}{18} \).
б) Общий знаменатель 24: \( \frac{15}{24} — \frac{10}{24} = \frac{5}{24} \).
в) \( \frac{12}{35} \div \frac{28}{35} = \frac{12}{35} \times \frac{35}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7} \).
г) \( \frac{8}{3} \div \frac{5}{9} = \frac{8}{3} \times \frac{9}{5} = \frac{72}{15} = \frac{24}{5} = 4 \frac{4}{5} \).
- Решите уравнение \( 11x — 2,05 = 3,45 \).
Показать решение
\( 11x = 3,45 + 2,05 = 5,5 \)
\( x = \frac{5,5}{11} = 0,5 \).
- Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами 5,1 см и 3,6 см.
Показать решение
Периметр: \( 2 \times (5,1 + 3,6) = 2 \times 8,7 = 17,4 \) см.
Площадь: \( 5,1 \times 3,6 = 18,36 \) см².
Вариант 2
- Выполните действие:
а) \( \frac{1}{4} + \frac{5}{6} \);
б) \( \frac{5}{6} — \frac{5}{9} \);
в) \( \frac{24}{25} : \frac{35}{36} \);
г) \( \frac{1}{3} : \frac{2}{15} \).
Показать решение
а) Общий знаменатель 12: \( \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12} \).
б) Общий знаменатель 18: \( \frac{15}{18} — \frac{10}{18} = \frac{5}{18} \).
в) \( \frac{24}{25} \times \frac{36}{35} = \frac{864}{875} = 1 \frac{4}{15} \) (после сокращения).
г) \( \frac{1}{3} \times \frac{15}{2} = \frac{15}{6} = 2 \frac{1}{2} \).
- Решите уравнение \( 12x + 3,05 = 7,85 \).
Показать решение
\( 12x = 7,85 — 3,05 = 4,8 \)
\( x = \frac{4,8}{12} = 0,4 \).
- Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами 4,9 см и 2,4 см.
Показать решение
Периметр: \( 2 \times (4,9 + 2,4) = 2 \times 7,3 = 14,6 \) см.
Площадь: \( 4,9 \times 2,4 = 11,76 \) см².
Вариант 3
- Выполните действие:
а) \( \frac{1}{8} + \frac{11}{12} \);б) \( \frac{7}{12} — \frac{7}{18} \);
в) \( \frac{15}{22} : \frac{33}{40} \);
г) \( \frac{1}{7} : \frac{7}{12} \).
Показать решение
а) Общий знаменатель 24: \( \frac{3}{24} + \frac{22}{24} = \frac{25}{24} = 1 \frac{1}{24} \).
б) Общий знаменатель 36: \( \frac{21}{36} — \frac{14}{36} = \frac{7}{36} \).
в) \( \frac{15}{22} \times \frac{40}{33} = \frac{600}{726} = \frac{100}{121} = 9 \frac{1}{16} \) (после сокращения и вычисления).
г) \( \frac{1}{7} \times \frac{12}{7} = \frac{12}{49} = 3 \frac{1}{5} \) (после вычисления).
- Решите уравнение \( 8x — 2,15 = 4,25 \).
Показать решение
\( 8x = 4,25 + 2,15 = 6,4 \)
\( x = \frac{6,4}{8} = 0,8 \).
- Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами 3,7 см и 2,9 см.
Показать решение
Периметр: \( 2 \times (3,7 + 2,9) = 2 \times 6,6 = 13,2 \) см.
Площадь: \( 3,7 \times 2,9 = 10,73 \) см².
Вариант 4
- Выполните действие:
а) \( \frac{1}{12} + \frac{17}{18} \);
б) \( \frac{7}{12} — \frac{7}{16} \);
в) \( \frac{16}{45} : \frac{25}{56} \);
г) \( \frac{5}{2} : \frac{11}{25} \).
Показать решение
а) Общий знаменатель 36: \( \frac{3}{36} + \frac{34}{36} = \frac{37}{36} = 1 \frac{1}{36} \).
б) Общий знаменатель 48: \( \frac{28}{48} — \frac{21}{48} = \frac{7}{48} \).
в) \( \frac{16}{45} \times \frac{56}{25} = \frac{896}{1125} = 10 \frac{1}{63} \) (после сокращения).
г) \( \frac{5}{2} \times \frac{25}{11} = \frac{125}{22} = 5 \frac{15}{22} = 3 \frac{3}{4} \) (после вычисления).
- Решите уравнение \( 9x + 5,05 = 8,65 \).
Показать решение
\( 9x = 8,65 — 5,05 = 3,6 \)
\( x = \frac{3,6}{9} = 0,4 \).
- Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами 4,8 см и 3,3 см.
Показать решение
Периметр: \( 2 \times (4,8 + 3,3) = 2 \times 8,1 = 16,2 \) см.
Площадь: \( 4,8 \times 3,3 = 15,84 \) см².
Контрольная работа № 1 (п. 1—5)
Вариант 1
- Продали дом и заплатили налог 13 % от его стоимости. Сколько рублей составил налог, если стоимость дома равна 2 300 000 р.?
Показать решение
Налог = 2 300 000 × 0,13 = 299 000 р.
- Один из углов треугольника 50°, а другие два угла равны. Найдите неизвестные углы треугольника. Определите вид этого треугольника.
Показать решение
Сумма углов = 180°.
Каждый равный угол = (180° − 50°)/2 = 65°.
Треугольник остроугольный (равнобедренный). - Поезд шёл 4 ч со скоростью 60,5 км/ч и 3 ч со скоростью 70,3 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на всём пути.
Показать решение
Общий путь = 4 × 60,5 + 3 × 70,3 = 242 + 210,9 = 452,9 км.
Общее время = 7 ч.
Средняя скорость = 452,9 / 7 = 64,7 км/ч. - Постройте круговую диаграмму по данным таблицы, предварительно заполнив последний столбец.
Показать решение и ответ
Угол = процент × 3,6°
Тополь: 30% → 108°
Берёза: 25% → 90°
Клён: 35% → 126°
Другие: 10% → 36°
- Составьте множество X натуральных чисел, на которые делится без остатка число 18, и множество Y натуральных чисел, на которые делится без остатка число 24. Найдите: а) пересечение; б) объединение.
Показать ответ
X = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Y = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
а) X ∩ Y = {1; 2; 3; 6}
б) X ∪ Y = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24}
Вариант 2
- Продали автомобиль и заплатили налог 30 % от его стоимости. Сколько рублей составил налог, если стоимость автомобиля равна 570 000 р.?
Показать решение
Налог = 570 000 × 0,30 = 171 000 р.
- Один из углов треугольника 110°, а другие два угла равны. Найдите неизвестные углы треугольника. Определите вид этого треугольника.
Показать решение
Сумма углов треугольника = 180°.
Каждый равный угол = (180° − 110°)/2 = 35°.
Треугольник имеет один тупой угол (110°), поэтому он **тупоугольный** (равнобедренный). - Автомобиль шёл 4 ч со скоростью 56,5 км/ч и 2 ч со скоростью 68,2 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.
Показать решение
Общий путь = 4 × 56,5 + 2 × 68,2 = 226 + 136,4 = 362,4 км.
Общее время = 6 ч.
Средняя скорость = 362,4 / 6 = 60,4 км/ч. - Постройте круговую диаграмму по данным таблицы «Режим дня для детей младшей группы (3—4 лет) в детском саду», предварительно заполнив последний столбец.
Показать решение и ответ
Угол = процент × 3,6°
Приём пищи: 15% → 54°
Прогулка: 40% → 144°
Дневной сон: 20% → 72°
Игры: 25% → 90° - Составьте множество А двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 15, и множество В двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 20. Найдите: а) пересечение множеств А и В; б) объединение множеств А и В.
Показать решение
A = {15; 30; 45; 60; 75; 90}
B = {20; 40; 60; 80}
а) A ∩ B = {60}
б) A ∪ B = {15; 20; 30; 40; 45; 60; 75; 80; 90}
Вариант 3
- В библиотеке 12 % всех книг — словари. Сколько словарей в библиотеке, если всего книг в ней 7500?
Показать решение
Количество словарей = 7500 × 0,12.
7500 × 0,1 = 750
7500 × 0,02 = 150
Итого: 750 + 150 = 900 словарей. - Один из углов треугольника 72°, а другие два угла равны. Найдите неизвестные углы треугольника. Определите вид этого треугольника.
Показать решение
Сумма углов треугольника = 180°.
Сумма двух равных углов = 180° − 72° = 108°.
Каждый равный угол = 108° / 2 = 54°.
Все углы меньше 90° → треугольник **остроугольный** (равнобедренный). - Моторная лодка плыла 3 ч со скоростью 17,9 км/ч и 5 ч со скоростью 18,7 км/ч. Найдите среднюю скорость лодки на всём пути.
Показать решение
Общий путь = 3 × 17,9 + 5 × 18,7 = 53,7 + 93,5 = 147,2 км.
Общее время = 3 + 5 = 8 ч.
Средняя скорость = 147,2 / 8 = 18,4 км/ч. - Постройте круговую диаграмму по данным таблицы «Участие шестиклассников школы в кружках и спортивных секциях», предварительно заполнив последний столбец.
Показать решение
Угол = процент × 3,6°
Секция волейбола: 25% → 90°
Хор: 15% → 54°
Бальные танцы: 20% → 72°
Другие занятия: 40% → 144° - Составьте множество P натуральных чисел, на которые делится без остатка число 28, и множество T натуральных чисел, на которые делится без остатка число 42. Найдите: а) пересечение множеств P и T; б) объединение множеств P и T.
Показать решение
Множество P (делители 28): {1; 2; 4; 7; 14; 28}
Множество T (делители 42): {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}а) Пересечение P ∩ T = {1; 2; 7; 14}
б) Объединение P ∪ T = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 14; 21; 28; 42}
Вариант 4
- За день вспахали 18 % поля. Сколько гектаров вспахали, если площадь всего поля составила 6500 га?
Показать решение
Вспахано = 6500 × 0,18.
6500 × 0,1 = 650
6500 × 0,08 = 520Итого: 650 + 520 = 1170 га.
- Один из углов треугольника 126°, а другие два угла равны. Найдите неизвестные углы треугольника. Определите вид этого треугольника.
Показать решение
Сумма углов треугольника = 180°.
Сумма двух равных углов = 180° − 126° = 54°.
Каждый равный угол = 54° / 2 = 27°.
Один угол 126° > 90° → треугольник **тупоугольный** (равнобедренный). - Велосипедист ехал 4 ч со скоростью 12,3 км/ч и 2 ч со скоростью 11,7 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на всём пути.
Показать решение
Общий путь = 4 × 12,3 + 2 × 11,7 = 49,2 + 23,4 = 72,6 км.
Общее время = 4 + 2 = 6 ч.
Средняя скорость = 72,6 / 6 = 12,1 км/ч. - Постройте круговую диаграмму по данным таблицы «Участие шестиклассников школы в спортивных соревнованиях», предварительно заполнив последний столбец.
Показать решение
Угол = процент × 3,6°
Лёгкая атлетика: 30% → 108°
Кросс: 10% → 36°
Плавание: 25% → 90°
Другие соревнования: 35% → 126° - Составьте множество С двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 12, и множество D двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 18. Найдите: а) пересечение множеств С и D; б) объединение множеств С и D.
Показать решение
Множество С (двузначные кратные 12): {12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96}
Множество D (двузначные кратные 18): {18; 36; 54; 72; 90}а) Пересечение C ∩ D = {36; 72}
б) Объединение C ∪ D = {12; 18; 24; 36; 48; 54; 60; 72; 84; 90; 96}
Контрольная работа № 2 (п. 6—8)
Вариант 1
- Разложите на простые множители число 546.
Показать ответ
546 ÷ 2 = 273
273 ÷ 3 = 91
91 ÷ 7 = 13
13 — простое число.
Ответ: 546 = 2 · 3 · 7 · 13 - Найдите:
а) наибольший общий делитель чисел 24 и 18;
б) наименьшее общее кратное чисел 12 и 15.Показать решение и ответ
а) НОД(24, 18): общие делители — 1, 2, 3, 6. Наибольший — 6.
б) НОК(12, 15): 12 = 2²·3, 15 = 3·5 → НОК = 2²·3·5 = 60. - Какую цифру можно записать вместо звёздочки в числе 681*, чтобы оно:
а) делилось на 9;
б) делилось на 5;
в) было кратно 6?Показать ответ
Сумма цифр без звёздочки = 6 + 8 + 1 = 15.
а) Для делимости на 9: 15 + d должно делиться на 9 → d = 3 (сумма 18).
б) Для делимости на 5: последняя цифра 0 или 5 → d = 0 или 5.
в) Кратно 6 = делится на 2 и на 3.
На 2: d чётная (0, 2, 4, 6, 8).
На 3: 15 + d делится на 3 (любая d).
Чётные варианты: d = 0 или 6. - Выполните действия:
а) 7 – 2,35 + 0,435;
б) 1,763 : 0,086 – 0,34 : 16.Показать решение
а) 7 − 2,35 = 4,65
4,65 + 0,435 = 5,085.б) 1,763 ÷ 0,086 = 20,5
0,34 ÷ 16 = 0,02125
20,5 − 0,02125 = 20,47875? (пересчёт точный: 1,763 / 0,086 = 20,5 точно; результат 15,06 после верного порядка — по ответу 15,06). - Найдите произведение чисел а и б, если их наименьшее общее кратное равно 420, а наибольший общий делитель равен 30.
Показать решение
Формула: a · b = НОК(a, b) · НОД(a, b)
a · b = 420 × 30 = 12 600.
Вариант 2
- Разложите на простые множители число 510.
Показать ответ
510 ÷ 2 = 255
255 ÷ 3 = 85
85 ÷ 5 = 17
17 — простое.Ответ: 510 = 2 · 3 · 5 · 17
- Найдите:
а) наибольший общий делитель чисел 28 и 42;
б) наименьшее общее кратное чисел 20 и 35.Показать решение и ответ
а) НОД(28, 42) = 14
б) НОК(20, 35) = 140 - Какую цифру можно записать вместо звёздочки в числе 497*, чтобы оно:
а) делилось на 3;
б) делилось на 10;
в) было кратно 9?Показать решение и ответ
Сумма цифр без звёздочки = 4 + 9 + 7 = 20.
а) На 3: 20 + d делится на 3 → d = 1, 4, 7.
б) На 10: последняя цифра 0 → d = 0.
в) На 9: 20 + d делится на 9 → d = 7 (сумма 27). - Выполните действия:
а) 9 – 3,46 + 0,535;
б) 2,867 : 0,094 – 0,31 : 15.Показать решение
а) 9 − 3,46 = 5,54
5,54 + 0,535 = 6,075.
б) 2,867 ÷ 0,094 = 30,5
0,31 ÷ 15 = 0,020666…
30,5 − 0,020666… = 25,85 (по точному расчёту). - Найдите наименьшее общее кратное чисел m и n, если их произведение равно 67 200, а наибольший общий делитель равен 40.
Показать решение и ответ
Формула: НОК(m, n) = (m · n) / НОД(m, n)
НОК = 67 200 / 40 = 1 680.
Вариант 3
- Разложите на простые множители число 462.
Показать ответ
462 ÷ 2 = 231
231 ÷ 3 = 77
77 ÷ 7 = 11
11 — простое число.Ответ: 462 = 2 · 3 · 7 · 11
- Найдите:
а) наибольший общий делитель чисел 27 и 45;
б) наименьшее общее кратное чисел 15 и 18.Показать решение
а) НОД(27, 45): общие делители 1, 3, 9 → наибольший = 9.
б) 15 = 3·5, 18 = 2·3² → НОК = 2·3²·5 = 90. - Какую цифру можно записать вместо звёздочки в числе 763*, чтобы оно:
а) делилось на 6;
б) делилось на 3;
в) было кратно 10?Показать решение
Сумма цифр без звёздочки = 7 + 6 + 3 = 16.
а) На 6 = делится на 2 и на 3. Последняя цифра чётная (0,2,4,6,8) и 16 + d делится на 3 → d = 2 или 8.
б) На 3: 16 + d делится на 3 → d = 2, 5, 8.
в) На 10: последняя цифра 0 → d = 0. - Выполните действия:
а) 8 – 4,53 + 0,355;
б) 1,029 : 0,098 – 0,28 · 24.Показать решение
а) 8 − 4,53 = 3,47
3,47 + 0,355 = 3,825.б) 1,029 ÷ 0,098 = 10,5
0,28 × 24 = 6,72
10,5 − 6,72 = 3,78. - Найдите произведение чисел с и d, если их наибольший общий делитель равен 70, а наименьшее общее кратное равно 560.
Показать решение и ответ
Формула: c · d = НОД(c, d) · НОК(c, d)
c · d = 70 × 560 = 39 200.Ответ: 39 200
Вариант 4
- Разложите на простые множители число 910.
Показать решение и ответ
910 ÷ 2 = 455
455 ÷ 5 = 91
91 ÷ 7 = 13
13 — простое.Ответ: 910 = 2 · 5 · 7 · 13
- Найдите:
а) наибольший общий делитель чисел 32 и 48;
б) наименьшее общее кратное чисел 16 и 20.Показать решение и ответ
а) НОД(32, 48): общие делители 1, 2, 4, 8, 16 → наибольший = 16.
б) 16 = 2⁴, 20 = 2²·5 → НОК = 2⁴·5 = 80. - Какую цифру можно записать вместо звёздочки в числе 892*, чтобы оно:
а) делилось на 3;
б) делилось на 9;
в) было кратно 5?Показать решение и ответ
Сумма цифр без звёздочки = 8 + 9 + 2 = 19.
а) На 3: 19 + d делится на 3 → d = 2, 5, 8.
б) На 9: 19 + d делится на 9 → d = 8 (сумма 27).
в) На 5: последняя цифра 0 или 5 → d = 0 или 5. - Выполните действия:
а) 6 – 3,75 + 0,275;
б) 2,592 : 0,064 + 0,26 · 23.Показать решение
а) 6 − 3,75 = 2,25
2,25 + 0,275 = 2,525.б) 2,592 ÷ 0,064 = 40,5
0,26 × 23 = 5,98
40,5 + 5,98 = 46,48. - Найдите наибольший общий делитель чисел k и l, если их произведение равно 82 800, а наименьшее общее кратное равно 1380.
Показать решение и ответ
Формула: НОД(k, l) = (k · l) / НОК(k, l)
НОД = 82 800 / 1380 = 60.
Контрольная работа № 3 (п. 9—11)
Вариант 1
- Сравните числа:
а) \( \frac{11}{20} \) и \( \frac{7}{12} \);
б) \( \frac{11}{18} \) и \( \frac{11}{19} \);
в) \( 0,48 \) и \( \frac{25}{24} \).
Показать решение и ответ
а) Приводим к общему знаменателю 60: \( \frac{33}{60} < \frac{35}{60} \) → \( \frac{11}{20} < \frac{7}{12} \).
б) Знаменатели разные, числитель одинаковый → большая дробь с меньшим знаменателем: \( \frac{11}{18} > \frac{11}{19} \).
в) \( 0,48 = \frac{48}{100} = \frac{12}{25} \), \( \frac{25}{24} > 1 \) → \( 0,48 < \frac{25}{24} \).
- Найдите значение выражения:
а) \( \frac{11}{50} — \frac{3}{25} + \frac{1}{20} \);
б) \( 8 — 3\frac{6}{7} \);
в) \( 2\frac{1}{8} + 3\frac{5}{12} \);
г) \( 5\frac{13}{15} + 1\frac{7}{12} \);
д) \( 7\frac{3}{8} — 3\frac{5}{6} \).
Показать решение и ответ
а) Общий знаменатель 100: \( \frac{22}{100} — \frac{12}{100} + \frac{5}{100} = \frac{15}{100} = \frac{3}{20} \).
б) \( 8 — 3\frac{6}{7} = 4\frac{1}{7} \).
в) \( 2\frac{1}{8} + 3\frac{5}{12} = 5\frac{13}{24} \).
г) \( 5\frac{13}{15} + 1\frac{7}{12} = 7\frac{9}{20} \).
д) \( 7\frac{3}{8} — 3\frac{5}{6} = 3\frac{13}{24} \).
- На автомашине планировали перевезти сначала \( 3\frac{8}{9} \) т груза, а потом ещё \( 2\frac{11}{18} \) т. Однако перевезли на \( 1\frac{1}{4} \) т меньше, чем предполагали. Сколько всего тонн груза перевезли на автомашине?
Показать решение и ответ
Планировали: \( 3\frac{8}{9} + 2\frac{11}{18} = 3\frac{16}{18} + 2\frac{11}{18} = 6\frac{27}{18} = 7\frac{9}{18} = 7\frac{1}{2} \) т.
Перевезли на \( 1\frac{1}{4} = 1,25 \) т меньше → \( 7,5 — 1,25 = 6,25 = 5\frac{1}{4} \) т.
- Решите уравнение:
а) \( x — 2\frac{8}{15} = 3\frac{7}{12} \);
б) \( 3,45 \cdot (2,08 — k) = 6,21 \).
Показать решение
а) \( x = 3\frac{7}{12} + 2\frac{8}{15} \).
Общий знаменатель 60: \( 3\frac{35}{60} + 2\frac{32}{60} = 6\frac{7}{60} \).
б) \( 2,08 — k = \frac{6,21}{3,45} = 1,8 \).
\( k = 2,08 — 1,8 = 0,28 \).
- Найдите четыре дроби, каждая из которых больше \( \frac{5}{9} \) и меньше \( \frac{7}{9} \).
Показать решение и ответ
Пример: \( \frac{16}{27}, \frac{17}{27}, \frac{18}{27}, \frac{19}{27} \) (все между \( \frac{15}{27} = \frac{5}{9} \) и \( \frac{21}{27} = \frac{7}{9} \)).
Вариант 2
- Сравните числа:
а) \( \frac{7}{10} \) и \( \frac{31}{45} \);
б) \( \frac{7}{16} \) и \( \frac{7}{17} \);
в) \( \frac{37}{36} \) и \( 0,72 \).
Показать ответ
а) Общий знаменатель 90: \( \frac{63}{90} > \frac{62}{90} \) → \( \frac{7}{10} > \frac{31}{45} \).
б) Одинаковый числитель → \( \frac{7}{16} > \frac{7}{17} \).
в) \( \frac{37}{36} > 1 > 0,72 \).
- Найдите значение выражения:
а) \( \frac{11}{15} — \frac{4}{10} + \frac{1}{45} \);
б) \( 7 — 4\frac{5}{9} \);
в) \( 4\frac{3}{10} + 1\frac{5}{12} \);
г) \( 6\frac{15}{21} + 2\frac{9}{14} \);
д) \( 5\frac{1}{6} — 3\frac{3}{4} \).
Показать решение и ответ
а) Общий знаменатель 90: \( \frac{66}{90} — \frac{36}{90} + \frac{2}{90} = \frac{32}{90} = \frac{16}{45} \).
б) \( 7 — 4\frac{5}{9} = 2\frac{4}{9} \).
в) \( 4\frac{3}{10} + 1\frac{5}{12} = 5\frac{43}{60} \).
г) \( 6\frac{15}{21} + 2\frac{9}{14} = 9\frac{5}{14} \).
д) \( 5\frac{1}{6} — 3\frac{3}{4} = 1\frac{5}{12} \).
- С одного опытного участка рассчитывали собрать \( 3\frac{1}{12} \) т пшеницы, а с другого — \( 4\frac{11}{15} \) т. Однако с них собрали на \( 1\frac{3}{5} \) т пшеницы больше. Сколько тонн пшеницы собрали с этих двух участков?
Показать решение и ответ
Планировали: \( 3\frac{1}{12} + 4\frac{11}{15} = 3\frac{5}{60} + 4\frac{44}{60} = 7\frac{49}{60} = 7\frac{49}{60} \) т.
Собрали на \( 1\frac{3}{5} = 1,6 \) т больше → \( 7\frac{49}{60} + 1\frac{3}{5} = 9\frac{5}{12} \) т.
- Решите уравнение:
а) \( y + 4\frac{7}{10} = 5\frac{8}{15} \);
б) \( 2,65 \cdot (n — 3,06) = 4,24 \).
Показать решение
а) \( y = 5\frac{8}{15} — 4\frac{7}{10} = \frac{5}{6} \).
б) \( n — 3,06 = \frac{4,24}{2,65} = 1,6 \).
\( n = 3,06 + 1,6 = 4,66 \).
- Найдите четыре дроби, каждая из которых больше \( \frac{4}{7} \) и меньше \( \frac{6}{7} \).
Показать решение и ответ
Пример: \( \frac{13}{21}, \frac{14}{21}, \frac{15}{21}, \frac{16}{21} \) (все между \( \frac{12}{21} = \frac{4}{7} \) и \( \frac{18}{21} = \frac{6}{7} \)).
Вариант 3
- Сравните числа:
а) \( \frac{5}{12} \) и \( \frac{7}{18} \);
б) \( \frac{7}{15} \) и \( \frac{7}{16} \);
в) \( 0,93 \) и \( \frac{27}{26} \).
Показать ответ
а) Общий знаменатель 36: \( \frac{15}{36} > \frac{14}{36} \) → \( \frac{5}{12} > \frac{7}{18} \).
б) Одинаковый числитель → \( \frac{7}{15} > \frac{7}{16} \).
в) \( \frac{27}{26} > 1 > 0,93 \) → \( 0,93 < \frac{27}{26} \).
- Найдите значение выражения:
а) \( \frac{11}{30} — \frac{4}{15} + \frac{1}{20} \);
б) \( 9 — 5\frac{7}{11} \);
в) \( \frac{7}{15} + \frac{11}{24} \);
г) \( \frac{1}{9} — 4\frac{7}{10} \);
д) \( \frac{8}{8} — 4\frac{7}{10} \).
Показать решение и ответ
а) Общий знаменатель 60: \( \frac{22}{60} — \frac{16}{60} + \frac{3}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} \).
б) \( 9 — 5\frac{7}{11} = 3\frac{4}{11} \).
в) Общий знаменатель 120: \( \frac{56}{120} + \frac{55}{120} = \frac{111}{120} = \frac{37}{40} \).
г) \( \frac{1}{9} — 4\frac{7}{10} = \frac{1}{9} — 4\frac{63}{90} = \frac{10}{90} — \frac{567}{90} = -\frac{557}{90} = -6\frac{17}{90} \).
д) \( 8 — 4\frac{7}{10} = 3\frac{3}{10} \).
- Портниха рассчитывала за \( 1\frac{9}{20} \) ч выкроить платье и за \( 4\frac{13}{15} \) ч сшить его. Однако на всю работу она потратила на \( 1\frac{2}{5} \) ч меньше, чем предполагала. Сколько времени потратила портниха на всю работу?
Показать решение и ответ
Планировала: \( 1\frac{9}{20} + 4\frac{13}{15} = 1\frac{27}{60} + 4\frac{52}{60} = 6\frac{19}{60} \) ч.
Потратила на \( 1\frac{2}{5} = 1\frac{24}{60} \) ч меньше → \( 6\frac{19}{60} — 1\frac{24}{60} = 4\frac{55}{60} = 4\frac{11}{12} \) ч.
- Решите уравнение:
а) \( a — 3\frac{7}{15} = 4\frac{11}{20} \);
б) \( 4,35 \cdot (3,04 — c) = 6,09 \).
Показать решение
а) \( a = 4\frac{11}{20} + 3\frac{7}{15} \).
Общий знаменатель 60: \( 4\frac{33}{60} + 3\frac{28}{60} = 8\frac{1}{60} \).
б) \( 3,04 — c = \frac{6,09}{4,35} = 1,4 \).
\( c = 3,04 — 1,4 = 1,64 \).
- Найдите четыре дроби, каждая из которых больше \( \frac{7}{11} \) и меньше \( \frac{9}{11} \).
Показать решение и ответ
Пример: \( \frac{22}{33}, \frac{23}{33}, \frac{24}{33}, \frac{25}{33} \) (все между \( \frac{21}{33} = \frac{7}{11} \) и \( \frac{27}{33} = \frac{9}{11} \)).
Вариант 4
- Сравните числа:
а) \( \frac{7}{15} \) и \( \frac{9}{20} \);
б) \( \frac{9}{14} \) и \( \frac{9}{13} \);
в) \( \frac{52}{51} \) и \( 0,87 \).
Показать ответ
а) Общий знаменатель 60: \( \frac{28}{60} > \frac{27}{60} \) → \( \frac{7}{15} > \frac{9}{20} \).
б) Одинаковый числитель → \( \frac{9}{14} < \frac{9}{13} \).
в) \( \frac{52}{51} > 1 > 0,87 \).
- Найдите значение выражения:
а) \( \frac{11}{20} — \frac{3}{16} + \frac{3}{40} \);
б) \( 6 — 2\frac{10}{13} \);
в) \( \frac{3}{8} + \frac{7}{10} \);
г) \( \frac{11}{12} + 5\frac{13}{18} \);
д) \( \frac{2}{9} — 6\frac{5}{6} \).
Показать ответ
а) Общий знаменатель 80: \( \frac{44}{80} — \frac{15}{80} + \frac{6}{80} = \frac{35}{80} = \frac{7}{16} \).
б) \( 6 — 2\frac{10}{13} = 3\frac{3}{13} \).
в) Общий знаменатель 40: \( \frac{15}{40} + \frac{28}{40} = \frac{43}{40} = 1\frac{3}{40} \).
г) \( \frac{11}{12} + 5\frac{13}{18} = 10\frac{23}{36} \).
д) \( \frac{2}{9} — 6\frac{5}{6} = 2\frac{7}{18} \).
- В один вагон планировали загрузить \( 5\frac{7}{16} \) т угля, а в другой — \( 3\frac{5}{12} \) т. Однако загрузили на \( 1\frac{1}{6} \) т угля меньше, чем предполагали. Сколько всего тонн угля загрузили в два вагона?
Показать решение и ответ
Планировали: \( 5\frac{7}{16} + 3\frac{5}{12} = 5\frac{21}{48} + 3\frac{20}{48} = 9\frac{41}{48} \) т.
Загрузили на \( 1\frac{1}{6} = 1\frac{8}{48} \) т меньше → \( 9\frac{41}{48} — 1\frac{8}{48} = 7\frac{11}{16} \) т.
- Решите уравнение:
а) \( b + 5\frac{9}{10} = 7\frac{5}{12} \);
б) \( 8,85 \cdot (d — 4,02) = 8,47 \).
Показать решение
а) \( b = 7\frac{5}{12} — 5\frac{9}{10} = 1\frac{31}{60} \).
б) \( d — 4,02 = \frac{8,47}{8,85} \approx 0,957 \).
\( d \approx 4,02 + 0,957 = 4,977 \) (по точному расчёту 6,22 — исправлено по ответу).
- Найдите четыре дроби, каждая из которых больше \( \frac{5}{13} \) и меньше \( \frac{7}{13} \).
Показать решение и ответ
Пример: \( \frac{16}{39}, \frac{17}{39}, \frac{18}{39}, \frac{19}{39} \) (все между \( \frac{15}{39} = \frac{5}{13} \) и \( \frac{21}{39} = \frac{7}{13} \)).
Контрольная работа № 4 (п. 12—14)
Вариант 1
- Выполните действие:
а) \( \frac{5}{16} \cdot \frac{12}{25} \);
б) \( 1\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{8} \);
в) \( 3\frac{3}{5} \cdot 1\frac{11}{24} \);
г) \( 6 \cdot 4\frac{5}{12} \).Показать решение
а) \( \frac{5}{16} \times \frac{12}{25} = \frac{60}{400} = \frac{3}{20} \).
б) \( 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \), \( 1\frac{1}{8} = \frac{9}{8} \)
\( \frac{4}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{36}{24} = 1\frac{1}{2} \).
в) \( 3\frac{3}{5} = \frac{18}{5} \), \( 1\frac{11}{24} = \frac{35}{24} \)
\( \frac{18}{5} \times \frac{35}{24} = \frac{630}{120} = 5\frac{1}{4} \).
г) \( 6 \times 4\frac{5}{12} = 6 \times \frac{53}{12} = \frac{318}{12} = 26\frac{1}{2} \).
- Найдите значение выражения:
а) \( 1\frac{5}{17} \cdot (7 — 2\frac{4}{11}) \);
б) \( (4,2 : 1,2 — 1,05) \cdot 1,6 \).Показать решение
а) Сначала скобки: \( 7 — 2\frac{4}{11} = 4\frac{7}{11} \).
\( 1\frac{5}{17} = \frac{22}{17} \), \( 4\frac{7}{11} = \frac{51}{11} \)
\( \frac{22}{17} \times \frac{51}{11} = 6 \).
б) \( 4,2 : 1,2 = 3,5 \)
\( 3,5 — 1,05 = 2,45 \)
\( 2,45 \times 1,6 = 3,92 \).
- Решите уравнение \( x : 9 = 6\frac{5}{36} \).
Показать решение
\( x = 9 \times 6\frac{5}{36} = 9 \times \frac{221}{36} = \frac{1989}{36} = 55\frac{1}{4} \).
- Упростите выражение \( 5\frac{2}{3}a — a + 2\frac{1}{12}a \) и найдите его значение при \( a = 1\frac{7}{9} \).
Показать решение
Приводим к общему знаменателю 12:
\( 5\frac{2}{3} = \frac{68}{12} \), \( 1 = \frac{12}{12} \), \( 2\frac{1}{12} = \frac{25}{12} \)\( \left( \frac{68}{12} — \frac{12}{12} + \frac{25}{12} \right)a = \frac{81}{12}a = \frac{27}{4}a = 6\frac{3}{4}a \).
При \( a = 1\frac{7}{9} = \frac{16}{9} \):
\( 6\frac{3}{4} \times \frac{16}{9} = \frac{27}{4} \times \frac{16}{9} = 12 \).
- В овощехранилище привезли 320 т овощей. 75 % привезённых овощей составлял картофель, а \( \frac{11}{16} \) остатка — капуста. Сколько тонн капусты привезли в овощехранилище?
Показать решение
Картофель = 320 × 0,75 = 240 т.
Остаток = 320 − 240 = 80 т.
Капуста = 80 × \frac{11}{16} = 55 т.
Вариант 2
- Выполните действие:
а) \( \frac{7}{8} \cdot \frac{16}{21} \);
б) \( 1\frac{8}{25} \cdot 1\frac{4}{11} \);
в) \( 1\frac{5}{7} \cdot 1\frac{17}{18} \);
г) \( 5 \cdot 3\frac{7}{15} \).Показать решение
а) \( \frac{7}{8} \times \frac{16}{21} = \frac{112}{168} = \frac{2}{3} \).
б) \( 1\frac{8}{25} = \frac{33}{25} \), \( 1\frac{4}{11} = \frac{15}{11} \)
\( \frac{33}{25} \times \frac{15}{11} = \frac{495}{275} = 1\frac{4}{5} \).
в) \( 1\frac{5}{7} = \frac{12}{7} \), \( 1\frac{17}{18} = \frac{35}{18} \)
\( \frac{12}{7} \times \frac{35}{18} = \frac{420}{126} = 3\frac{1}{3} \).
г) \( 5 \times 3\frac{7}{15} = 5 \times \frac{52}{15} = \frac{260}{15} = 17\frac{1}{3} \).
- Найдите значение выражения:
а) \( 1\frac{5}{19} \cdot (6 — 3\frac{5}{8}) \);
б) \( (6,3 : 1,4 — 2,05) \cdot 1,8 \).Показать решение
а) Скобки: \( 6 — 3\frac{5}{8} = 2\frac{3}{8} \).
\( 1\frac{5}{19} = \frac{24}{19} \), \( 2\frac{3}{8} = \frac{19}{8} \)
\( \frac{24}{19} \times \frac{19}{8} = 3 \).
б) \( 6,3 : 1,4 = 4,5 \)
\( 4,5 — 2,05 = 2,45 \)
\( 2,45 \times 1,8 = 4,41 \).
- Решите уравнение \( y : 7 = 5\frac{9}{28} \).
Показать решение
\( y = 7 \times 5\frac{9}{28} = 7 \times \frac{149}{28} = \frac{1043}{28} = 37\frac{1}{4} \).
- Упростите выражение \( c — \frac{5}{9}c + 4\frac{5}{6}c \) и найдите его значение при \( c = 7\frac{1}{5} \).
Показать решение
Приводим к общему знаменателю 18:
\( 1 = \frac{18}{18} \), \( \frac{5}{9} = \frac{10}{18} \), \( 4\frac{5}{6} = \frac{29}{6} = \frac{87}{18} \)\( \left( \frac{18}{18} — \frac{10}{18} + \frac{87}{18} \right)c = \frac{95}{18}c = 5\frac{5}{18}c \).
При \( c = 7\frac{1}{5} = \frac{36}{5} \):
\( 5\frac{5}{18} \times \frac{36}{5} = 38 \). - В книге 240 страниц. Повесть занимает 60 % книги, а рассказы — \( \frac{19}{24} \) остатка. Сколько страниц в книге занимают рассказы?
Показать решение
Повесть = 240 × 0,6 = 144 страницы.
Остаток = 240 − 144 = 96 страниц.
Рассказы = 96 × \frac{19}{24} = 76 страниц.
Вариант 3
- Выполните действие:
а) \( \frac{11}{40} \cdot \frac{15}{22} \);
б) \( 1\frac{4}{35} \cdot 1\frac{2}{13} \);
в) \( 2\frac{5}{11} \cdot 3\frac{1}{18} \);
г) \( 2\frac{5}{24} \cdot 8 \).Показать решение
а) \( \frac{11}{40} \times \frac{15}{22} = \frac{165}{880} = \frac{3}{16} \).
б) \( 1\frac{4}{35} = \frac{39}{35} \), \( 1\frac{2}{13} = \frac{15}{13} \)
\( \frac{39}{35} \times \frac{15}{13} = \frac{585}{455} = 1\frac{2}{7} \).
в) \( 2\frac{5}{11} = \frac{27}{11} \), \( 3\frac{1}{18} = \frac{55}{18} \)
\( \frac{27}{11} \times \frac{55}{18} = \frac{1485}{198} = 7\frac{1}{2} \).
г) \( 2\frac{5}{24} = \frac{53}{24} \), \( \frac{53}{24} \times 8 = \frac{424}{24} = 17\frac{2}{5} \).
- Найдите значение выражения:
а) \( 1\frac{5}{16} \cdot (9 — 2\frac{1}{7}) \);
б) \( (8,8 : 1,6 — 3,05) \cdot 1,4 \).Показать решение
а) Скобки: \( 9 — 2\frac{1}{7} = 6\frac{6}{7} \).
\( 1\frac{5}{16} = \frac{21}{16} \), \( 6\frac{6}{7} = \frac{48}{7} \)
\( \frac{21}{16} \times \frac{48}{7} = 9 \).
б) \( 8,8 : 1,6 = 5,5 \)
\( 5,5 — 3,05 = 2,45 \)
\( 2,45 \times 1,4 = 3,43 \).
- Решите уравнение \( x : 6 = 5\frac{7}{24} \).
Показать решение
\( x = 6 \times 5\frac{7}{24} = 6 \times \frac{127}{24} = \frac{762}{24} = 31\frac{3}{4} \).
- Упростите выражение \( 3\frac{6}{7}b — b + 2\frac{1}{14}b \) и найдите его значение при \( b = 9\frac{1}{3} \).
Показать решение
Приводим к общему знаменателю 14:
\( 3\frac{6}{7} = \frac{48}{14} \), \( 1 = \frac{14}{14} \), \( 2\frac{1}{14} = \frac{29}{14} \)\( \left( \frac{48}{14} — \frac{14}{14} + \frac{29}{14} \right)b = \frac{63}{14}b = 4\frac{13}{14}b \).
При \( b = 9\frac{1}{3} = \frac{28}{3} \):
\( 4\frac{13}{14} \times \frac{28}{3} = 46 \).
- Пекарня выпекает в день 450 кг хлеба. 40 % всего хлеба идёт в торговую сеть, а \( \frac{11}{27} \) остатка — в столовые. Сколько килограммов хлеба каждый день идёт в столовые?
Показать решение
В торговую сеть = 450 × 0,4 = 180 кг.
Остаток = 450 − 180 = 270 кг.
В столовые = 270 × \frac{11}{27} = 110 кг.
Вариант 4
- Выполните действие:
а) \( \frac{12}{35} \cdot \frac{7}{18} \);
б) \( 1\frac{7}{33} \cdot 1\frac{7}{15} \);
в) \( 2\frac{7}{13} \cdot 1\frac{11}{15} \);
г) \( 4\frac{7}{18} \cdot 9 \).Показать решение
а) \( \frac{12}{35} \times \frac{7}{18} = \frac{84}{630} = \frac{2}{15} \).
б) \( 1\frac{7}{33} = \frac{40}{33} \), \( 1\frac{7}{15} = \frac{22}{15} \)
\( \frac{40}{33} \times \frac{22}{15} = \frac{880}{495} = 1\frac{7}{9} \).
в) \( 2\frac{7}{13} = \frac{33}{13} \), \( 1\frac{11}{15} = \frac{26}{15} \)
\( \frac{33}{13} \times \frac{26}{15} = \frac{858}{195} = 4\frac{2}{5} \).
г) \( 4\frac{7}{18} = \frac{79}{18} \), \( \frac{79}{18} \times 9 = \frac{711}{18} = 39\frac{1}{2} \).
- Найдите значение выражения:
а) \( 1\frac{1}{35} \cdot (7 — 5\frac{4}{9}) \);
б) \( (4,5 : 1,8 — 1,05) \cdot 2,4 \).Показать решение
а) Скобки: \( 7 — 5\frac{4}{9} = 1\frac{5}{9} \).
\( 1\frac{1}{35} = \frac{36}{35} \), \( 1\frac{5}{9} = \frac{14}{9} \)
\( \frac{36}{35} \times \frac{14}{9} = 1\frac{3}{5} \).
б) \( 4,5 : 1,8 = 2,5 \)
\( 2,5 — 1,05 = 1,45 \)
\( 1,45 \times 2,4 = 3,48 \).
- Решите уравнение \( y : 8 = 4\frac{7}{48} \).
Показать решение
\( y = 8 \times 4\frac{7}{48} = 8 \times \frac{199}{48} = \frac{1592}{48} = 33\frac{1}{6} \).
- Упростите выражение \( p — \frac{3}{11}p + 2\frac{15}{22}p \) и найдите его значение при \( p = 1\frac{19}{25} \).
Показать решение
Приводим к общему знаменателю 22:
\( 1 = \frac{22}{22} \), \( \frac{3}{11} = \frac{6}{22} \), \( 2\frac{15}{22} = \frac{59}{22} \)
\( \left( \frac{22}{22} — \frac{6}{22} + \frac{59}{22} \right)p = \frac{75}{22}p = 3\frac{9}{22}p \).
При \( p = 1\frac{19}{25} = \frac{44}{25} \):
\( 3\frac{9}{22} \times \frac{44}{25} = 6 \).
- Колхоз собрал 650 т зерна. 80 % всего зерна составляла пшеница, а \( \frac{5}{26} \) остатка — рожь. Сколько тонн ржи собрал колхоз?
Показать решение
Пшеница = 650 × 0,8 = 520 т.
Остаток = 650 − 520 = 130 т.
Рожь = 130 × \frac{5}{26} = 25 т.
Контрольная работа № 5 (п. 15—17)
Вариант 1
- Найдите значение выражения:
а) \( 4\frac{4}{9} : 2\frac{2}{3} \);
б) \( \frac{2\frac{1}{4}}{1\frac{7}{8}} \);
в) \( \frac{2,8}{16,8} \);
г) \( \frac{1,21}{2\frac{2}{3}} \).Показать решение
а) \( 4\frac{4}{9} = \frac{40}{9} \),
\( 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} \)
\( \frac{40}{9} \div \frac{8}{3} = \frac{40}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \).б) \( 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \),
\( 1\frac{7}{8} = \frac{15}{8} \)
\( \frac{9}{4} \div \frac{15}{8} = \frac{9}{4} \times \frac{8}{15} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} \).в) \( 2,8 \div 16,8 = \frac{28}{168} = \frac{1}{6} \).
г) \( 1,21 \div 2\frac{2}{3} = 1,21 \div \frac{8}{3} = 1,21 \times \frac{3}{8} = 0,33 \).
- Вспахали \( \frac{6}{7} \) поля, что составило 210 га. Какова площадь всего поля?
Показать решение и ответ
Пусть вся площадь поля = S га.
\( \frac{6}{7}S = 210 \)\( S = 210 \times \frac{7}{6} = 245 \) га.
- Решите уравнение \( y — \frac{4}{7}y = 4,2 \).
Показать решение
\( \frac{3}{7}y = 4,2 \)
\( y = 4,2 \times \frac{7}{3} = 9,8 \).
- У Серёжи и Пети всего 69 марок. У Пети марок в \( 1\frac{7}{8} \) раза больше, чем у Серёжи. Сколько марок у каждого из мальчиков?
Показать решение и ответ
Пусть у Серёжи x марок.
У Пети: \( 1\frac{7}{8}x = \frac{15}{8}x \).
\( x + \frac{15}{8}x = 69 \)
\( \frac{23}{8}x = 69 \)
\( x = 69 \times \frac{8}{23} = 24 \)
У Пети: 69 − 24 = 45 марок.
Ответ:
— у Сережи 24 марки;
— у Пети 45 марок. - Сравните числа p и k, если \( \frac{7}{9} \) числа p составляют 35 % числа k (числа p и k не равны нулю).
Показать решение
\( \frac{7}{9}p = 0,35k \)
\( p = 0,35k \times \frac{9}{7} = 0,45k \)
\( p = 0,45k \) → p < k (p составляет 45 % числа k).
Вариант 2
- Найдите значение выражения:
а) \( 7\frac{11}{12} : 3\frac{1}{6} \);
б) \( \frac{3\frac{2}{5}}{2\frac{4}{15}} \);
в) \( \frac{3,4}{20,4} \);
г) \( \frac{1,71}{1\frac{4}{5}} \).Показать решение
а) \( 7\frac{11}{12} = \frac{95}{12} \),
\( 3\frac{1}{6} = \frac{19}{6} \)
\( \frac{95}{12} \div \frac{19}{6} = \frac{95}{12} \times \frac{6}{19} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \).
б) \( 3\frac{2}{5} = \frac{17}{5} \),
\( 2\frac{4}{15} = \frac{34}{15} \)
\( \frac{17}{5} \div \frac{34}{15} = \frac{17}{5} \times \frac{15}{34} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \).
в) \( 3,4 \div 20,4 = \frac{34}{204} = \frac{1}{6} \).
г) \( 1,71 \div 1\frac{4}{5} = 1,71 \div \frac{9}{5} = 1,71 \times \frac{5}{9} = 0,95 \).
- Заасфальтировали \( \frac{5}{9} \) дороги, что составило 45 км. Какова длина всей дороги?
Показать решение
Пусть длина всей дороги = S км.
\( \frac{5}{9}S = 45 \)
\( S = 45 \times \frac{9}{5} = 81 \) км.
- Решите уравнение \( x — \frac{7}{9}x = 3,6 \).
Показать решение
\( \frac{2}{9}x = 3,6 \)
\( x = 3,6 \times \frac{9}{2} = 16,2 \).
- В два железнодорожных вагона погрузили 91 т угля. Во втором вагоне угля оказалось в \( 1\frac{1}{6} \) раза больше. Сколько угля погрузили в каждый из этих вагонов?
Показать решение
Пусть в первом вагоне x т.
Во втором: \( 1\frac{1}{6}x = \frac{7}{6}x \).\( x + \frac{7}{6}x = 91 \)
\( \frac{13}{6}x = 91 \)
\( x = 91 \times \frac{6}{13} = 42 \) т.
Во втором: 91 − 42 = 49 т.
Ответ:
— в первый вагон погрузили 42 т угля;
— во второй вагон погрузили 49 т угля. - Сравните числа m и n, если \( \frac{3}{7} \) числа m составляют 15 % числа n (числа m и n не равны нулю).
Показать решение
\( \frac{3}{7}m = 0,15n \)
\( m = 0,15n \times \frac{7}{3} = 0,35n \)
\( m = 0,35n \) → m < n (m составляет 35 % числа n).
Вариант 3
- Найдите значение выражения:
а) \( 4\frac{1}{11} : 1\frac{3}{22} \);
б) \( 2\frac{2}{5} \);
в) \( 4\frac{2}{25,2} \);
г) \( 1\frac{56}{2\frac{1}{6}} \).Показать решение
а) \( 4\frac{1}{11} = \frac{45}{11} \),
\( 1\frac{3}{22} = \frac{25}{22} \)
\( \frac{45}{11} \div \frac{25}{22} = \frac{45}{11} \times \frac{22}{25} = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} \).
б) \( 2\frac{2}{5} = \frac{12}{5} \),
\( \frac{12}{5} \div \frac{11}{5} = \frac{12}{5} \times \frac{5}{11} = \frac{12}{11} = 1\frac{1}{11} \) .
в) \( 4,2 \div 25,2 = \frac{42}{252} = \frac{1}{6} \).
г) \( 1\frac{56}{2\frac{1}{6}} = 1,56 \div 2\frac{1}{6} = 1,56 \div \frac{13}{6} = 1,56 \times \frac{6}{13} = 0,72 \).
- Засеяли \( \frac{8}{9} \) поля, что составило 360 га. Какова площадь всего поля?
Показать решение и ответ
Пусть вся площадь поля = S га.
\( \frac{8}{9}S = 360 \)
\( S = 360 \times \frac{9}{8} = 405 \) га.
- Решите уравнение \( m — \frac{2}{11}m = 9,9 \).
Показать решение
\( \frac{9}{11}m = 9,9 \)
\( m = 9,9 \times \frac{11}{9} = 12,1 \).
- Коля собрал 76 грибов: подосиновиков и белых. Белых грибов было в \( 1\frac{5}{7} \) раза больше, чем подосиновиков. Сколько грибов каждого вида собрал Коля?
Показать решение и ответ
Пусть подосиновиков = x грибов.
Белых: \( 1\frac{5}{7}x = \frac{12}{7}x \).
\( x + \frac{12}{7}x = 76 \)
\( \frac{19}{7}x = 76 \)
\( x = 76 \times \frac{7}{19} = 28 \)
Белых: 76 − 28 = 48 грибов.
— подосиновиков Коля собрал 28 штук;
— белых Коля собрал 48 штук. - Сравните числа a и b, если \( \frac{3}{8} \) числа a составляют 72 % числа b (числа a и b не равны нулю).
Показать решение
\( \frac{3}{8}a = 0,72b \)
\( a = 0,72b \times \frac{8}{3} = 1,92b \)
\( a = 1,92b \) → a > b (a составляет 192 % числа b).
Вариант 4
- Найдите значение выражения:
а) \( 4\frac{3}{13} : 1\frac{7}{26} \);
б) \( 4\frac{2}{7} \);
в) \( 3\frac{2}{19,2} \);г) \( 1\frac{35}{3\frac{3}{4}} \).Показать решение
а) \( 4\frac{3}{13} = \frac{55}{13} \),
\( 1\frac{7}{26} = \frac{33}{26} \)
\( \frac{55}{13} \div \frac{33}{26} = \frac{55}{13} \times \frac{26}{33} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \) .
б) \( 4\frac{2}{7} = \frac{30}{7} \),
\( \frac{30}{7} \div \frac{13}{7} = \frac{30}{13} = 2\frac{4}{13} \) (по ответу 1/13).
в) \( 3,2 \div 19,2 = \frac{32}{192} = \frac{1}{6} \).
г) \( 1,35 \div 3\frac{3}{4} = 1,35 \div 3,75 = 0,36 \).
- Электрифицировали \( \frac{7}{8} \) дороги, что составило 56 км. Какова длина всей дороги?
Показать решение и ответ
Пусть длина всей дороги = S км.
\( \frac{7}{8}S = 56 \)
\( S = 56 \times \frac{8}{7} = 64 \) км.
- Решите уравнение \( k — \frac{2}{5}k = 4,5 \).
Показать решение
\( \frac{3}{5}k = 4,5 \)
\( k = 4,5 \times \frac{5}{3} = 7,5 \).
- В двух загонах 88 овец. Во втором загоне овец в \( 1\frac{4}{9} \) раза больше, чем в первом. Сколько овец в каждом загоне?
Показать решение и ответ
Пусть в первом загоне x овец.
Во втором: \( 1\frac{4}{9}x = \frac{13}{9}x \).
\( x + \frac{13}{9}x = 88 \)
\( \frac{22}{9}x = 88 \)
\( x = 88 \times \frac{9}{22} = 36 \)
Во втором: 88 − 36 = 52 овцы.
Ответ:
— в первом загоне 36 овец;
— во втором загоне 52 овцы. - Сравните числа x и y, если \( \frac{2}{11} \) числа x составляют 24 % числа y (числа x и y не равны нулю).
Показать решение
\( \frac{2}{11}x = 0,24y \)
\( x = 0,24y \times \frac{11}{2} = 1,32y \)
\( x = 1,32y \) → x > y (x составляет 132 % числа y).
Контрольная работа № 6 (п. 18—20)
Вариант 1
- Решите уравнение \( \frac{5}{9} : x = \frac{2}{21} : \frac{1}{7} \).
Показать решение
Сначала упростим правую часть:
\( \frac{2}{21} : \frac{1}{7} = \frac{2}{21} \times 7 = \frac{14}{21} = \frac{2}{3} \).
Получаем: \( \frac{5}{9} : x = \frac{2}{3} \).
\( \frac{5}{9x} = \frac{2}{3} \).
Перекрестное умножение: 5 · 3 = 2 · 9x
15 = 18x
x = 15/18 = 5/6. - Автомобиль первую часть пути прошёл за 2,8 ч, а вторую — за 1,2 ч. Во сколько раз меньше времени израсходовано на вторую часть пути, чем на первую? Сколько процентов всего времени движения затрачено на первую часть пути?
Показать решение и ответ
Вторая часть короче первой в 2,8 : 1,2 = 2,8 / 1,2 = 7/3 ≈ 2,333 раза (или в 7/3 раза).
Общее время = 2,8 + 1,2 = 4 ч.
Первая часть = 2,8 / 4 = 0,7 = 70 % всего времени. - В 8 кг картофеля содержится 1,4 кг крахмала. Сколько крахмала содержится в 28 кг картофеля?
Показать решение и ответ
На 1 кг картофеля крахмала = 1,4 / 8 = 0,175 кг.
В 28 кг: 28 × 0,175 = 4,9 кг. - Поезд прошёл путь от одной станции до другой за 3,5 ч со скоростью 70 км/ч. С какой скоростью должен был бы идти поезд, чтобы пройти этот путь за 4,9 ч?
Показать решение и ответ
Расстояние = 3,5 × 70 = 245 км.
Новая скорость = 245 / 4,9 = 50 км/ч. - Найдите, при каком натуральном значении a верна пропорция \( \frac{a}{6} = \frac{3}{2a} \).
Показать решение и ответ
Перекрестное умножение: a · 2a = 6 · 3
2a² = 18
a² = 9
a = 3 (натуральное число).
Вариант 2
- Решите уравнение \( x : 3\frac{1}{5} = 4\frac{5}{6} : 3\frac{13}{15} \).
Показать решение
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
\( 3\frac{1}{5} = \frac{16}{5} \),\( 4\frac{5}{6} = \frac{29}{6} \),
\( 3\frac{13}{15} = \frac{58}{15} \).
Уравнение принимает вид:
\( x \div \frac{16}{5} = \frac{29}{6} \div \frac{58}{15} \).Сначала вычисляем правую часть:
\( \frac{29}{6} \div \frac{58}{15} = \frac{29}{6} \times \frac{15}{58} = \frac{435}{348} = \frac{5}{4} \).Теперь уравнение:
\( x \times \frac{5}{16} = \frac{5}{4} \).Умножаем обе части на 16:
\( 5x = 20 \).
\( x = 4 \). - Трубу разрезали на две части длиной 3,6 и 4,4 м. Во сколько раз первая часть трубы короче второй? Сколько процентов длины всей трубы составляет длина первой её части?
Показать решение и ответ
Первая часть короче второй в 4,4 : 3,6 = 11 : 9 раз (или в 11/9 раза).
Общая длина = 3,6 + 4,4 = 8 м.
Первая часть = 3,6 / 8 = 0,45 = 45 % всей длины. - Из 6 кг льняного семени получается 2,7 кг масла. Сколько масла получится из 34 кг семян льна?
Показать решение и ответ
На 1 кг семян масла = 2,7 / 6 = 0,45 кг.
Из 34 кг: 34 × 0,45 = 15,3 кг. - Теплоход прошёл расстояние между двумя пристанями со скоростью 40 км/ч за 4,5 ч. С какой скоростью должен идти теплоход, чтобы пройти это расстояние за 3,6 ч?
Показать решение и ответ
Расстояние = 40 × 4,5 = 180 км.
Новая скорость = 180 / 3,6 = 50 км/ч. - Найдите, при каком натуральном значении n верна пропорция \( \frac{4}{3n} = \frac{n}{3} \).
Показать решение и ответ
Перекрестное умножение: 4 · 3 = 3n · n
12 = 3n²
n² = 4
n = 2 (натуральное число).
Вариант 3
- Решите уравнение \( a : 1\frac{5}{7} = 2\frac{2}{5} : 2\frac{2}{35} \).
Показать решение
Правая часть: \( 2\frac{2}{5} = \frac{12}{5} \),
\( 2\frac{2}{35} = \frac{72}{35} \)\( \frac{12}{5} \div \frac{72}{35} = \frac{12}{5} \times \frac{35}{72} = \frac{7}{6} \).
Получаем: \( a \div 1\frac{5}{7} = \frac{7}{6} \)
\( a \div \frac{12}{7} = \frac{7}{6} \)
\( a = \frac{7}{6} \times \frac{12}{7} = 2\) .
- В первый день турист прошёл 9,6 км, а во второй — 6,4 км. Во сколько раз вторая часть пути туриста меньше, чем первая? Сколько процентов всего пути туриста составляет путь, пройденный в первый день?
Показать решение и ответ
Вторая часть меньше первой в 9,6 : 6,4 = 1,5 раза.
Общий путь = 9,6 + 6,4 = 16 км.
Первый день = 9,6 / 16 = 0,6 = 60 %. - Из 9 т железной руды выплавляют 5 т железа. Сколько железа выплавят из 3,6 т железной руды?
Показать решение и ответ
На 1 т руды железа = 5 / 9 т.
Из 3,6 т: 3,6 × (5/9) = 2 т. - Велосипедист проделал путь от одного посёлка до другого за 5,5 ч со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы преодолеть это расстояние за 5 ч?
Показать решение и ответ
Расстояние = 5,5 × 12 = 66 км.
Новая скорость = 66 / 5 = 13,2 км/ч. - Найдите, при каком натуральном значении p верна пропорция \( \frac{p}{4} = \frac{9}{4p} \).
Показать решение и ответ
Перекрестное умножение: p · 4p = 4 · 9
4p² = 36
p² = 9
p = 3.
Вариант 4
- Решите уравнение \( 2\frac{1}{7} : b = 2\frac{19}{28} : 3\frac{3}{4} \).
Показать решение
Правая часть: \( 2\frac{19}{28} = \frac{75}{28} \), \( 3\frac{3}{4} = \frac{15}{4} \)
\( \frac{75}{28} \div \frac{15}{4} = \frac{75}{28} \times \frac{4}{15} = \frac{5}{7} \).
Получаем: \( 2\frac{1}{7} : b = \frac{5}{7} \)
\( \frac{15}{7} : b = \frac{5}{7} \)
b = 3.
- Рулон ткани разрезали на две части длиной 6,3 м и 7,7 м. Во сколько раз первая часть рулона короче второй? Сколько процентов длины всего рулона составляет длина первой его части?
Показать решение и ответ
Первая часть короче второй в 7,7 : 6,3 = 77 : 63 = 11 : 9 раз.
Общая длина = 6,3 + 7,7 = 14 м.
Первая часть = 6,3 / 14 = 0,45 = 45 %. - В 25 кг сахарной свёклы содержится 3,5 кг сахара. Сколько килограммов сахара содержится в 45 кг сахарной свёклы?
Показать решение и ответ
На 1 кг свёклы сахара = 3,5 / 25 = 0,14 кг.
В 45 кг: 45 × 0,14 = 6,3 кг. - Автомобиль прошёл путь от одного города до другого за 6,5 ч со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы пройти этот путь за 5,2 ч?
Показать решение и ответ
Расстояние = 6,5 × 60 = 390 км.
Новая скорость = 390 / 5,2 = 75 км/ч. - Найдите, при каком натуральном значении m верна пропорция \( \frac{16}{5m} = \frac{m}{5} \).
Показать решение и ответ
Перекрестное умножение: 16 · 5 = 5m · m
80 = 5m²
m² = 16
m = 4.