Досрочный вариант ЕГЭ 2026 по математике базового уровня — разбор и решения

1. Рассчитаем стоимость поездок по отдельности: Если бы Ваня покупал отдельный билет на каждую из 45 поездок, он бы потратил:

\(45 \cdot 63 = 2835\text{ рублей.}\)

2. Найдем разницу в стоимости:

Вычтем из полученной суммы фактическую стоимость купленного проездного билета:

\(2835 — 2010 = 825\text{ рублей.}\)

Ответ: 825

1. Проанализируем каждую величину методом логического сопоставления:

• • А) Площадь одной стороны монеты: Самая маленькая из представленных площадей. Ей соответствует значение в квадратных миллиметрах \(\Rightarrow\) 2 (400 кв. мм).
• • Б) Площадь баскетбольной площадки: Объект средних размеров. Типичная площадь спортивного зала измеряется сотнями квадратных метров \(\Rightarrow\) 1 (420 кв. м).
• • В) Площадь города Санкт-Петербурга: Крупный географический объект. Его площадь должна быть выражена в квадратных километрах \(\Rightarrow\) 4 (1439 кв. км).
• • Г) Площадь поверхности тумбочки: Небольшой предмет мебели. Площадь поверхности столешницы составляет долю квадратного метра \(\Rightarrow\) 3 (0,2 кв. м).

Запишем цифры по порядку букв А-Б-В-Г.

Ответ: 2143

1. Выпишем максимальный результат (лучшую попытку) каждого спортсмена:

• • Кузнецов: \(\max(54,5; 53; 55,5; 53,5; 54,5; 55) = 55,5\text{ м}\).
• • Летов: \(\max(55; 56; 54,5; 55,5; 56; 54,5) = 56\text{ м}\).
• • Минаков: \(\max(54; 53; 53,5; 54; 52,5; 51,5) = 54\text{ м}\).
• • Теплов: \(\max(54,5; 54; 53; 55; 51,5; 49) = 55\text{ м}\).

2. Распределим места по убыванию результатов:

• 1 место: Летов (\(56\text{ м}\))
• 2 место: Кузнецов (\(55,5\text{ м}\))
• 3 место: Теплов (\(55\text{ м}\))
• 4 место: Минаков (\(54\text{ м}\))

Следовательно, спортсмен на третьем месте показал лучший результат 55 метров.

Ответ: 55

1. Подставим известное значение суммы углов в формулу:

\((n — 2)\pi = 14\pi\)

2. Разделим обе части полученного уравнения на \(\pi\):

\(n — 2 = 14\)

3. Выразим число сторон (уголков) \(n\):

\(n = 14 + 2 \Rightarrow n = 16\)

Ответ: 16

1. Определим характер случайных событий: События, заключающиеся в наличии брака у первой и у второй батареек, являются независимыми друг от друга.

2. Применим теорему умножения вероятностей:

Вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению их индивидуальных вероятностей:

\(P = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16\)

Ответ: 0,16

Полное расстояние составляет 1200 км, что соответствует 12 участкам по 100 км. Рассчитаем затраты для каждой фирмы:

1. Перевозчик А:

Количество машин: \(45 / 4 = 11,25 \Rightarrow\) требуется 12 автомобилей.
Стоимость рейса одной машины: \(3700 \cdot 12 = 44400\text{ рублей.}\)
Итоговая стоимость: \(44400 \cdot 12 = 532800\text{ рублей.}\)

2. Перевозчик Б:

Количество машин: \(45 / 5 = 9\) автомобилей.
Стоимость рейса одной машины: \(4800 \cdot 12 = 57600\text{ рублей.}\)
Итоговая стоимость: \(57600 \cdot 9 = 518400\text{ рублей.}\)

3. Перевозчик В:

Количество машин: \(45 / 10,5 \approx 4,29 \Rightarrow\) требуется 5 автомобилей.
Стоимость рейса одной машины: \(9300 \cdot 12 = 111600\text{ рублей.}\)
Итоговая стоимость: \(111600 \cdot 5 = 558000\text{ рублей.}\)

Сравнивая результаты (\(532800\), \(518400\), \(558000\)), видим, что вариант Б — самый экономичный.

Ответ: 518400

1. Сопоставим периоды с графиком продаж:

• А) Зима: На графике в январе-феврале кривая находится на самой высокой отметке (150 штук) за весь исследуемый год \(\Rightarrow\) 3 (достиг максимума за весь год).
• Б) Весна: График от марта к маю стабильно устремляется вниз, продажи снижаются \(\Rightarrow\) 4 (падал в течение всего периода).
• В) Лето: В июне, июле и августе значения продаж составляют менее 40 штук (находятся в нижней части координатной сетки) \(\Rightarrow\) 1 (был меньше 40 штук в течение всего периода).
• Г) Осень: С сентября по ноябрь линия графика идет строго вверх, спрос восстанавливается \(\Rightarrow\) 2 (рос в течение всего периода).

Последовательность цифр для ответа: А-3, Б-4, В-1, Г-2.

Ответ: 3412

1. Проверим верность каждого высказывания:

• 1) Утверждение верно, так как по условию рост каждого спортсмена строго меньше 190 см.
• 2) Утверждение неверно, так как нижний порог роста составляет 170 см; игроков с ростом 160 см в команде быть не может.
• 3) Утверждение верно. Поскольку все игроки выше 170 см, человека с ростом 169 см среди них нет.
• 4) Утверждение неверно. Так как все игроки находятся в диапазоне от 171 до 189 см, максимальная разница между ними не может превысить \(189 — 171 = 18\text{ см}\). Значит, разница не может быть больше 20 см.

Правильными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

1. Определим геометрическую форму фигуры: Изображённый на плане участок представляет собой параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

2. Применим формулу площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле \(S = a \cdot h\), где \(a\) — основание фигуры, а \(h\) — высота, проведённая к этому основанию.

3. Посчитаем элементы по клеткам:

Выберем нижнюю горизонтальную сторону в качестве основания. Её длина составляет ровно \(a = 3\text{ м}\).

Высота параллелограмма (расстояние между верхней и нижней параллельными сторонами) равна \(h = 2\text{ м}\).

4. Вычислим площадь:

\(S = 3 \cdot 2 = 6\text{ кв. м}\)

Ответ: 6

1. Вычислим полную площадь дачного участка: Участок имеет прямоугольную форму, его площадь равна произведению сторон:

\(S_{\text{участка}} = 30 \cdot 20 = 600\text{ кв. м}\)

2. Вычислим площадь квадратного вольера:

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

\(S_{\text{вольера}} = 12^2 = 144\text{ кв. м}\)

3. Найдем площадь оставшейся части:

Вычтем из общей площади участка занимаемую вольером территорию:

\(S_{\text{остатка}} = S_{\text{участка}} — S_{\text{вольера}} = 600 — 144 = 456\text{ кв. м}\)

Ответ: 456

1. Применим свойство подобия пространственных тел: Часть конуса, заполненная жидкостью, представляет собой меньший конус, который геометрически подобен всему сосуду-конусу.

2. Определим коэффициент подобия:

По условию задачи уровень жидкости равен трети высоты сосуда, следовательно, коэффициент подобия линейных размеров составляет:

\(k = \frac{1}{3}\)

3. Соотнесем объёмы подобных фигур:

Объёмы подобных тел относятся друг к другу как куб их коэффициента подобия:

\(\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}\)

4. Вычислим объём налитой жидкости:

\(V_{\text{жидкости}} = \frac{V_{\text{сосуда}}}{27} = \frac{540}{27} = 20\text{ мл}\)

Ответ: 20

1. Вспомним определение тангенса острого угла: В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

\(\tan A = \frac{BC}{AC}\)

2. Найдем неизвестный катет AC по теореме Пифагора:

\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

\((\sqrt{101})^2 = AC^2 + 1^2 \Rightarrow 101 = AC^2 + 1\)

\(AC^2 = 100 \Rightarrow AC = 10\)

3. Вычислим значение тангенса:

\(\tan A = \frac{1}{10} = 0,1\)

Ответ: 0,1

1. Найдем третье неизвестное ребро параллелепипеда: Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле \(V = a \cdot b \cdot c\), где \(a, b, c\) — его три ребра. Известно, что \(a = 1\), \(b = 5\) и \(V = 30\):

\(1 \cdot 5 \cdot c = 30 \Rightarrow 5c = 30 \Rightarrow c = 6\)

2. Вычислим площадь полной поверхности:

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех его шести граней:

\(S = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)\)

Подставим значения ребер \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = 6\):

\(S = 2 \cdot (1 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + 1 \cdot 6) = 2 \cdot (5 + 30 + 6) = 2 \cdot 41 = 82\)

Ответ: 82

1. Выполним сложение чисел внутри скобок:

\(3,1 + 1,4 = 4,5\)

2. Умножим полученный результат на число за скобками:

\(4,5 \cdot 6,2 = 27,9\)

Ответ: 27,9

1. Найдем стоимость второго свитера с учётом скидки: Скидка на вторую вещь составляет 40%, значит, её стоимость составит \(100\% — 40\% = 60\%\) от базовой цены:

\(3000 \cdot 0,6 = 1800\text{ рублей.}\)

2. Вычислим полную стоимость покупки:

Сложим стоимость первого свитера без скидки и стоимость второго свитера со скидкой:

\(3000 + 1800 = 4800\text{ рублей.}\)

Ответ: 4800

1. Применим свойство арифметического квадратного корня из произведения: Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел:

\(\sqrt{2^4 \cdot 3^2} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2}\)

2. Извлечем корни, разделив показатели степеней на 2:

\(\sqrt{2^4} = 2^2 = 4\)

\(\sqrt{3^2} = 3^1 = 3\)

3. Перемножим полученные результаты:

\(4 \cdot 3 = 12\)

Ответ: 12

1. Потенцируем уравнение: Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы и равны 22, мы можем приравнять их аргументы:

\(4x — 33 = 3\)

2. Решим полученное линейное уравнение:

\(4x = 3 + 33\)

\(4x = 36\)

\(x = \frac{36}{4} \Rightarrow x = 9\)

3. Проверим ОДЗ:

Подставим \(x = 9\) в аргумент логарифма: \(4 \cdot 9 — 33 = 36 — 33 = 3 > 0\). Условие допустимости выполнено.

Ответ: 9

1. Зададим примерное значение для \(m\):По условию и рисунку число \(m\) лежит в интервале \((2; 3)\) ближе к двойке. Пусть \(m \approx 2,2\).

2. Поочередно вычислим значения выражений:

• А) \(4 — m \approx 4 — 2,2 = 1,8\). Данное значение попадает в отрезок \([1; 2]\) \(\Rightarrow\) 2.
• Б) \(m^2 \approx 2,2^2 = 4,84\). Данное значение попадает в отрезок \([4; 6]\) \(\Rightarrow\) 4.
• В) \(\frac{6}{m} \approx \frac{6}{2,2} \approx 2,73\). Данное значение попадает в отрезок \([2; 3]\) \(\Rightarrow\) 3.
• Г) \(m — 2 \approx 2,2 — 2 = 0,2\). Данное значение попадает в отрезок \([0; 1]\) \(\Rightarrow\) 1.

Запишем номера отрезков в порядке букв А-Б-В-Г.

Ответ: 2431

1. Проанализируем структуру числа: Число \(A\) лежит в границах от 351 до 399. Значит, первая цифра (сотни) всегда равна 3.

2. Условие изменения суммы цифр при прибавлении 4:

Если бы при сложении \(A + 4\) не происходил переход через разряд в единицах, то сумма цифр просто увеличилась бы на 4. Но тогда она не могла бы одновременно с исходной суммой делиться на 5. Значит, прибавление четвёрки вызывает переход через десяток. Это возможно, только если последняя цифра числа \(A\) равна 6, 7, 8 или 9.

3. Проверим возможные варианты:

• Пусть последняя цифра равна 6. Тогда прибавление 4 увеличивает цифру десятков на 1, а цифра единиц становится равной 0. Сумма цифр меняется на \((+1 — 6) = -5\). Если исходная сумма делилась на 5, то и новая разность будет делиться на 5. Это идеальный случай.
• Нам нужно, чтобы сумма цифр числа \(A = \overline{3×6}\) делилась на 5. Сумма цифр равна \(3 + x + 6 = 9 + x\).
• Ближайшие числа, делящиеся на 5 — это 10 и 15.
• Если \(9 + x = 10 \Rightarrow x = 1\). Получаем число 316 (не подходит, так как меньше 350).
• Если \(9 + x = 15 \Rightarrow x = 6\). Получаем число 366. Оно больше 350 и меньше 400.

4. Проверка числа 366:

Сумма цифр \(A = 366 \Rightarrow 3 + 6 + 6 = 15\) (делится на 5).

Число \(A + 4 = 370 \Rightarrow\) сумма цифр \(3 + 7 + 0 = 10\) (делится на 5).

Диапазон \(350 < 366 < 400\) соблюдён.

Ответ: 366 (допускаются также другие варианты, например, 379)

1. Вспомним определение средней скорости: Средняя скорость — это всё пройденное расстояние, делённое на всё затраченное время:

\(v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{все}}}{t_{\text{все}}}\)

2. Введем обозначения:

Пусть расстояние в одну сторону равно \(S\). Тогда весь путь туда и обратно равен \(2S\).

Время, затраченное на путь на яхте: \(t_1 = \frac{S}{18}\).

Время, затраченное на обратный полет: \(t_2 = \frac{S}{306}\).

3. Составим итоговое выражение:

\(v_{\text{ср}} = \frac{2S}{\frac{S}{18} + \frac{S}{306}} = \frac{2}{\frac{1}{18} + \frac{1}{306}}\)

4. Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

Заметим, что \(306 / 18 = 17\). Дополнительный множитель к первой дроби равен 17:

\(\frac{1}{18} + \frac{1}{306} = \frac{17 + 1}{306} = \frac{18}{306} = \frac{1}{17}\)

5. Вычислим среднюю скорость:

\(v_{\text{ср}} = \frac{2}{\frac{1}{17}} = 2 \cdot 17 = 34\text{ км/ч.}\)

Ответ: 34

1. Составим математическую модель: Пусть \(p\) — число подъездов, \(k\) — число квартир на одном этаже, \(e\) — число этажей в доме. Общее количество квартир выражается формулой:

\(p \cdot k \cdot e = 345\)

2. Запишем строгое условие неравенства из текста:

\(e > k > p > 1\)

3. Разложим число 345 на простые множители:

Оно оканчивается на 5, значит, делится на 5: \(345 = 5 \cdot 69\).
Число 69 делится на 3 (сумма цифр \(6 + 9 = 15\)): \(69 = 3 \cdot 23\). Число 23 — простое.
Получаем единственное разложение на три простых сомножителя:

\(345 = 3 \cdot 5 \cdot 23\)

4. Распределим множители согласно неравенству:

Упорядочим наши сомножители по возрастанию: \(23 > 5 > 3 > 1\).

Следовательно, переменные однозначно принимают следующие значения:

• Число этажей (\(e\)) \(= 23\)
• Число квартир на этаже (\(k\)) \(= 5\)
• Число подъездов (\(p\)) \(= 3\)

Все условия задачи (\(23 > 5 > 3 > 1\)) полностью соблюдены.

Ответ: 23