Математика · 5 класс · Задание ВПР
Условие задачи (ВПР, математика, 5 класс): В девяти аквариумах было поровну рыбок. Установили десятый аквариум, и рыбок расселили так, чтобы во всех аквариумах, кроме одного, их стало поровну, а в одном — на 1 больше, чем в каждом из остальных. Сколько всего было рыбок, если их было менее 100?
Задача на первый взгляд запутанная, но решается чётко через два условия делимости. Разберём по шагам.
Шаг 1. Разбираем условие и составляем два требования к числу рыбок
Ситуация до перестановки. В 9 аквариумах рыбок поровну. Значит, общее число рыбок делится на 9 без остатка.
Ситуация после перестановки. Стало 10 аквариумов. В 9 из них рыбок поровну, а в одном — на 1 больше. Это означает: если бы «лишнюю» рыбку убрать, все 10 аквариумов были бы одинаковыми. То есть (общее число рыбок − 1) делится на 10 без остатка. Иными словами, само число рыбок при делении на 10 даёт остаток 1.
Итого два условия:
- Число рыбок делится на 9.
- Число рыбок при делении на 10 даёт остаток 1.
- Число рыбок меньше 100.
Шаг 2. Находим все числа меньше 100, дающие остаток 1 при делении на 10
Числа, которые при делении на 10 дают остаток 1, — это числа, оканчивающиеся на цифру 1:
1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91
Шаг 3. Проверяем, какое из этих чисел делится на 9
| Число | Делится на 9? | Проверка |
|---|---|---|
| 1 | Нет | 1 ÷ 9 — не целое |
| 11 | Нет | 1+1=2, не кратно 9 |
| 21 | Нет | 2+1=3, не кратно 9 |
| 31 | Нет | 3+1=4, не кратно 9 |
| 41 | Нет | 4+1=5, не кратно 9 |
| 51 | Нет | 5+1=6, не кратно 9 |
| 61 | Нет | 6+1=7, не кратно 9 |
| 71 | Нет | 7+1=8, не кратно 9 |
| 81 | Да | 8+1=9, кратно 9 ✓ |
| 91 | Нет | 9+1=10, не кратно 9 |
Единственное подходящее число — 81.
Проверка признаком делимости на 9: сумма цифр числа 81 равна 8 + 1 = 9. Девять делится на 9 — значит, и 81 делится на 9. ✓
Проверка ответа
До перестановки: 81 рыбка в 9 аквариумах. 81 ÷ 9 = 9. В каждом аквариуме по 9 рыбок. ✓
После перестановки: добавили 10-й аквариум. Нужно разместить 81 рыбку в 10 аквариумах так, чтобы в 9 из них было поровну, а в одном на 1 больше. 81 = 8 × 10 + 1, то есть в 9 аквариумах по 8 рыбок, в одном — 9 рыбок (на 1 больше). ✓
Ответ
Всего было 81 рыбка.
Образец записи решения для тетради (ВПР)
До перестановки рыбки были распределены по 9 аквариумам поровну, значит их общее количество делится на 9.
После добавления 10-го аквариума в 9 из них рыбок поровну, а в одном на 1 больше. Значит, если убрать одну «лишнюю» рыбку, число оставшихся делится на 10. То есть общее число рыбок при делении на 10 даёт остаток 1 — оканчивается на 1.
Числа меньше 100, оканчивающиеся на 1: 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91.
Из них на 9 делится только 81 (сумма цифр: 8 + 1 = 9).
Проверка: 81 ÷ 9 = 9 (до перестановки по 9 рыбок); 81 = 8 × 10 + 1 (после — в 9 аквариумах по 8, в одном 9).
Ответ: 81 рыбка.
Подсказка: как делить числа на 9 без калькулятора
Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр кратна 9. Именно этот признак позволяет быстро отсеять лишние варианты в таблице выше, не выполняя деление в столбик.
Например, для числа 81: 8 + 1 = 9. Девять делится на 9 — значит, и 81 делится. Для числа 91: 9 + 1 = 10. Десять не делится на 9 — значит, и 91 не делится.
Аналогичные задачи ВПР для тренировки
Попробуйте решить самостоятельно по той же схеме:
- В 8 аквариумах было поровну рыбок. Установили 9-й аквариум, в одном стало на 1 больше. Сколько рыбок, если их меньше 100?
Подсказка: делится на 8 и даёт остаток 1 при делении на 9. Ответ: 72. - В 4 аквариумах было поровну рыбок. Установили 5-й аквариум, в одном стало на 1 больше. Сколько рыбок, если их меньше 50?
Подсказка: делится на 4 и оканчивается на 1. Ответ: 41.
Метод решения: два условия делимости
Любая задача такого типа решается одинаково:
- Из первой ситуации (до добавления аквариума) — находим, на что делится число рыбок.
- Из второй ситуации (после добавления) — находим остаток при делении на новое число аквариумов.
- Выписываем числа, удовлетворяющие второму условию, и проверяем первое.
- Единственное подходящее число и есть ответ.
Этот метод называется перебором с ограничением — мы не перебираем всё подряд, а сначала сужаем круг кандидатов с помощью одного условия, а потом проверяем второе. Это быстро и надёжно.