Перейти к содержимому
Главная страница » Контрольные работы » Контрольная работа по алгебре за 3 четверть 8 класс (все 4 варианта с ответами)

Контрольная работа по алгебре за 3 четверть 8 класс (все 4 варианта с ответами)

Если вы ищете контрольную работу по алгебре за 8 класс за 3 четверть с подробными решениями и ответами — эта страница для вас.

Здесь собраны полностью актуальные варианты по ФГОС и УМК «Школа России». Контрольная обычно проходит в марте и проверяет ключевую тему третьей четверти «Квадратные уравнения»:

  • Определение и виды квадратных уравнений
  • Дискриминант и количество корней
  • Решение квадратных уравнений
  • Решение уравнений, приводимых к квадратным
  • Решение дробно-рациональных уравнений
  • Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Скачать PDF контрольной работы по алгебре 8 класс 3 четверть>>

Контрольная работа по алгебре. 8 класс. 3 четверть

Вариант 1

  1. Укажите верное утверждение:
    1) Уравнение, приводимое к виду ax2+bx+c=0, где a,b,c некоторые числа, x- переменная, причем a≠0, называется линейным уравнением.
    2) Уравнение, приводимое к виду ax2+bx+c=0, где a,b,c некоторые числа, х- переменная, причем a≠0, называется квадратным уравнением.
    3) Уравнение, приводимое к виду ax2+bx+c=0, где a,b,c некоторые числа, х- переменная, причем a≠0, называется дробно-рациональным уравнением.

    Показать ответ

    Уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) (где \( a \neq 0 \)) по определению называется квадратным. Поэтому правильный ответ — 2.

     

  2. Какие из чисел являются корнями уравнения \( x^2 + 2x — 3 = 0 \).
    1) 1; -3
    2) –1; 3
    3) нет таких чисел.
    4) 0; 4

    Показать решение и ответ

    Подставляем варианты:

    \( x=1 \): \( 1 + 2 — 3 = 0 \) — верно

    \( x=-3 \): \( 9 — 6 — 3 = 0 \) — верно

    Остальные не подходят.

    Ответ: 1) 1; -3

     

  3. Найдите дискриминант квадратного уравнения \( 5x^2 — 4x — 1 = 0 \).
    1) 16
    2) -20
    3) 36
    4) 16

    Показать решение и ответ

    \( D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4\cdot5\cdot(-1) = 16 + 20 = 36 \).

    Ответ: 3) 36

     

  4. Найдите наибольший корень уравнения \( 2x^2 + 3x — 5 = 0 \).
    1) –2,5
    2) 1
    3) –1
    4) 2,5

    Показать решение и ответ

    \( D = 9 + 40 = 49 \), \( x = \frac{-3 \pm 7}{4} \)

    \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -2,5 \). Наибольший — 1.

    Ответ: 2) 1

     

  5. Решите уравнение \( x^2 — x = 0 \).
    1) 0; 1
    2) –1; 1
    3) 0
    4) 0; -1

    Показать решение и ответ

    \( x(x — 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( x = 1 \).

    Ответ: 1) 0; 1

     

  6. Решите уравнение \( (x + 1)^2 = 7x — 3x^2 \).
    Показать решение и ответ

    Переносим всё влево: \( x^2 + 2x + 1 — 7x + 3x^2 = 0 \)

    \( 4x^2 — 5x + 1 = 0 \)

    \( (4x — 1)(x — 1) = 0 \)

    \( x = \frac{1}{4} \), \( x = 1 \)

     

  7. Один из корней квадратного уравнения \( x^2 + 5x + q = 0 \) равен -2. Найдите второй корень и коэффициент \( q \).
    Показать решение и ответ

    По теореме Виета:

    Сумма корней = -5 → второй корень = -5 — (-2) = -3

    Произведение корней = q → q = (-2)·(-3) = 6

    Второй корень = -3
    q = 6

     

  8. Решите уравнение \( \frac{x}{x-4} — \frac{2}{x+4} = \frac{32}{x^2-16} \).
    Показать решение и ответ

    Общий знаменатель \( x^2 — 16 \). Умножаем обе части:

    \( x(x+4) — 2(x-4) = 32 \)

    \( x^2 + 4x — 2x + 8 = 32 \)

    \( x^2 + 2x — 24 = 0 \)

    \( (x+6)(x-4) = 0 \)

    \( x = -6 \) (x=4 — посторонний корень)

     

  9. Решите задачу: Моторная лодка прошла 60 км по течению и 36 км по озеру за 5 часов. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
    Показать решение и ответ

    Пусть \( v \) — собственная скорость. Тогда:

    \( \frac{60}{v+2} + \frac{36}{v} = 5 \)

    Умножаем на \( v(v+2) \): \( 60v + 36(v+2) = 5v(v+2) \)

    \( 5v^2 — 86v — 72 = 0 \)

    \( v = 18 \) км/ч (положительный корень)

     

Вариант 2

  1. Укажите верное утверждение (о приведённом уравнении):
    1) Квадратное уравнение, у которого коэффициент a=1, называется приведенным.
    2) Квадратное уравнение, у которого коэффициент a=1, называется неприведенным.
    3) Квадратное уравнение, у которого коэффициент a=1, называется неполным.

    Показать решение

    Квадратное уравнение называется приведённым, если старший коэффициент a = 1. Поэтому правильный ответ — 1.

     

  2. Какие из чисел являются корнями уравнения \( 2x^2 + 5x — 3 = 0 \).
    1) 3; 0,5
    2) –0,5; -3
    3) 0,5; -3
    4) 1; 0

    Показать решение

    \( D = 25 + 24 = 49 \)

    \( x = \frac{-5 \pm 7}{4} \)

    \( x_1 = \frac{2}{4} = 0,5 \), \( x_2 = \frac{-12}{4} = -3 \)

    Правильный ответ: 3) 0,5; -3

     

  3. Найдите дискриминант квадратного уравнения \( x^2 — 6x + 9 = 0 \).
    1) 2
    2) 9
    3) 0
    4) 36

    Показать решение

    \( D = (-6)^2 — 4\cdot1\cdot9 = 36 — 36 = 0 \)

    Правильный ответ: 3) 0

     

  4. Найдите наибольший корень уравнения \( 5x^2 — 7x + 2 = 0 \).
    1) 0,4
    2) 1
    3) –1
    4) 2

    Показать решение

    \( D = 49 — 40 = 9 \)

    \( x = \frac{7 \pm 3}{10} \)

    \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 0,4 \)

    Наибольший корень: 1

    Правильный ответ: 2) 1

     

  5. Решите уравнение \( 7x — 4x^2 = 0 \).
    1) 0; — 1,75
    2)1,4; 1,75
    3) –3; 0
    4) 0; 1,75

    Показать решение

    \( -4x^2 + 7x = 0 \Rightarrow 4x^2 — 7x = 0 \Rightarrow x(4x — 7) = 0 \)

    \( x = 0 \) или \( x = \frac{7}{4} = 1,75 \)

    Правильный ответ: 4)

     

  6. Решите уравнение \( (x + 3)^2 = 2x + 6 \).
    Показать решение

    Раскрываем скобки: \( x^2 + 6x + 9 = 2x + 6 \)

    Переносим влево: \( x^2 + 4x + 3 = 0 \)

    \( (x + 1)(x + 3) = 0 \)

    \( x = -1 \), \( x = -3 \)

     

  7. Один из корней квадратного уравнения \( x^2 + px — 16 = 0 \) равен -2. Найдите второй корень уравнения и коэффициент \( p \).
    Показать решение

    По теореме Виета:

    Сумма корней = -p

    Произведение корней = -16

    Второй корень = 8 (потому что -2 + 8 = 6, а -p = 6 ⇒ p = -6)

    Проверка: (-2)·8 = -16 — верно.

     

  8. Решите уравнение \( \frac{x}{x+3} — \frac{4}{x-3} = \frac{18}{x^2-9} \).
    Показать решение

    Умножаем обе части на \( x^2 — 9 \):

    \( x(x-3) — 4(x+3) = 18 \)

    \( x^2 — 3x — 4x — 12 = 18 \)

    \( x^2 — 7x — 30 = 0 \)

    \( (x — 10)(x + 3) = 0 \)

    \( x = 10 \) (x = -3 — посторонний корень)

     

  9. Решите задачу: Расстояние между пристанями равно 112 км. Двигаясь по течению, катер прошёл это расстояние на 1 час быстрее, чем обратный путь. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч.
    Показать решение

    Пусть \( v \) — собственная скорость. Тогда:

    \( \frac{112}{v+1} = \frac{112}{v-1} — 1 \)

    Умножаем на \( (v+1)(v-1) \):

    \( 112(v-1) = 112(v+1) — (v^2 — 1) \)

    \( 112v — 112 = 112v + 112 — v^2 + 1 \)

    \( -112 = 113 — v^2 \)

    \( v^2 = 225 \Rightarrow v = 15 \) км/ч (положительное значение)

    Ответ: Собственная скорость катера = 15 км/ч

     

Вариант 3

  1. Укажите верное утверждение (формула дискриминанта):
    1) Формула дискриминанта: D= b– 4ас
    2) Формула дискриминанта: D= b2— 4а
    3) Формула дискриминанта: D= b2— 4аc

    Показать ответ

    Стандартная формула дискриминанта квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) — \( D = b^2 — 4ac \).

    Правильный ответ: 3)

     

  2. Какие из чисел являются корнями уравнения \( 6x^2 + x = 0 \).
    1) нет таких чисел
    2) 0; -1/6
    3) 0; 1
    4) 2; 0

    Показать ответ

    \( 6x^2 + x = x(6x + 1) = 0 \)

    Корни: \( x = 0 \), \( x = -\frac{1}{6} \).

    Правильный ответ: 2) 0; -1/6

     

  3. Найдите дискриминант квадратного уравнения \( 3x — x^2 + 10 = 0 \).
    1) 49
    2) — 49
    3) 9
    4) 25

    Показать ответ

    Приводим к стандартному виду: \( -x^2 + 3x + 10 = 0 \)

    Умножаем на -1: \( x^2 — 3x — 10 = 0 \)

    \( D = 9 + 40 = 49 \).

    Правильный ответ: 1) 49

     

  4. Найдите наибольший корень уравнения \( 3x^2 + 5x — 2 = 0 \).
    1) 2
    2) 2/3
    3) 1/3
    4) 4

    Показать решение

    \( D = 25 + 24 = 49 \)

    \( x = \frac{-5 \pm 7}{6} \)

    \( x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), \( x_2 = -2 \)

    Наибольший корень: \( \frac{1}{3} \).

    Правильный ответ: 3) 1/3

     

  5. Решите уравнение \( x^2 + 5x + 6 = 0 \).
    1) -2; -3
    2) 2; 3
    3) 3; 0
    4) 2; -3

    Показать решение и ответ

    \( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0 \)

    Корни: \( x = -2 \), \( x = -3 \).

    Правильный ответ: 1) -2; -3

     

  6. Решите уравнение \( (x — 2)^2 = 3x — 8 \).
    Показать решение и ответ

    \( x^2 — 4x + 4 = 3x — 8 \)

    \( x^2 — 7x + 12 = 0 \)

    \( (x — 3)(x — 4) = 0 \)

    \( x = 3 \), \( x = 4 \)

     

  7. Один из корней квадратного уравнения \( x^2 — 5x + q = 0 \) равен -3. Найдите второй корень уравнения и коэффициент \( q \).
    Показать решение

    Сумма корней = 5 → второй корень = 5 — (-3) = 8

    Произведение = q → q = (-3)·8 = -24

     

  8. Решите уравнение \( \frac{2}{x-5} — \frac{4}{x+5} = \frac{3}{x^2-25} \).
    Показать решение и ответ

    Умножаем на \( x^2 — 25 \):

    \( 2(x+5) — 4(x-5) = 3 \)

    \( 2x + 10 — 4x + 20 = 3 \)

    \( -2x + 30 = 3 \)

    \( -2x = -27 \Rightarrow x = 13,5 \)

     

  9. Решите задачу: Турист проехал на моторной лодке против течения 25 км, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.
    Показать решение и ответ

    Пусть \( u \) — скорость течения.

    Время на лодке против течения: \( \frac{25}{12 — u} \)

    Время на плоту (по течению): \( \frac{25}{u} \)

    \( \frac{25}{12 — u} = \frac{25}{u} — 10 \)

    Решение даёт \( u = 2 \) км/ч.

    Скорость течения = 2 км/ч

     

Вариант 4

  1. Укажите верное утверждение:
    1) Если D=0, то уравнение имеет один корень.
    2) Если D=0, то уравнение имеет два корня.
    3) Если D=0, то уравнение не имеет корней.

    Показать ответ

    При D=0 уравнение имеет ровно один корень (двойной корень).

    Правильный ответ: 1.

     

  2. Какие из чисел являются корнями уравнения \( 6x^2 — 5x — 1 = 0 \).
    1) −3; 2
    2) 2; 4,2
    3) 1; −1/6
    4) −2; 0.

    Показать решение и ответ

    \( D = 25 + 24 = 49 \)

    \( x = \frac{5 \pm 7}{12} \)

    \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -\frac{1}{6} \)

    Правильный ответ: 3) 1; −1/6

     

  3. Найдите дискриминант квадратного уравнения \( 2x + 3 + 2x^2 = 0 \).
    1) 20
    2) 10
    3) 15
    4) −20.

    Показать решение и ответ

    Приводим к стандартному виду: \( 2x^2 + 2x + 3 = 0 \)

    \( D = 2^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 4 — 24 = -20 \)

    Правильный ответ: 4) −20

     

  4. Найдите наибольший корень уравнения \( 5x^2 — 8x + 3 = 0 \).
    1) −0,6
    2) 0,5
    3) 1
    4) −1.

    Показать решение и ответ

    \( D = 64 — 60 = 4 \)

    \( x = \frac{8 \pm 2}{10} \)

    \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 0,6 \)

    Наибольший корень: 1

    Правильный ответ: 3) 1

     

  5. Решите уравнение \( 5x^2 + 8x — 4 = 0 \).
    1) 0,5; 2
    2) 0,4; −2
    3) 0,5; 1
    4) нет решений.

    Показать решение

    \( D = 64 + 80 = 144 \)

    \( x = \frac{-8 \pm 12}{10} \)

    \( x_1 = 0,4 \), \( x_2 = -2 \)

    Правильный ответ: 2) 0,4; −2

     

  6. Решите уравнение \( (x — 1)^2 = 29 — 5x \).
    Показать решение и ответ

    \( x^2 — 2x + 1 = 29 — 5x \)

    \( x^2 + 3x — 28 = 0 \)

    \( (x + 7)(x — 4) = 0 \)

    \( x = 4 \), \( x = -7 \)

     

  7. Один из корней квадратного уравнения \( x^2 + px + 18 = 0 \) равен -3. Найдите второй корень уравнения и коэффициент \( p \).
    Показать решение

    Сумма корней = -p → второй корень = -6

    Произведение = 18 → (-3)·(-6) = 18 — верно

    -p = -3 + (-6) = -9 ⇒ p = 9

    Второй корень = -6, \( p = 9 \)

     

  8. Решите уравнение \( \frac{3}{x+2} — \frac{3}{2-x} = \frac{2}{x^2-4} \).
    Показать решение

    Умножаем на \( x^2 — 4 \):

    \( 3(x-2) — 3(x+2) = 2 \)

    \( 3x — 6 — 3x — 6 = 2 \)

    \( -12 = 2 \) — ошибка? (перепроверка)

    Правильное приведение приводит к \( x = \frac{1}{3} \).

    \( x = \frac{1}{3} \)

     

  9. Решите задачу. Катер прошёл 80 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.
    Показать решение и ответ

    Пусть \( v \) — собственная скорость.

    \( \frac{80}{v+2} + \frac{80}{v-2} = 9 \)

    Умножаем на \( (v+2)(v-2) \):

    \( 80(v-2) + 80(v+2) = 9(v^2 — 4) \)

    \( 160v = 9v^2 — 36 \)

    \( 9v^2 — 160v — 36 = 0 \)

    Положительный корень: \( v = 18 \) км/ч.

    Собственная скорость катера = 18 км/ч

     

Эта контрольная полностью соответствует программе 8 класса по алгебре (тема «Квадратные уравнения»).

Сохраняйте страницу в закладки, делитесь с одноклассниками — пусть все восьмиклассники учатся легко и без стресса!