Контрольная работа по алгебре за 3 четверть 9 класс (ответы) | Блог о школьной и олимпиадной математике

Если вы ищете контрольную работу по алгебре 9 класса за 3 четверть с полными условиями, развёрнутыми решениями и ответами — эта страница для вас.

Здесь собраны полностью актуальные варианты по ФГОС и УМК «Школа России». Контрольная обычно проходит в марте и проверяет ключевую тему третьей четверти «Квадратные уравнения и неравенства, системы уравнений, прогрессии»:

Решение квадратных и биквадратных уравнений
Решение квадратичных неравенств (интервальный метод)
Решение систем уравнений (линейное + квадратное)
Задачи на прямоугольники и прямоугольные треугольники
Арифметическая прогрессия (сумма членов)
Геометрическая прогрессия (n-й член)

Скачать PDF контрольной работы по алгебре 9 класс 3 четверть>>

Контрольная работа по алгебре 9 класс 3 четверть

Вариант 1

1. Решите уравнение:
  а) \( x^2 — 13x = 0 \);
  б) \( x^4 — 7x^2 + 12 = 0 \).
  
  Показать решение
  а) \( x(x — 13) = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( x = 13 \).
  б) Замена \( z = x^2 \): \( z^2 — 7z + 12 = 0 \Rightarrow \)
  \( \Rightarrow (z-3)(z-4) = 0 \)
  \( z = 3 \) или \( z = 4 \)
  \( x = \pm \sqrt{3} \), \( x = \pm 2 \).
2. Решите неравенство:
  а) \( 3x^2 — 2x — 5 > 0 \);
  б) \( x^2 + 6x + 9 < 0 \);
  в) \( -x^2 + 6x \ge 0 \).
  
  Показать решение
  а) Корни: \( D = 4 + 60 = 64 \), \( x = \frac{2 \pm 8}{6} \Rightarrow\)
  \( \Rightarrow x = \frac{5}{3} \), \( x = -1 \).
  Парабола вверх → решение: \( x < -1 \) или \( x > \frac{5}{3} \).
  б) \( (x+3)^2 < 0 \) — квадрат всегда ≥0, строго меньше нуля решений нет.
  в) \( x(6 — x) \ge 0 \) → решение: \( 0 \le x \le 6 \).
3. Решите систему уравнений \( \begin{cases} x — y = 5 \\ x^2 — 15y = 109 \end{cases} \).
  
  Показать решение
  Из первого: \( y = x — 5 \).
  Подставляем: \( x^2 — 15(x-5) = 109 \Rightarrow \)
  \( \Rightarrow x^2 — 15x + 75 = 109 \Rightarrow \)
  \( \Rightarrow x^2 — 15x — 34 = 0 \).
  \( D = 225 + 136 = 361 = 19^2 \)
  \( x = \frac{15 \pm 19}{2} \Rightarrow x=17 \) (y=12), \( x=-2 \) (y=-7).
4. Прямоугольный участок земли площадью 3000 м² обнесён изгородью длиной 220 м. Найдите длину и ширину участка.
  
  Показать решение
  Пусть длина участка = \( x \) м, ширина = \( y \) м.
  Составляем систему уравнений:
  \[
  \begin{cases}
  x + y = 110 & \text{(периметр изгороди 220 м)} \\
  xy = 3000 & \text{(площадь участка)}
  \end{cases}
  \]
  Выражаем \( y = 110 — x \) и подставляем во второе уравнение:
  \( x(110 — x) = 3000 \)
  \( x^2 — 110x + 3000 = 0 \)
  Дискриминант: \( D = 110^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3000 = 12100 — 12000 = 100 \)
  Корни:
  \( x = \frac{110 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{110 \pm 10}{2} \)
  \( x_1 = \frac{120}{2} = 60 \)
  \( x_2 = \frac{100}{2} = 50 \)
  Тогда ширина:
  при \( x = 60 \): \( y = 50 \)
  при \( x = 50 \): \( y = 60 \)
  Ответ: длина и ширина участка — 60 м и 50 м.
5. Найдите сумму первых двадцати шести членов арифметической прогрессии \( (c_n) \): 7; 11; ….
  
  Показать решение и ответ
  \( a_1 = 7 \), \( d = 4 \), \( n = 26 \).
  \( S_{26} = \frac{26}{2} (2\cdot7 + 25\cdot4) = 13 \times (14 + 100) = 13 \times 114 = 1482 \).
  Ответ: \( S_{26} = 1482 \).
6. Последовательность \( (b_n) \) — геометрическая прогрессия. Найдите \( b_9 \), если \( b_1 = -24 \) и \( q = 0,5 \).
  
  Показать решение и ответ
  \( b_9 = b_1 \cdot q^8 = -24 \cdot (0,5)^8 = -24 \cdot \frac{1}{256} = -\frac{3}{32} \).
  Ответ: \( b_9 = -\frac{3}{32} \).
  
  Вариант 2
  1. Решите уравнение:
    а) \( x^4 — 5x^2 = 0 \);
    б) \( x^4 — 11x^2 + 18 = 0 \).
    
    Показать решение
    а) \( x^2(x^2 — 5) = 0 \Rightarrow x = 0 \) (двойной), \( x = \pm \sqrt{5} \).
    б) \( z = x^2 \): \( z^2 — 11z + 18 = 0 \Rightarrow (z-9)(z-2) = 0 \)
    \( z = 9 \) или \( z = 2 \Rightarrow x = \pm 3 \), \( x = \pm \sqrt{2} \).
  2. Решите неравенство:
    а) \( 6x^2 — 11x — 2 < 0 \);
    б) \( x^2 — 8x + 16 < 0 \);
    в) \( 5x — x^2 \le 0 \).
    
    Показать решение
    а) Корни: \( D = 121 + 48 = 169 \), \( x = \frac{11 \pm 13}{12} \Rightarrow x = 2 \), \( x = -\frac{1}{6} \).
    Парабола вверх → решение: \( -\frac{1}{6} < x < 2 \).
    б) \( (x-4)^2 < 0 \) — решений нет.
    в) \( x(5 — x) \le 0 \) → решение: \( 0 \le x \le 5 \).
  3. Решите систему уравнений \( \begin{cases} 2x — y = 5 \\ x^2 + y + 2 = 0 \end{cases} \).
    
    Показать решение
    \( y = 2x — 5 \).
    \( x^2 + (2x — 5) + 2 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x — 3 = 0 \Rightarrow (x+3)(x-1) = 0 \).
    \( x = -3 \) (y = -11), \( x = 1 \) (y = -3).
  4. Периметр прямоугольного треугольника равен 90 см, гипотенуза 41 см. Найдите площадь треугольника.
    
    Показать решение и ответ
    Пусть катеты a, b.
    \( a + b = 49 \), \( a^2 + b^2 = 1681 \).
    \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 2401 \Rightarrow 2ab = 720 \Rightarrow ab = 360 \).
    Площадь = \( \frac{ab}{2} = 180 \) см².
  5. Найдите сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии \( (b_n) \): 9; 7; ….
    
    Показать решение и ответ
    \( a_1 = 9 \), \( d = -2 \), \( n = 18 \).
    \( S_{18} = \frac{18}{2} (2\cdot9 + 17\cdot(-2)) = 9 \times (18 — 34) = 9 \times (-16) = -144 \).
    Ответ: \( S_{18} = -144 \).
  6. Последовательность \( (b_n) \) — геометрическая прогрессия. Найдите \( b_8 \), если \( b_1 = 625 \) и \( q = -0,2 \).
    
    Показать решение и ответ
    \( b_8 = 625 \cdot (-0,2)^7 = 625 \cdot (-0,0000128) = -0,008 \).
    Ответ: \( b_8 = -0,008 \).
  Эта контрольная полностью соответствует программе 9 класса по алгебре.
  Сохраняйте страницу в закладки, делитесь с одноклассниками — пусть все девятиклассники учатся легко и без стресса!

Контрольная работа по алгебре за 3 четверть 9 класс (все варианты с решениями и ответами)

Контрольная работа по алгебре 9 класс 3 четверть

Вариант 1

Вариант 2